検索に移動この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(2016年11月)平面充填(へいめんじゅうてん)とは、平面内を有限種類の平面図形(タイル)で隙間なく敷き詰める操作である。敷き詰めたタイルからなる平面全体を平面充填形という。「平面」を明言しない場合は、曲面充填や、場合によっては2次元以外の空間の充填を含む。広義のテセレーション等については、空間充填を参照。平面充填は広義の空間充填の一種で、2次元ユークリッド空間の充填である。多面体は多角形による球面充填(曲面充填の一種)と考えることができる。そのため、多角形による平面充填は多面体と共通点が多く、便宜上多面体に含めて論じられることもある。3種類のみであり、ピュタゴラスによって証明された。ついては、図の充填のほかに、頂点をずらした充填も可能である。よる充填の特殊ケースとなる。個頂点に集まる)で表せる。(p-2)q=2p}である。三角形[編集]全ての平行四辺形は、1種類で平面充填可能である。全ての三角形は、合同なものを2つ組み合わせることで平行四辺形となる。四角形[編集]全ての合同な平行六辺形(3組の対辺が平行で等しい六角形)は平面敷き詰め可能である。平行四辺形以外の全ての四角形は、合同なものを二つ組み合わせることで平行六辺形となる。従って、全ての四角形は平面敷き詰め可能である。平行六辺形は、中心を通る直線で合同な2つの五角形に分けられる。このような五角形は平面敷き詰め可能である。これらの変形[編集]平面充填形に対して、対応する場所に凹凸をつけた場合も敷き詰め可能。正方形の例:平行六辺形の例:多角形[編集]この節の加筆が望まれています。五角形の平面充填(英語版)は、2015年に新しいパターンが発見され全部で15個となった。(これ以上存在しないことは既に証明されている)2015年、15番目の五角形による平面充填が発見された。アルキメデスの平面充填の双対[編集]#双対充填を参照。複数種類のタイルによる平面充填[編集]正多角形[編集]一種類の場合と同じように、正多角形のみでできていて、頂点形状が一様なアルキメデスの平面充填と呼ばれる平面充填が8種類あり、半正多面体の一種とされることもある。括弧中は頂点形状(各頂点に集まる正多角形の種類と順序)を表す。8)ペンローズ・タイル[編集]ペンローズ・タイル、#非周期充填を参照。充填の双対[編集]多角形(特に正多角形)による平面充填には、多面体に対する双対多面体のように、双対を考えることが可能である。1種類の正多角形による平面充填の双対は次のとおり。シュレーフリ記号の数値が入れ替わっている。3}アルキメデスの平面充填の双対は、1種類の(鏡像は同じと考える)多角形による充填となる。特殊な充填[編集]ペンローズタイル。Voderbergタイル。[編集]周期的なパターンによる充填以外に、非周期な充填も可能である。周期充填の非周期な変形による充填(場所によってランダムな方法でタイルを分割するなど)は、非周期とは考えない。最初の非周期充填は、1966年に発見された、20426種類のタイルを使う充填である。tileと呼ばれる一種類の非連結なタイルによるものである。連結な1種類のタイルによる非周期充填は発見されておらず、連結なものに限ればイギリスの物理学者ロジャー・ペンローズが考案した、2種の菱形タイル「ペンローズ・タイル」によるものが最小である。ちなみに高次元では1種類のブロックによる3次元空間の非周期充填が1993年に発見されている。中心のある充填[編集]以上は、平面のあらゆる部分が同等な充填であったが、そうでない充填もある。放射充填は、中心を通る放射状の直線で平面を楔形に分割し、そのそれぞれを三角形タイルで充填したものの変形である。直線の1つについて、その両側をタイル1つ分だけずらせば、螺旋充填となる。複雑に見えるが、回転対称性などの対称性を持つ周期充填である。建築[編集]この節の加筆が望まれています。歴史[編集]関連項目[編集]ウィキメディア・コモンズには、平面充填に関連するメディアがあります。マウリッツ・エッシャーテッセレーションこの項目は、建築・土木に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています(プロジェクト:建築/Portal:建築)。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスの下で利用可能です。追加の条件が適用される場合があります。詳細は利用規約を参照してください。Cookieに関する声明モバイルビュ。