u_j\)なので、言ってみれば2乗の項です。2乘の項はいわゆる非線形問題というやつです。x}\)のuに、sin成分が入ってくるとします。\label{eq:scale-factor-3}\end{align}$$これが何を意味しているかというと、微分されて出ていくものの周波数が2倍になっています。細かくなっていきます。フーリエ級数展開をより、だいたいの関数は、sin成分に分解できるので、周期成分が時間を経るごとに細かくなっていきます。流体的なイメージとしては、渦が分解されていきます。大きな渦が分解されていき、より細かな渦になっていく。これが乱流であり、やっかいなものなのです。解く難易度が一気に上がります。これが根本的な難しさです。2のように\eqref{eq:scale-factor-1}の連続の式をどうやって反映させるかも難しいところです。P\)の4つで、\eqref{eq:scale-factor-2}のNavier-Stocks方程式は3つの式だから、連続の式を使ってやらないと解けません。やって連続の式を使うか、難しいところです。これについては数値解析的にはうまく使用する方法があり、おそらく感動することになると思います。Taylor展開ではどうすればいいのでしょうか?微分で解けないなら差分にするしかありません。みんな大好きTaylor展開です。Taylor展開の前に、微分の定義から攻めましょう。\label{eq:scale-factor-4}\end{align}$$のように近似することができます。これはTaylor展開の第1次近似とも言えます。Taylor展開と言うのはなんでしたでしょうか。\label{eq:scale-factor-5}\end{align}$$これです。簡単に証明と解説もしておきます。勉強になるので知っておいて損はないでしょう。要は、xから少し離れたf(x)を、f(x)の値とf(x)の微分値を使って近似的に求めてやろうと言う方法です。Taylor展開の2階微分の項以降を捨て去った形が、微分の定義式からの差分近似です。数値解析的に考えます。x軸のある範囲を均等にN個の領域で分割したと考えて、分割した点にそれぞれ1からn+1まで番号を振っていきます。この時、i点周りのTaylor展開で、i番目の点の値\(f_i\)とその微分値から、\(f_{i+1}\)の点の値を求めることができます。\label{eq:scale-factor-7}\end{align}$$ともできます。ここで、Navier-Stocksは微分方程式なので、微分値が欲しい。\(f_i\)や\(f_{i+1}\)の値から、逆に微分値を求めていくと言うことをします。\label{eq:scale-factor-8}\end{align}$$そして、2項目以降を打ち切ることになります。x\)に比例しているので、第1次近似、1次精度差分近似と言われます。f_{i-1}\)を考えてみる。\label{eq:scale-factor-10}\end{align}$$となります。x^2\)に比例しています。先ほどより打ち切り誤差が少ないと言えます。これは、2次精度差分近似になります。すげー、うひゃひゃひゃ。このように微分値を近似的に求めてやり、それを微分方程式にぶっこんで差分方程式にしてしまえば方程式が解けてしまいます。全ての点で式を一つづつ立てて、連立方程式にして解くと言う感じです。両端の値はもちろん与えてやらなければならなく、これを境界条件と言ったりします。同様に、3次精度、4字精度差分近似と言うものを考えることができる。長くなるけどやってみよす。同じように、i点周りのTaylor展開を考えるのだが、2つしか式がないと、2次精度が限界なので、2個分離れた場所のTaylor展開を考えていきます。}\right\vert_i\)を書くのが少し面倒なので省略します。x}\)は、i点の微分値だと思ってください。\label{eq:scale-factor-14}\end{align}$$ここで、3次精度差分は、前3つを、4次精度差分は全て使って、微分項を消していきます。条件を求めるため、係数を表にしてみます。x}\)が1になって、他は0になるように足してやれば良いです。\label{eq:scale-factor-16}\end{align}$$よっしゃーこれで精度が高い計算ができるぜーと思いきや、そうも行きません。見ての通り、2個以上離れた点の情報を使ってしまっています。なると、端の隣の格子点になると適用できません。境界条件よりも外の点の値など定義できないからです。安易に境界条件同じ値を使うなどと考えては行けません。境界条件はシビアであり、固定条件以外にも色々なものがあります。よって、これらは内側の部分でしか使えないのです。これはあまり望ましくありません。下の図を見てください。Taylor展開で差分近似し、で次の点の値を求めるとしましょう。図はわかりやすいように1次精度差分近似としました。本来の微分値が求まり、その点の値と微分値からTaylor展開で次の点の値を求めます。x\))で次の点を求めるのでした。見てもらうとわかるが、変化率が大きいほど近似する時に誤差が生まれやすいです。今回は微分値を、差分近似して求めるのでした。この話は図2のようになります。本来の微分値と差分近似して求めた微分値は、こちらも変化率が大きいほど誤差が生まれてしまいます。普通に物理現象を考えると最も変化率が大きいのは境界付近です。境界から物理量が伝わって変化していくのですから。