&mimetex("(\frac{a}{b})");がルジャンドル記号を意味するのか、単に分数を意味するのを区別するために、ルジャンドル記号を次の記号に置き換える。[a_{p-1}]\}");に対して、次のように定義する。(\frac{a}{p})");#divid(e,thorem)ルジャンドル記号の定義より、次が成り立つことは明らかである。A");は「集合Aは元aを含まない」を意味する。このとき、ガウスの和であるSを次のように定義する。\zeta^{a_k}");~ここで、ζは[[1の原始n乗根]]とする(ただし、n=pする)。#divid(e,thorem)#divid(s,notice)[例]具体的な数値例として、p=7の場合のガウスの和を調べてみる。最後の式変形でΣの添え字がkからhに変わっていることに注意。ガウスの和の定義は一見複雑そうに見えるが、2乗するととてもシンプルな形になる。(-1)^{\frac{p-1}{2}}");#divid(e,thorem)#divid(s,proof)[証明]ここで&mimetex("\lambda_p(0):=0");とする。これはルジャンドル記号で考えても矛盾しないから問題ない。すると、Sは次のように書ける(Σの始点に注目)。(*1)より、SSUP{2};は次のように書ける。ここで、Σが影響する括弧内に注目する。\lambda_p([kh])");に注目すると、次のように変形できる。\zeta^{(h+1)k)");と書ける。このことより、(*2)は次のように書ける。この定理から次の系がすぐに成り立つ。ここで第1補充法則より&mimetex("(-1)^{\frac{p-1}{2}}");は整数なので、SSUP{2};は整数である。定理の結果の両辺に&mimetex("(-1)^{\frac{p-1}{2}}");をかけると、SSUP{2};さえも消えてしまう。#divid(s,thorem)[系]SSUP{2};:整数#divid(e,thorem)#divid(s,proof)[証明]第1補充法則より&mimetex("(-1)^{\frac{p-1}{2}}");は整数なので、SSUP{2};は整数である。(-1)^{\frac{p-1}{2}}");の両辺に&mimetex("(-1)^{\frac{p-1}{2}}");をかけると、次が成り立つ。(-1)^{p-1}");pは素数なので、p-1は偶数。よって、-1を偶数乗すると1である。[[ガウスの和]]と[[ルジャンドルの記号]]が直接関係する次の性質が成り立つ。合同式であることに注意して欲しい。\pmod{q}");#divid(e,thorem)#divid(s,proof)[証明]pを(q-1)/2乗した結果は、式変形していくと次のようになる。←(*)qは奇数ならば、q-1は偶数である。~q-1=2kとすれば、SSUP{q-1};=(SSUP{2};)SUP{k};=(整数)SUP{k};=整数である。よって、(p/q)は次のように変形できる。ここでの目標は平方剰余の相互法則が成り立つことを示すことなので、上記の定理と(合同式版の)平方剰余の相互法則を比較すると、次の命題が成り立つことが示されればよい。実際にこの命題が成り立つことを証明する。\pmod{q}");#divid(e,thorem)#divid(s,proof)[証明]右辺のルジャンドル記号は写像λSUB{p};を使って書き直すと、次のようになる。\zeta^k");とおく。aSUB{0};=0とする(矛盾しない)。a_k");が成り立つ。X_n)");が成り立つことが知られている。~この式においてp=q,n=pとし、文字XSUB{i};にaSUB{i-1};を代入すると次が成り立つ。\mathbb{Z}[\zeta]");が成り立つ。~この理由は次の通りである。\lambda_p([k])");とおくと、複素数aSUB{k};は多項式bSUB{k};XSUP{k};の文字Xにζを代入した値である。a_{p-1})");は文字Xにζを入れた値、即ちg(ζ)と一致する。\mathbb{Z}[\zeta]");である。(*2)のΣの中は&mimetex("a_k^q");は次のように展開できる。(∵λSUB{p};の準同型性∧λSUB{p};([q]SUP{2};)=1)よって、(*2)は次のように展開できる。(∵Sの定義)よって、(*1)と比べて次が成り立つ。←(*3)ここで、SSUP{2};:整数∧q+1:偶数より、SSUP{q+1};:整数である。(*3)の左辺の分子は整数である。~よって、(3)の左辺は有理数である。Sと&mimetex("F_p(a_0,\cdots,a_{p-1})");はどちらも環Z[ζ]の元なので、乗算した結果である(*3)の右辺はZ[ζ]の元である(演算は閉じているから)。よって、(*3)の左辺も整数のはずである。「環Z[ζ]に含まれる有理数は整数である」(Z=Q∩Z[ζ])が成り立つことが知られているからである。p");=(pの倍数)より、(q,SSUP{2};)=1である。\lambda_p([q])");が成り立つ。\pmod{q}");である。以上の2つの定理により、次の定理が直ちに得られる。合同式の両辺はいずれも±1なので、等号が成立する。[[平方剰余の相互法則]]が成り立つことがわかった。