Q(ζ)を固定してQ(ζ)に作用するのはeしかありませんから、整合性はとれています。これを踏まえて、包含図を作ると以下のようになります。包含関係が適切に表されていますが、σ15があそこにあるのが意外です。σ3,σ7,σ11,σ15<σ5>は出てきますが、<σ15>は出てきません。Gal(Q(ζ4)/Q)もこの図には出てきません。この図では累巡回拡大としう部分が表現されないようです。各ステップごとの拡大を記述する必要があります。<σ15>さて、各ステップの元から全体の元(ガロア群の元なので変換になりますが)を導出するには、各ステップの元を組み合わせて作用させます。ζの累乗同士の掛け算なのでここでは順番を問いません。どちらかと、<σ7>または<σ15>のどちらかを組み合わせて作れます。」というのを蒸し返してみます。Gal(Q(ζ)/Q(ζ4))の元は{σ5,σ9,σ13,e}です。<σ5>と<σ13>は同じ元の逆巡回であることが改めて納得できます。<σ15>はζの虚数部のiを-iに換える変換です。一般にζiは単位円上の回転になりますが、15はちょうどx軸を対称軸とする線対称に変換します。意外ですがうまく行っています。<σ7>は別のやり方を提供します。変換表を再掲しておきます。固定する元と、その数を調べました。今後の加筆のためです。1180乗根の場合へ16乗根の場合は、外側から攻めています。適当な巡回群を求めて、その固定体を特定し、その固定体を持つ元がもれなく一つの巡回群になっているものを見つけるというステップです。巡回群に含まれない残りの元は下位のガロア群の元との積で作ります。問題は求めた固定体を拡大体とみなせるような下位の固定体を見出して、そのガロア群の中から巡回群をつくるという作業が意外と面倒なところです。逆に内側から始めて、まずQにiを加えて、次にζを加える。いうように加えていく方向はガロア群が巡回するという条件で進めばよいので見通しがいいように思えますが、2段目以降のガロア群を考えるのに慣れていません。下位のガロア群の元と上位のガロア群の元は別物になりますから、その対応も考える必要があります。16乗根の場合は外側から一段下がった体と内側から一段上がった体が一致するようにすればよかったのですが、180乗根の場合はもう一段必要なので、どちらから考えてももうひと工夫が必要なようです。順一2018-08-23http://dabiyone.com/。