目次キーワード要旨ユークリッド空間において、点列がコーシー列であることは、収束列であるための必要十分条件であることを示します。^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)が収束列であるならば、番号\(v\)を大きくしていくと項\(x_{v}\)がある点に限りなく近づいていきます。項\(x_{v}\)がある点に限りなく近づくのであれば、項の変化が限りなく小さくなっていきそうです。直感的に考えると、収束列はコーシー列でもありそうです。実際、収束列は常にコーシー列です。}{2}\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。=\varepsilon\end{align*}となるため\(\{x_{v}\}\)はコーシー列です。以上の結果を命題としてまとめておきます。^{n}\)において、収束列はコーシー列である。収束列はコーシー列であることが明らかになりましたが、逆に、コーシー列は必ず収束するでしょうか。順番に考えてきましょう。}\}\)もまた収束列であり、それはもとの収束列\(\{x_{v}\}\)と同じ極限へ収束します。}\}\)が収束する場合でも、もとの点列\(\{x_{v}\}\)は収束するとは限りません。}\}\)を持っている場合でも、もとのコーシー列\(\{x_{v}\}\)が収束することは保証できないはずです。コーシー列\(\{x_{v}\}\)に話を限定する場合には、\(\{x_{v}\}\)が収束することを前提にせずとも、以下の命題が成り立ちます。証明を見る(プレミアム会員限定)上の命題を踏まえると、コーシー列が収束することを示すためには、コーシー列が収束する部分列を持つことを示せばよいことになります。これを示すためには一般化されたボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を利用します。^{n}\)において、有界な点列は収束する部分列を持つ。証明を見る(プレミアム会員限定)すでに示したようにコーシー列は有界であるため、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より、コーシー列は収束する部分列を持ちます。^{n}\)において、コーシー列は収束する部分列を持つ。証明を見る(プレミアム会員限定)したがって、コーシー列が収束することが示されました。^{n}\)において、コーシー列は収束する。コーシー列の定義は点列の極限については何も述べてはいません。項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく点列をコーシー列と定めているだけです。ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の土台にある実数の連続性を公理として認める場合には、コーシー列が収束することを保証できるというわけです。収束列はコーシー列であるとともに、コーシー列は収束することが示されました。したがって以下が成り立ちます。^{n}\)において、点列\(\{x_{v}\}\)がコーシー列であることは、\(\{x_{v}\}\)が収束列であるための必要十分条件である。この命題の意味を考えておきましょう。点列\(\{x_{v}\}\)が与えられたとき、それが収束列であるかどうかを判定できない、もしくはその判定が難しい場合でも、\(\{x_{v}\}\)がコーシー列であることさえ示すことができれば、上の命題より\(\{x_{v}\}\)が収束列であることが保証されます。一般の収束列と同様に、コーシー列が収束する部分列を持つ場合には、コーシー列自身がその部分列と同じ極限に収束します。したがって、コーシー列\(\{x_{v}\}\)の部分列の極限さえ求められれば\(\{x_{v}\}\)は収束列であることを保証できると同時に、その極限もまた判明します。次回からユークリッド空間における位相について解説します。前のページコーシー列ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。