paradox)とは、素朴集合論において矛盾を導くパラドックスである。バートランド・ラッセルからゴットロープ・フレーゲへの1902年6月16日付けの書簡における、フレーゲの『算術の基本法則』における矛盾を指摘する記述に表れる[1]。II)の後書きに収録されている[2]。同じパラドックスはツェルメロが1年先に発見していたが、彼はその発見を公開せず、ヒルベルトやフッサールなどのゲッティンゲン大学の同僚たちだけに知られているだけだった[3][4]。ラッセルが型理論(階型理論)を生み出した目的にはこの種のパラドックスを解消するということも含まれていた[5]。x\}}の存在から矛盾が導かれるという、素朴集合論におけるパラドックスである。R}となるから、これは不合理である。R}となるから、やはり不合理である。集合論が形式化されていないことは矛盾の原因ではない。このパラドックスは古典述語論理上の理論として形式化された無制限な内包公理を持つ素朴集合論においても生ずる。上記の証明では排中律並びにそれと同等な論理法則を用いていないから、直観主義論理上の素朴集合論においても矛盾は生ずる。したがって論理を古典論理から直観主義論理に変更しても、ラッセルのパラドックスは回避できない。パラドックスの回避については、様々な方法が提案されている。詳細は矛盾の解消を参照。矛盾の解消編集ラッセルの時代には何をもって集合と呼ぶかがはっきりしていなかったので、上記の議論は集合論の矛盾を指摘するかに見えた。R}の構成法は集合についての定義としては許容されないような体系が構築された。公理的集合論ではまず集合論を形式化する。次にいかなる形の集合が存在するかを公理によって規定する。x\}}のような集合は構成できないように慎重に選ばれている。A|P(x)\}}が存在するここでの性質とは形式化された集合論の論理式と解釈される。このように修正された公理からはラッセルのパラドックスで用いられるような集合の存在を証明することはできない。これによりラッセルのパラドックスの議論はZFC集合論からは排除される。R}のような集合の存在を仮定すると矛盾が導かれる。R}の存在の否定が証明される。公理的集合論ではこのような集合の単なる集まりのことをクラスと呼ぶ。その集合としての存在が否定されるようなクラスを真のクラスという。R}の存在が導かれる、ここに不合理を得る。したがって全ての集合の集合は存在せず、全ての集合のクラスは真のクラスである。ZFC集合論ではクラスそのものを体系の内部で扱うことができない。そこでクラスは形式的には変数を持つ論理式として扱われる。P(x)}であって、クラスを用いた議論はクラスを用いない形に書き換えて行う。Q(x))}なる論理式のことと考える。このようにZFC集合論ではクラスを扱う際にメタ理論と対象理論とを行き来する必要がある。NBG集合論では、クラスを表す変数と集合を表す変数を導入し、体系内でクラスを扱えるようにしている。x}に内包性公理を適用することによってパラドキシカルな集合を構成している。x}のように循環的な帰属関係を持つ集合の存在は正則性公理によって否定される。正則性公理がラッセルのパラドックスを排除しているわけではない。公理を追加しても証明できる論理式は減らないからである。反基礎公理と呼ばれる循環的な集合の存在を積極的に保証する公理を置く集合論の体系も存在しており、この体系の無矛盾性はZFC集合論の無矛盾性から相対的に導かれる。ある種の循環性を制限することによって無矛盾性を確保しようという試みは存在しており、例えば後述する単純型理論はその典型的な例である。形でのみ許容する(すなわち論理式の文法を制限する)ことで矛盾を回避する。単純型理論は階型毎に無制限の内包公理を持つが、無矛盾である。縮約規則を取り除いたグリシン論理やBCK論理などの弱い論理の上では、無制限な内包公理を認めた(ただし外延性公理を排除した)素朴集合論が矛盾無く展開できることが知られている。外延性公理が排除されるのは、外延性公理から縮約規則が導かれ、したがって矛盾するからである。BCKβでは次のようにして外延性公理から矛盾が導かれる。