2005)は内容的になかなか豪勢な一冊。14世紀の論者たち(ドゥンス・スコトゥス、ヴォデハム、ブラッドワーディン、オートレクール、リミニのグレゴリウス、オレーム、ビュリダン、ジャン・ド・リパ)が無限について論じた文献の仏訳アンソロジー。それぞれの抄録には研究者による解説もついていて、全体の布置を見通す上でとても有益に思える。ジョエル・ビアールによる序文をざっと見ただけなのだけれど、これまた全体的な流れを整理した、とても参考になる考察。いうわけでちょっとメモしておこう。無限概念は13世紀の神学者たちにも受け継がれていく。彼らはとくに1240年代から、至福直観(無限の存在を有限の知性が捉えることが前提とされる)の文脈で「無限」についての議論を盛んに行うようになる。actu)無限」が神の属性として認められるようになる。量的な観点からではなく、有(存在者)の観点から見た様態としての無限。広大さの無限と権能としての無限。両者の関係性の議論は、たとえばはるか後のジョルダーノ・ブルーノあたりまで綿々と連なっていく。前にちらっと触れたけれど、14世紀の議論では「無限」の意味を共義的に(syncategorematic)に取るか、自立的に(categorematic)に取るかという区別が立てられていた。この区別は実はプリスキアヌスの文法学にまで遡るのだそうだが、無限の概念にこれを当てはめた事例としてシャーウッドのウィリアム(13世紀)が挙げられている。「実体は無限である」という場合に、それをそのままの意味に取るなら自立的意味だし、それが述語との関係で意味が変わるとするなら(実体の数が無限・実体そのものが無限etc)共義的意味、というわけだが、この共義的意味での無限概念の解釈は、ソフィスマタの議論(ビュリダンなど)と絡んで論理学的な問題になり、こうして数学的アプローチを呼び込むことになる(リミニのグレゴリウスなど)。ここでの主戦場はオックスフォード。当時問題とされたうち代表的なものは、無限同士の比較は可能か、無限に何かを付加したらそれはより大きな無限になるのか、といったもの。無限を実体的に捉える立場からすると(ハークレイのヘンリーなど)、無限同士が不均等でありうるという議論が出てくる。これは「全体は部分よりも大きい」という、それまで自明視されていたテーゼが必ずしも真ではないという話を導く(ニコル・オレームなど)。世界は起点はあってもその先は無限であるという、とくに13世紀にフランシスコ会派が擁護し一般化した神学的テーゼも、連続体の構成の問題という形で再考される。前にチラ見したように、連続体が不可分の粒子のようなものから成るという論(ハークレイ、チャットンなど)と、それに対する反論(ヴォデハム、ブラッドワーディンなど)とが入り乱れ、さらに主戦場もパリへと拡大し、いよいよ乱戦模様がいっそう色濃くなっていく......のかな?うーむ、このあたりの錯綜具合いは少し丹念に追ってみたいところ。メルマガのほうでやることにしようかしら......。admin三たび『中世後期の哲学・神学における原子論』より。論集の末尾を飾るのは、ジョエル・ビアールによる「原子論的推論に対峙するパルマのブラシウス」という論考。パルマのブラシウスは、基本的には不可分論者ではないようで、連続体は無限に分割可能だという立場を取る。線を等分に分割するという場合、不可分論(原子論)では厳密な等分が保証されない、なぜかというと、その場合、線は偶数の原子から成るのでなければならないが、それが偶数か奇数かなど、そもそも決定できないではないか......。これはあくまで数学的な話であるわけだけれど、一方で連続体が部分から構成されるという議論になると、議論の進め方に両論併記的なところがあってどこか曖昧さが残るという。話が自然学のほうにいたると、ミニマ・ナトゥラリアをめぐる議論など(質料は無限に分割できるにしても、形相が付与もしくは保持される上での上限・下限は必要になってくるという考え方)、不可分論的なトーンが出てこざるを得ない。