次16乗で巡回拡大と累巡回拡大をもう一度考える巡回拡大体で足踏みしてます書籍Iでは、次は180乗根の解析なのですが、その過程で「巡回拡大体」についての理解が足りないと思い、16乗根に戻ってきました。書籍Iには、KがFのガロア拡大体で,Gal(K/F)が巡回群の時,KはFの巡回拡大体である,KはFの巡回拡大であるいいます。一つの拡大で巡回群にならないときには何段かのステップに分けて、それぞれの拡大が巡回拡大になるようにするというのが、この辺の力点で、累巡回拡大といっています。位数はオイラー関数から8です。書籍Iではσ(ζ)=ζ5と定めて<σ>がGal(Q(ζ)/Q)の部分群となることを示します。すると、このσはσ5です。ζ⇨ζ5⇨ζ9⇨ζ13⇨ζと変換され巡回します。したがって<σ5>={σ5,σ9,σ13,e}となります。これはGal(Q(ζ)/Q)の部分群です。次に<σ5>の固定体Fを考えます。σ5(ζ4)=ζ4になることから、Fはζ4(=i)を含みます。位数の考察からF=Q(ζ4)です。Q(ζ)書籍Iでは、F=Q(ζ4)=Q(i)とわかった時点で、Gal(Q(i)/Q)の元には言及がないのですが、τ(i)=-iとなる変換で巡回することは明らかですから、それでいいのでしょう。どちらかと、<σ7>または<σ15>のどちらかを組み合わせて作れます。組み合わせを考えているようなので、これを例に包含関係を考えていきます。体の包含関係Q(ζ)で付け加わる元として書いてあるのは、ζから派生するけど、Q(ζ4)の元にならないものです。Q(ζ4)で付け加わる元として書いてあるのは、ζ4(=i)から派生するけど、Qの元にならないものです。ζ4,ζ12ζ8ガロア群の包含関係まず、それぞれの元を列挙します。