2019年12月7日ある制約条件の下で、関数の極値を求める方法として「ラグランジュの未定乗数法」を説明します。この方法は、物理だけでなく機械学習や経済にも応用されています。この手法をマスターしてください。風邪で熱っぽいせいか、いつもよりも難しい問題がイメージできるような気がしています。x+y=Cという直線を動かして、半径1の円に接する場合のxとyを求めます。この場合は、接線と直角に交差する原点を通る直線がx=yであることを利用すると簡単に、算出できます。上述の問題を「ラグランジュの未定乗数法」という方法で解く手順を書きました。1f(x、y)=x+y、g(x、y)=x2+y2−1=0として、F(λ、x、y)=f(x、y)-λ・g(x、y)という関数を作ります。2このFをλ、x及びyで偏微分してゼロとします。3三つ式ができますので、これらからλを算出します。4λを用いてx及びyを求めます。何も考えずに、p.2の手順で計算していくと、λ=±√2/2、x=y=±√2/2と算出できます。これを図にしてみました。f(x、y)=x+yとう平面が黄色のものです。縦軸z=f(x、y)にします。この(x+y)平面は、(1,0,0)(0,1,0)(1,1,2)を通ります。g(x、y)=x2+y2-1=0は、下に凸の縄文式土器をイメージしてください。(0,0,-1)に壺の底があり、同心円状に粘土を半径を徐々に大きくしながら積み上げていきます。この壺は、xy平面の原点に中心を持つ半径1の円を含みます。この絵では、ピンク色で描いています。この壺をf(x、y)の平面で切断した切り口が赤の楕円形です。g(x、y)=x2+y2-1=0という拘束条件は、(x+y)平面上で取り得るxおよびyは赤の楕円上だけという意味です。この赤の楕円中のx及びyの最大値(●)は、先ほど計算したx=y=±√2/2であることが直感でもイメージできますね。ラグランジュの未定乗数法は、複雑な曲面についても応用できますので、非常に有用です。f(x、y)=4xyがg(x、y)=x2/a2+y2/b2-1=0の制約条件の下で、最大値を求よという問題もp.2の手順で解くと簡単に解けます。今日は、手順だけ説明しました。明日は、ラグランジュの未定乗数法の原理的な説明ができればと思います。災害時に役立つ備長炭?昨日のブログで、鉛筆で塗りつぶしたところに稲妻が落ちた(電子が流れた)理由を説明することになっていました。次の資料をご覧ください。炭素は種々の構造を取り得ます。その1」を先日説明しました。1標本の検定の説明でした。今回は2標本の検定の話です。