整数ベキ関数は定義域上の任意の点において微分可能であることを示すとともに、その導関数を特定します。整数ベキ関数と微分可能な関数の合成関数について、その導関数を特定します。=x^{z}\end{equation*}という形で表されるならば、\(f\)を整数ベキ関数と呼びます。指数\(z\)が正の整数である場合、\(x^{z}\)は自然数ベキ関数になり、定義域は\(X=\mathbb{R}\)となります。指数が\(z=0\)の場合には\(x^{0}=1\)となるため、これは定数関数になり、定義域はやはり\(X=\mathbb{R}\)です。自然数ベキ関数や定数関数の微分可能性についてはすでに解説したため、以降では\(z\)が負の整数の場合について考えます。負の整数\(z\)は正の整数\(n\)を用いて\(z=-n\)と表すことができるため、以降では負の指数を\(-n\)で表します。=x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}\end{equation*}と定義されます。これは定数関数\(1\)と、自然数ベキ関数\(x^{n}\)の商です。ゼロで割ることは許されないため、この\(f\)は点\(x=0\)において定義されないことに注意してください。\{0\}\)となります。\{0\}\)上で連続です。=x^{-5}=\frac{1}{x^{5}}\end{equation*}であるならば、この\(f\)は整数ベキ関数です。分母が\(0\)になることは許されないため、この関数は点\(0\)において定義されないことに注意する必要があります。\mathbb{R}\)において微分可能です。^{2}}\end{equation*}という関係が成立します。以上の事実を利用すると、整数ベキ関数の微分可能性に関する以下の命題が得られます。\mathbb{R}\)は整数ベキ関数であるものとする。=x^{-n}\end{equation*}という形で表すことができるものとする。}\end{equation*}を定める。=-5x^{-6}\end{equation*}を定めます。\mathbb{R}\)を任意に選びます。\not=0\}\)です。\mathbb{R}\)を指数が負の整数\(-n\)であるようなベキ関数とします。=x^{-n}\)です。\mathbb{R}\)が定義可能です。^{n}}\end{eqnarray*}を値として定めます。\(n\)は正の整数です。合成関数について復習する関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であるものとします。\)においても微分可能です。\text{整数ベキ関数の微分}\end{eqnarray*}となります。\mathbb{R}\)を任意に選ぶ。\not=0\}\)である。\mathbb{R}\)を考える。\(n\)は正の整数である。a\right)\end{equation*}となる。^{-m}\end{equation*}という形で表すことができるものとします。cx^{n}\not=0\}\end{equation*}です。これは単項式関数\(cx^{n}\)と整数ベキ関数\(x^{-m}\)の合成関数です。\\&=&-\frac{mn}{c^{m}x^{nm+1}}\end{eqnarray*}を定めます。^{m}}\end{eqnarray*}という形で表すことができるものとします。\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\not=0\right\}\end{equation*}です。これは多項式関数\(\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と整数ベキ関数\(x^{-m}\)の合成関数です。}\left(\sum_{k=0}^{n}c_{k}kx^{k-1}\right)\end{eqnarray*}を定めます。^{-n}\end{equation*}という形で表すことができるものとします。}\not=0\right\}\end{equation*}です。}\)と整数ベキ関数\(x^{-n}\)の合成関数です。^{2}}\end{eqnarray*}を定めます。次回は無理関数の微分について学びます。>無理関数の微分ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。