圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。つの対象の間の射を「一方の対象からもう一方への対応関係」とみなすならば、これを高次圏において「高次の対応関係」を考慮することで、より有益な一般化が可能となる。「射の間の射」、つまり、ある射を別の射に変換する対応関係によって得られる圏である。2-圏であり、この例において、射には関手が、2-射には、関手の自然変換が当てはまる。2-圏である—これは(狭義)モノイド圏である。次圏)を定義することができる。呼ばれる高次圏もある。n-categoriesが挙げられる。ここで順序関係の推移律が射の合成に、反射律が恒等射に対応している。を圏と見なすことができる。同一視することができる。位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。これらは様々な種類の数学的対象を圏によって言い換えていることになる。層やトポスの概念によってこれらを共通の文脈の中におくことが可能になる。おいて直感的/組み合わせ的に定義されていたホモロジー・コホモロジーを公理化する研究の中で圏、関手および自然変換が実際に定義された。アイレンベルグとマックレーンの目的は、位相空間の理論と可換群の理論のような異なる数学的体系の間の自然変換を理解することだったが、そのためには関手の概念が必要であり、関手を定義するためには圏の概念が必要だったのである。その後アレクサンドル・グロタンディークらによるホモロジー・コホモロジー理論を圏論に基づいて定式化する試みの中で、アーベル圏・三角圏など、関手を計算するうえで期待される重要な性質を持つクラスの圏が公理化されていった。これら語法にはやや注意が必要である。通常双圏には定義に現れる等式的公理において、等号の代わりに同型に緩めた条件を課す。2-圏(英語版)」と言う。2-圏がどちらの意味であるかは文脈による。高次の圏ではさらに状況が面倒である(どの等号を同型に緩めるかで定義の数は組合せ爆発する)。978-1-55608-010-4。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。