このあたりは、14世紀のほかの論者たち(前にも挙げたけれど、ヴォデハムやビュリダンなど)とも共通する部分ではあるわけだけれど、ちょっと興味深いのは、線を構成する点とは別に、連続体に位置をもたない不可分なものの例として知的霊魂が挙げられていること。ブラシウスは、自然学的観点から魂も無限に分割可能だとのスタンスなのだともいう(ヴェスコヴィーニの解釈)。このあたりもちょっと錯綜ぎみな感じで興味深いところ。admin引き続き論集『中世後期の哲学・神学における原子論』からメモ。不可分論は基本的にイングランド系の論者たちがメインという感じではあるけれども、一方で大陸側(というかフランス)でもそういう論を展開する人々はいた。いうわけで、その代表的人物としてまず取り上げられているのがオドのジェラール(ゲラルドゥス・オドニス)(1285頃〜1349)。パリのフランシスコ会の学問所で『命題集』の講義を行っていた人物で、14世紀パリでの最初の原子論者とされている。ここでの論考(サンダー・デ・ボアー「オドのジェラールの哲学における原子論の重要性」)はその不可分論(原子論)の骨子を紹介しているのだけれど、それによると、オドの場合には、連続体を分割していって行き着く先に不可分の原子があるという議論(数学的)から出発しているのではなく、「全体よりも先にまずは部分が存在する」という基本スタンスがまずあって、現実に存在する実体を、不可分なものが相互に結びついて構成するという議論が中心になるという。そのため分割の議論にまつわる様々な難点(神の全能性との絡みなど)がまったく問題にならないのだ、と。続いてクリストフ・グルヤールが取り上げるのはオートルクールのニコラ(「オートルクールのニコラの原子論的自然学」)。オートルクールのニコラ(1300頃〜1369)もなかなか数奇な運命を辿った人物。1347年には急進的なオッカム主義で異端と断じられ、その後はメスの大聖堂の参事会員となり、やがて参事会長になった。思想としては独特なものがあったようで、同論考によると、不可分なものに関する議論については数学的議論というより、自然学的な説明体系を志向しているらしい。上のオドとの絡みもあるし、このあたりが大陸的特徴なのかどうか......。ま、それはともかく、ニコラにおいては「ミニマ・ナトゥラリア」が「第一質料」の概念を不要にし、質料形相論が粒子論的な別の体系に置き換えられるのだという。そちらのほうがいっそう節約的な説明体系だというわけだ。同論考では、ニコラの原子論はデモクリトスの原子論が大元にあるらしいとされ、それにマイモニデス経由で伝わるムタカリムンの影響を受けて独自のものになっているとされる。原子はそれぞれ質的な属性をもち、ゆえに結合する力能を有しているとされるのだけれど、それを実際に結合させ実体を構成する(発生の原理)のは星辰の働き(!)なのだという。した説明の文脈で真空の存在も認めている。デカルトにはるかに先んじての非アリストテレス的体系という意味でもまた面白そうな論者だ。論集ではさらに、ビュリダンと論争したというモンテカレリオのミシェルなる人物も取り上げられている(ジャン・セレレット「1335年ごろのパリでの不可分論的議論」)。これはさらにエキセントリックなもののように思えるので、とりあえず割愛しよう(苦笑)。2009)という論集を見始めている。最初のマードック「アリストテレスを越えて;中世後期の不可分なもの、および無限の分割性」と、レガ・ウッド「不可分なものと無限:点に関するルフスの議論」の二章を読んだだけなのだけれど、なかなか面白い。マードックのほうは主な不可分論者、アンチ不可分論者をチャートでまとめてくれているほか、いくつかの当時の論点を紹介し、論者たちのスタンスと何が問題だったのかを、アリストテレスからの距離という形で、著者本人言うところの「カタログ」として提示してくれている。