テスラノートテスラノート物理シミュレーションとAIとその応用。非圧縮性流体モデリング引き続き、流体の運動量保存則とはどのようなものになるかを考えていきます。\)として、運動量保存則は以下のように書けるのでした。\label{eq:scale-factor-3}\end{align}$$この式こそが流体の運動量保存則です。具体的ではないので、もう少し工夫する必要があります。\tau_{ji}\)をしていることには留意する必要があります。ここで、大胆なことを考えます。速度起因なんてことをしてしまいます。面積力である、\(\tau_{ij}\)を圧力から受ける成分と速度から受ける成分に分解します。こんなことしていいのでしょうか?だって、速度変化によって圧力が生じたりするので、綺麗に分解など不可能なはずです。なんで足し算?これは、モデリングです。ここでモデリングが入ります。本当はそんな綺麗にはなってないだろうけど、こういう風に表してみましょうということです。圧力から受ける力は、圧力をPとすれば、Pですから。テンソル量なので、工夫が入ります。圧力は勾配の向きと力の向きが逆なので、マイナスがつきます。\label{eq:scale-factor-5}\end{align}$$分かりましたか?Pをテンソル量に合わせるため、クロネッカーのデルタで処理しています。11,22,33の成分しか残らないので、法線応力だけが残り、うまく表せました。t}\)が大きくなり、つまり次の瞬間に速度が速くなります。いうより、基本的にスカラー値の微分と力の方向は逆になります。後々使いますが、例えばフーリエの法則とか。これで、圧力の方はできました。ニュートンの粘性法則そして、速度起因を考えねばならないのですが、その前にニュートンの粘性法則を知っておく必要があります。これを使ってモデリングするからです。下図のような地面と上の板に挟まれた水で、上の板が動くシチュエーションを考えてみます。教科書で良くみるやつですね。層流になるくらいの狭めのものと考えてください。流体に粘性があると考えます。その時、上の板が一定の速度で動くことで、それに引きずられてすぐ下の流体は引きずられて速度が同じになろうとします。下は固体面との摩擦で止まろうとします。その結果、流体には上の図のような速度勾配ができます。流体には下の固体の摩擦面から受けるせん断応力が流体に伝わり、どこでも同じせん断応力がかかります。この時のせん断応力が以下のような式になります。\label{eq:scale-factor-7}\end{align}$$この時の、\(\mu\)を、分子粘性係数[Pa・s]または、分子動粘性係数[m2/s]と言います。これらは単に単位の違いで、分子動粘性係数は、分子粘性係数を密度で割ったものです。分子とつけているのは、分子の粘性によるものだと示すためです。のちに乱流による同じような効果が出てくるので、それと区別する意図です。この力と速度の関係性をニュートンの粘性法則といい、この法則に従う流体をニュートン流体と言います。言葉にすると、流れのせん断応力(接線応力)と流れの速度勾配(ずり速度、せん断速度)が比例した粘性の性質を持つ流体のことです。本来は全方向に効いてくるのでテンソルで考えますが、ややこしいので置いときます。あと、実はこの速度勾配は層流出ないとありえません。乱流が起きていたらこのような速度勾配になりません。10^{-6}\)[m2/s]という感じで、分子粘性係数は空気の方が小さいのですが、密度で割った分子動粘性係数は水の方が小さくなってます。動粘性係数は[m2/s]で、動きやすさを表し、つまりは水の方が動きにくいということです。密度を考慮しなければ空気の方が動きにくいということです。比熱で熱容量の関係に似ています。比熱が小さくても密度が大きいため、熱容量は大きいコンクリートのような。層流じゃないとありえないとしましたが、実際はこんな感じになります。同じように、この場合でもニュートンの粘性法則はありますが、乱流の影響もあるのでニュートンの粘性法則から出される摩擦と、実際の摩擦とは違います。粘性底層では同じです。粘性底層は、本当にわずかなエリアで、例えば普通の外の建物くらいのスケールだと、数mmも行かないそんなレベルの狭い領域です。この範囲は層流のようになり、分子粘性が支配的です。上図のような見方をすることもできます。上の黒い矢印のように、運動量が供給されているという見方です。上の板が止まれば、この流体は全体的に止まります。そのように、上から運動量が供給されている、つまり流体から見た摩擦が運動量を供給しているものだという見方です。m・s]つまり、運動量フラックスになるのでした。\tau_{31}\)であり、対称テンソルとなっています。これは、対称テンソルになることの別の観点から見た説明であり、摩擦は運動量の供給と同じあるとも言えます。式で分けた、速度起因の部分をどう表現するべきか考えていきましょう。\label{eq:scale-factor-8}\end{align}$$こうなります。\label{eq:scale-factor-9}\end{align}$$これでどうでしょうか?ニュートンの粘性法則を基にした、速度起因の面積力を表現できたと思います。\label{eq:scale-factor-11}\end{align}$$となってしまっています。一致することはあるかもしれませんが、常に一致しなければなりません。そこで、こんなことをしてみます。\label{eq:scale-factor-12}\end{align}$$ニュートンの粘性法則は物理的なモデリングですが、これは完全なモデリングです。簡単だしこれを使ってみたら、実際の速度と合っているのでみんなこれを使っています。\label{eq:scale-factor-13}\end{align}$$しかし、掛け算だとダメな点があります。\label{eq:scale-factor-14}\end{align}$$となっていると思います。\label{eq:scale-factor-15}\end{align}$$となり、だいたいニュートンの粘性法則と一致するのに対し、\eqref{eq:scale-factor-13}式を使うと、ほぼ0になってしまい、実際との乖離が大きくなります。足し算系で行かないとダメそうです。その足し算で一番シンプルな\eqref{eq:scale-factor-12}式を使っています。モデリングは計算の面でも理解の面でも出来るだけシンプルなのがいいのです。これにて、面積力が完成し、Navier-Stocks方程式はほぼ完成します。ここまでのモデリングを元の式にぶちこみます。\label{eq:scale-factor-16}\end{align}$$となります。一応解説しておくと、一番最初の記事くらいに書いてある、クロネッカーのデルタの置き換えテンソルの性質を使いました。\label{eq:scale-factor-17}\end{align}$$で、クロネッカーのデルタで縮約をとってやると結局添字が変わるというものです。忘れた人は一番最初の流体の前に基礎知識という記事をみてみてください。\label{eq:scale-factor-19}\end{align}$$というやつです。これでやっと終わりかーと思いきやもう少し続きます。長くなったので、次の記事に回します。流体力学の重要な定理にベルヌーイの定理というものがあります。...非圧縮性流体の計算アルゴリズム-格子について前回、MAC法で方程式を導きました。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。