なんかを習うと、「最小作用の原理」なんて物が出てきます。どんな座標系を使っても同じ偏微分方程式で記述できる運動法則が導かれます。作用ってのがなんなのかは書いてないことが多いんですよね。なんでそんなものを最小にするのかが良く分からない。いうのが正しいんですよ。一体、作用ってなんなんでしょう?労力的に最短まず、図1を見てください。普通は図中の矢印のようにまっすぐ進みますね。物体は最短経路を進むとされています。自然の法則は素直です。そのままのスピードでまっすぐ進み続けます。次は、平面でない場合を考えて見ましょう。図2のように、等高線を引いてみます。行き方は人によるかもしれませんね。高さをものともしない人の場合、等高線は無視して相変わらず直線経路をとるかもしれません(図3)。尾根道を通るのが楽だという人なら、図4のような経路になるでしょう。高さが苦手だと(例えば、上り下りが全くできない乗り物があったとして、それに乗るとすると)図5のような経路を取らざるを得ません。いずれも、その当人にとっては労力が最小の経路だと思ってください。進む位置や方向によって移動コストが違う。地図上の最短経路の変わりに、労力的に最短な経路を通る。「労力が最小の経路」を進むわけです。物理用語としては、作用(action)と言います。これが「最小作用の原理」。物体はオーバーアクションせずに、最小のアクションで動くんですね。労力的に最短な経路を通ります。何の力も働いてないまっ平らな空間だと、直線になるわけですね。物体はまっすぐ進む(慣性の法則)。数学的に考察しなおしてみましょう。これを最小化する問題になります。求めることになります。関数だということに注意してください。解き方が研究されています(「変分学」参照)。これを解くと、結局、直線が最短経路な事が分かります。最小にするような経路を通ります。ところが、力が働いていると、空間が歪みます。なると思ってください。具体的な形は後々求めます。ところで、この式中、平方根がちょっとうっとうしいですね。平方根がからむと、計算が面倒になります。実はこの平方根はなくすことができます。最小化問題は同値な事が示せます。(「弧長とエネルギー」。y))dtの最小化問題を考えることになります。density)と呼びます。この変分問題は、以下のような微分方程式に置き換えられます。以下の式が得られます。上述の変分問題で運動の法則を表せることが分かります。