特殊な分野というイメージがあるかもしれません。「万有引力のエネルギーがわからない」などという質問をよく受けます。実は万有引力は、ほとんど今までの力学と同じ考え方で解けます。万有引力を特別に考えてしまうからなのです。簡単な例題と一緒に解説していきますね。問題演習でもペンがさらさら動くようになります。高校力学で最後に習う力が「万有引力』です。万有引力とはすべての物体同士に働く力で、2物体の質量\(m_{1}\)、\(m_{2}\)に比例し、2物体間の距離\(r\)の2乗に反比例するような力です。質量があれば万有引力は生じています。万有引力定数の小ささからわかるように、ボールや車、人間程度ではほとんど0になってしまいます。惑星のようなめちゃくちゃ質量が大きい場合です。万有引力が引き起こしています。力がわかれば運動方程式から運動を解析できるはずです。簡単な練習問題で万有引力の練習をしてみましょう。地表から高さ\(h\)を等速円運動する人工衛星の速度\(v\)を求めよ。人工衛星の質量は\(m\)、地球の質量を\(M\)、地球の半径を\(R\)、万有引力定数を\(G\)とする。以下の記事を参考にしてください。・【図解でわかる】円運動を東大院生が解説!速度・加速度の求め方この問題も円運動の基本通り考えれば解けそうです。力の図示をしましょう。人工衛星にかかるのは万有引力だけです。\]力がわかったので、円運動の運動方程式を立てれば\(v\)が求まります。運動方程式を基本に考えることができます。地表スレスレを等速円運動するために必要な速度、つまり上の問題でh=0との場合の人工衛星の速度を「第一宇宙速度」といいます。地表を第一宇宙速度以上のスピードで運動すれば、地球の万有引力を超えて地表から浮き上がることができます。万有引力の関係を確認しておきます。重力はそもそも万有引力が元になって発生する力です。万有引力のことを指します。地球の半径が十分に大きいのでその差は無視できます。以下のような関係が成り立つのです。頻繁に利用するものなので頭の片隅に置いておくといいでしょう。\sqrt{gR}\]と書くことができます。正確には、重力=万有引力だけではなく、地球の自転による遠心力などの影響もすべて含まれています。万有引力による位置エネルギーそれでは次に万有引力の位置エネルギーを考えます。その前に、そもそもエネルギーとは、その力によりどれだけ仕事をされたか=どれだけ仕事をする能力があるかを表しています。重力\(mg\)に逆らって高さ\(h\)に持ち上げるのに、\(mgh\)の仕事が必要だから、エネルギーは\(mgh\)です。エネルギーの概念自体に不安があれば、まずはエネルギーの復習をしておきましょう。・仕事とエネルギーを解説!定義から正しく理解しようそれでは万有引力の位置エネルギーです。万有引力の位置エネルギーは以下のようになります。最初のうちは公式として覚えてしまってもいいかもしれません。以下で詳しく解説していきます。万有引力の位置エネルギーの導出それでは万有引力の位置エネルギーの導出です。質量\(M\)、\(m\)の2物体を用意しましょう。この2物体が距離\(r\)のときの位置エネルギーは、2物体を距離\(r\)の位置に持っていくのに必要な仕事に等しいです。質量\(m\)の方だけを引っ張って\(r\)の位置に動かしてみましょう。このときに必要な仕事がエネルギーとなるわけです、が、この考え方には問題があります。万有引力が無限大に発散してしまうのです。\]そこで少し工夫をします。位置エネルギーの基準点を変えるのです。別の例を使って考えましょう。自分で好き勝手に基準点を決めますよね。基準点は好きに決めることができるのです。そこで万有引力では、エネルギーの基準を「無限遠」にとります。以下のように求まります。-G\frac{mM}{r}\end{align*}このようにして万有引力の位置エネルギーが求まりました。\]とめんどくさそうな項が残ってしまいます。これでも問題ないですが、どうせなら無限遠を基準にして置いた方が、エネルギーの式が見やすくなるのです。エネルギーがマイナスになるの??例えば、富士山のてっぺんを基準に取れば、日本全国中の位置エネルギーがマイナスになります。このようにエネルギーは基準ありきのものなので、符号に本質的な意味はありません。万有引力では富士山のてっぺんどころか「無限遠」という無限に高いところを基準にしているので、エネルギーの値がマイナスになっています。運動を解析することができるのでした。基本的な考え方は一緒ではありますが、きちんと練習をしておきましょう。地球の重力を振り切るために必要な初速を「第二宇宙速度」という。地球の重力を振り切るとはつまり、万有引力の位置エネルギーが0になる無限遠に達しても、まだ速度を持っている状態である。質量\(m\)の第二宇宙速度を求めよ。重力加速度を\(g\)とする。変化の前後の様子をきちんと図示します。次に変化の前後でエネルギーを比較します。\frac{1}{2}mv^{2}\]無限遠でも速度を持っているためには、\(\frac{1}{2}mv^{2}≧0\)でないといけません。\sqrt{2gR}\end{align*}最後の変形では、\(g=\frac{GM}{R^2}\)を使いました。第二宇宙速度は\(\sqrt{2gR}\)となります。慣れないと少し難しく感じますが、やっていることはただのエネルギー保存則です。参考:ケプラーの法則(準備中です。)まとめ今回は万有引力の解説でした。必要な知識をまとめておきます。重力を振り切るのに必要な初速。解法は意外と今までの力学と同じ部分が多いです。普段ネットを通した個別指導をしている僕が、60分無料の受験のお悩み相談を始めました。親御さんが抱える不安に関してなどなどどんなことでも相談を受け付けています。気になった方はぜひ下のリンクをチェックしてみてください。エネルギーの解説を行うための記事です。2019.04.25単振動では様々な「公式」が出てきます。それらを全てまとめると以下の通り。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。僕が青チャートを解くときに気をつけること。猫検定を受けることになった。努力は大事だけど「キッカケ」も大事。ローレンツ力の動画を投稿しました。WordPress.。