検索に移動この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。theory)は、ある力学系がエルゴード的(ある物理量に対して、長時間平均とある不変測度による位相平均が等しい)であることを示す、すなわちエルゴード仮説の立証を目的とする理論。billiardsの例などで正しいという証明が与えられているが、統計力学の基礎とは無関係である。するもの、あるいは一定のサイクルに収めることの出来るもの、全事象等確率的として推察できるもの上記2つの平均が同じような値(あるいは関数)を得られるものについて、エルゴード的ということが出来る。いった具合にAの起こりうる確率を変化させずに別又は同じ事象TAに変換するものをいう。確率測度という大きさの測り方を指定したときに、大きさを変えずに変化させる操作の総称をいう。preserving(邦訳:測度保存)という名がついており、可逆性を満たせば保測変換になるという広いクラスとなる。みると、微小状態からなる位相空間内で同じエネルギーをもった領域に費やされる時間は位相空間でしめる体積に比例するというもの。そのようなすべての実現可能な微小状態は長い目で見ると等しい確率で起こるということ。言いかえれば、時間平均と、統計力学でいうアンサンブル(起こりうる微小状態の数だけある系のレプリカの集まり)内での平均は等しくなるということ。証明されていないため仮説の域は出ないものの、この仮説を採用してシミュレーションを行うと現実を非常にうまく説明できることを疑うものはいない。その意味で特に工学分野において、証明を必要とするという意味のある「仮説」の字を避けエルゴード仮設と書くことがある。問題点[編集]エルゴード仮説は統計力学の基礎としては的を外しているという主張も専門家によってなされている[1]。数学におけるエルゴード理論[編集]エルゴード理論は確率論にもとづいた力学系の一つの分野である。物理のみならず数論など数学の他分野への応用も多い。上記のエルゴード仮説との直接の関係は薄い。重要な概念[編集]エルゴード理論での基本的な事柄を説明する。離散力学系を扱うが、連続力学系についても同様のことを考えることが出来る。上の完全加法族、そしてμを確率測度とする。満たすとき、μは(T-)不変測度であるという。