space[1][2][3][4])は、位相線型空間を扱う際に典型的に注目される連続な線型汎関数全体の成す空間として生じる。ユークリッド空間のような任意の「有限次元」ノルム空間もしくは位相線型空間に対しては、連続的双対は代数的双対に一致する。任意の無限次元ノルム空間において不連続線型汎関数の例に見るように両者は一致しない。拘らず、位相線型空間論において不連続写像を考える必要はそれほどないので、わざわざ「連続的双対」や「位相的双対」とは言わずに単に「双対空間」と呼ぶことが多い。全体の成すベクトル空間として定義される。上に位相を導入する標準的な方法が存在する。(x)|}の形の半ノルムたちから生成される位相としても得られる。)}を満たすことであることを意味する。{A}}}はスカラー倍に関して閉じているなどを満足することを仮定する。{A}})}はその近傍基を与える。ここに、三種類の非常に重要な特別の場合を挙げる。有界部分集合全体の成すクラスをとったもの)である。(x)|}なるノルムによって、ノルム空間(実は係数体が完備ならばバナハ空間)になる。成すクラスをとったもの)である。有限部分集合全体の成すクラスをとったもの)である。これら三種類の位相は何れも、位相線型空間に回帰性(反射性)の一種を定める。}|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}が有限となるもの全体の成すバナハ空間空間である。