いわゆるガウスの定理やストークスの定理と呼ばれるものを改めて列挙してみましょう。書いてしまいましょう。Fidu1du2du3もう少しきれいな形になりそうでならなくてもどかしい感じです。道具の整備が必要になります。意味について考えてみましょう。直方体の体積になります。微小な体積と考えることができます。微小な体積を寄せ集めて大きな図形の体積を計算するものです。ここでは、負の体積も認めます。左側の場合は負だと考えます。直交座標系でない場合はどう考えましょう。直方体の体積というのは、直方体の辺を成すベクトルに関して多重線形性と交代性を満たす関数です。以下のように定義します。楔の意味)と呼びます。dyという関係があります。実はこれも、ウェッジ積を使うことで簡単に表すことができます。微小な面積に関する公式が機械的な計算で求まるわけです。これは、2次元の場合だけでなく、高次元の場合でも成り立ちます。ウェッジ積を使った計算の結果に行列式が現れるのは不思議なことではありません。微分したものを積分すると元に戻るという事実から導き出される定理です。∂VF・dSとなることから得られる定理です。以下のように表されます。「微分して積分すると元に戻る」っていう発想の一種なわけです。全微分を拡張した何らかの微分操作で表現できないでしょうか。いう発想のもと考えられたのが次節で説明する外微分です。differentiation)を定義していきましょう。duiで外微分を定義します。dujとしていきます。階しか外微分できません。使った場合を具体的に計算してみましょう。見てみると回転と発散になっていることが分かるでしょうか。いった感じになります。外微分の計算過程に回転や発散の式が現れることが分かりました。ガウスの定理やストークスの定理を簡潔に表すことができそうです。見ての通り、まったく同じ形をしています。∫Cdφと表現するなら同じ形になります。勾配も発散も回転もまったく同じ形式で書くことができるようになったわけです。これらを合わせてストークスの定理と呼びます。これは、ベクトル解析のストークスの定理の自然な拡張になっています。具体的なイメージを伴うものになると思います。form)というのは以下のようにして定義されるものです。