今回の演習では、行列の固有値と固有ベクトルの計算方法を検討します。以下の式を満たす$\lambda$と$x$を$A$の固有値と固有ベクトルという。固有値を計算することができます。$$行列の固有値$\lambda_i$に対応する固有ベクトルを$\phi_i$とします。($x^{\{0\}}$の$\phi_n$方向における成分が$0$ではないことを仮定します。$$実際の計算では、以下のように$x$の更新を繰り返しします。最大固有値と固有ベクトルを計算しなさい。初期ベクトル$x^{\{0\}}$は乱数で作成してください。反復計算の回数と固有ベクトルの誤差の関係図を描いて、近似固有ベクトルの収束を検討しなさい。反復計算の回数と固有値の誤差の図を描いて、近似固有値の収束を検討しなさい。ついて、以下の評価式があります。$$数値計算の結果によって、上記の誤差評価式の$\alpha$と$\beta$を求めてください。異なる初期ベクトルを使うとき、$\alpha$と$\beta$が変わるかどうかについて検討してください。eig(A)ここで、eig_vecの列ベクトルは固有ベクトル、eig_valueの対角成分が固有値である。厳密な固有値と固有ベクトルは未知ですが、MATLABのeig関数またはべき乗法を使って、近似固有値と近似固有ベクトルの算出ができます。以下は反復計算を100回を行って、良い近似固有値と固有ベクトルを算出しています。近似固有ベクトルと近似固有値の誤差を計算します。真の固有ベクトル(精度の良い固有ベクトル)と近似固有ベクトルの差を計算するとき、ベクトルの向き方向を確認するのは必要です。ベクトル$v_1$とベクトル$v_2$の内積が負であれば、二つのベクトルが成す角は$\pi/2$以上なります。(異なる方向と考えられる)ベクトル$v_1$とベクトル$v_2$の内積が正であれば、二つのベクトルが成す角は$\pi/2$以下なります。x'*solution_x;%ベクトルの内積によって、方向を確認します。行列Aの固有値$\lambda=1$に対応する固有ベクトル$v1$を求めてください。ベクトル$v1$をべき乗法の初期ベクトルとして使う場合、べき乗法でのベクトルが最大固有値の固有ベクトルに収束するかどうかについて確認してください。その収束のオーダーと理由を検討してください。=rand(5,1)[V,D]=eig(A)v1=V(:,2)。