目次キーワード要旨ユークリッド空間においても、実数空間と同様に、コーシー列(基本列)と呼ばれる点列を定義することができます。コーシー列は有界な点列です。\end{equation*}が成り立つことを意味します。\end{equation*}と言い換え可能です。これはユークリッド距離関数\(d\)を用いたコーシー列の定義です。^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)がコーシー列であることを定義します。\end{equation*}が成り立つこととして定義します。\)より小さくなることということです。\end{equation*}と表現することもできます。\end{equation*}で与えられているものとします。\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\{x_{v}\}\)はコーシー列です。\end{equation*}で与えられているものとします。\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\{x_{v}\}\)はコーシー列です。\varepsilon\right)\end{equation*}が成り立つことを意味します。\)以上になってしまうような2つの項\(x_{m},x_{n}\)が存在するということです。\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=v\end{equation*}で与えられているものとします。\)を選び、さらに\(m=N+2\)かつ\(n=N+1\)とします。=1\end{eqnarray*}となるため\(\{x_{v}\}\)はコーシー列ではありません。-1\right)^{v}\right)\end{equation*}で与えられているものとします。\)を選び、さらに\(m=N\)かつ\(n=N+1\)とします。=1\end{eqnarray*}となるため、\(\{x_{v}\}\)はコーシー列ではありません。\)におけるコーシー列に関して以下の命題が成り立ちます。\)における数列がコーシー列ならば、それは有界な数列である。^{n}\)におけるコーシー列についても同様の命題が成り立つことを示すことができます。^{n}\)における点列がコーシー列ならば、それは有界な点列である。^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)がコーシー列であることは先に示しました。したがって上の命題より、この点列\(\{x_{v}\}\)は有界です。2\end{eqnarray*}を満たすため、ともに有界です。したがって、点列\(\{x_{v}\}\)が点列であることが示されました。この結果は上の命題と整合的です。先の命題の逆は成り立つとは限りません。有界な点列はコーシー列であるとは限りません。^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)がコーシー列ではないことは先に示しました。1\end{eqnarray*}を満たすため、ともに有界です。したがって、点列\(\{x_{v}\}\)が点列であることが示されました。コーシー列が有界であるという事実は、コーシー列の収束について考える際に重要な役割を果たします。次回はコーシー列と収束列の関係について解説します。>コーシー列と収束列ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。