ギリシアの原子論にはパルメニデスの一元論への対応や自然現象の説明といった動機があったといい、アラブ世界の原子論(ムタカリムンという学者たち)には連続的創造という教義を通じて、すべての因果関係を神の一手に委ねるという意図があったというが、中世後期の原子論(ないし不可分論)にはそのような大きな、確たる動機が見えてこないらしい。1317)だということで、その「無限の不等性」議論などはやはり注目に値するものらしい。これはつまり、連続した線が無限の不可分の点から成るものの、異なった長さの二つの線を比べること、つまり無限同士の比較が可能だという話。ヘンリーは点同士が隣接できるとし、点が互いに接し居並ぶことによって大きさが増えると考えていたという。このあたり、神学も絡んで結構複雑な話が展開しているようだ。ウッドの論考は、一四世紀の議論の大元のひとつとなったコーンウォールのリチャード・ルフス(1260頃没)の議論を紹介しまとめている。著作から読み取れるその議論は、必ずしも一貫してはいないようで、詳細な説明がない場合もあるようなのだけれど、各著作の摺り合わせを通じて、最適解を作り上げようとしている。それによるとルフスは点を「位置を取る限りで実体のもとにある」と考えているといい(点はもちろん不可分なものとされる)、点が直線の「質料因」(つまり起点をなしているということ)だという言い方をしていることから、唯名論的な概念世界ではなく、外部世界の形而上学的説明を目してることが考えられるという。点は無限に繰り返されて直線をなすのではなく、質料の点的な位置取りが繰り返されて線ができるのであって、点そのものが線を作るのではないとしているという。球と線が接する場合についても、接するとはそもそも運動であり、接する不可分なものは連続的に移っていくのであって、連続体として(線の流れで?)接するのだと考えているという。このあたりは相変わらず微妙にわかりにくいところではある......。2006)(PDFはこちら)という論文に目を通す。1307年にモンペリエで書かれたという、ヤコポ・ダ・フィレンツェなる人物の代数学の書は、当時知られていたアル・フワーリズミーの『代数学』や、アブー・カーミル、さらにフィボナッチなどのものと違う「解法」が記されているといい、しかもそれが俗語(イタリア語)で書かれていて、ほかの代数学とは別筋の系譜があったことを思わせるのだという。それを文献学的に考察しようというのがこの論文。注目されるのは基本となる6種類の方程式の提示の仕方で、このヤコポの場合、アル・フワーリズミーとアブー・カーミルが示す順番(フィボナッチも一箇所だけ違うのみでほぼ同じ)とはまったく違う順番で示しているのだという。ほとんど専門的な記号などを用いず、商業関係の具体的な利益とか財産の話などでそれを示しているのが特徴的なのだそうだ。ラテン語で書かれた代数の書と大きく違う点として、解法の正しさを示す幾何学的な証明がいっさい用いられていないことも挙げられるという。そんなわけで論考は、文献学的な対応関係からヤコポがどんなソースを用いているのかを考察しようとするのだけれど、ヤコポの書の細かな諸特徴は個別に見ればアラブ系の文書にも見つかるとはいうものの、それらが一緒くたに入っている文書(つまりはソースの可能性が高いもの)というのはまだ見つかっていないのだという。ヤコポ後のイタリアの代数学の書を見ると、いずれもヤコポを出典として用いていることから、ヤコポの独自性がいやが上にも際立ってくるのだともいう。1344年に書かれたダルディ・ダ・ピサという人物の代数学はヤコポそのものに依拠しておらず、もしかするとヤコポが用いたものと共通の文書に依拠している可能性もあるのだとか。うーむ、文献学的な議論の面白さと、数学の文書の読み解きの難しさを改めて認識させてくれる(笑)興味深い論考だ。ちなみに論文著者は、このヤコポのテキスト(ヴァチカン写本)のトランスクリプションもPDFで公開している。2007)も出版されている。