「何これ?何の意味があるの?」という疑問を持った人は多いのではないでしょうか。「2乗すると-1になる数を考えて解いてみましょう」と言って計算させて、何なのこれは?という話です。「数の概念を拡張してまで解きたい二次方程式」として、数列の三項間漸化式を考えてみたいと思います。複素数というものを新たに導入する動機づけがほしい「何の役に立つのか?」を簡単に説明する事例を挙げるのは、結構難しいです。三次方程式の解の公式(カルダノの公式)で必要になることを説明するのが、本当はいいのでしょうが、これは結構難しい内容になります。「交流回路の計算で使われる」という話が紹介されることはありますが、具体的に計算式を示すには、まず電気についての説明が必要になります。高校数学の範囲で、もっと単純に以下のような例はないでしょうか?この2次方程式は実数解を持たない。「ああ、そういうときに役に立つのね。いうことは他にもありそうだね」と、納得できる気がします。いう例はなかなか出てきません。いうのも、2次方程式が出てくるのは、例えばこういう場合だからです。長さ16cmの紐があります。この紐を使って、面積が15平方センチメートルの長方形を作るには、1辺の長さをいくつにすればよいでしょう?一辺の長さをxとすると、こういう式になります。これを解くと、こうなります。長方形を作ればいいということになりますね。問題がこうなるとどうでしょう?長さ16cmの紐があります。この紐を使って、面積が17平方センチメートルの長方形を作るには、1辺の長さをいくつにすればよいでしょう?同じく一辺の長さをxとして方程式を作ります。これは実数解を持ちません。解くととなりますが、こうやって無理矢理解いた答えに意味はあるでしょうか?ありませんね。「面積17平方センチメートルにはできない」というのが答えになります。「それでも無理矢理解きたい」と思うケースがほとんどないのです。数列の三項間漸化式でした。数列の三項間漸化式とは数列の三項間漸化式は、こういうものです。こちらの一般項をnの式で表す問題です。これ自体、高校の学習指導要領には入っておらず、「発展的な内容」として紹介されるに留まるもので、微妙と言えば微妙なのですが、私が高校生の時は以下の解き方を教わりました。これの係数をそのまま二次方程式の係数にした、「特性方程式」を作ります。解と係数の関係から、以下が言えます。これを使うと元の漸化式がこうなります。この式は、以下の2通りに変形できます。添え字を順番に減らして行くと以下が得られます。同様に、2番目の式より以下が得られます。上の式から下の式を引くと、となり、n番目の数をnの式で表すことができました。同じ解き方で解くことができます。重解の場合はちょっと工夫が必要です。特性方程式が実数解を持たない場合はどうでしょうか?「n番目の数をnの式で表すことはできない」が答えになるのでしょうか?それはちょっと悲しいですね。虚数解を許せば、全く同じように一般項をnの式で表すことができるのです。「三項間漸化式は、特性方程式の解が虚数の場合も、同じように計算して一般項をnの式で表すことができる」ということ自体は、三項間漸化式の解き方の紹介の際に、さらりと触れられることはあります。ここはさらりと触れて終わりにするべきところではなく、むしろ、この2次方程式は実数解を持たない。しても解がほしいという、複素数の範囲まで数の概念を拡張したい積極的な理由になる、高校数学の範囲の中の数少ない例の一つだと思うのです。虚数解を使って無理矢理解くことに意味があるのか?これで納得できればいいのですが、わかったけど、そんなに無理してまでn番目の数をnの式で表して、何かいいことはあるのか?という疑問を持つかもしれません。これはもっともな疑問で、実際、をnの式で表すと、となるのですが、じゃあを計算するためにを2項展開するのか?というと、却って面倒です。n=3,4,5,...と、10番目まで順番に求めたほうがいいでしょう。「ほら、複素数って便利でしょ?」とはならないのです。一歩踏み込んでみましょう。数列の性質が分かる三項間漸化式は、特性方程式が異なる2つの解αとβを持つ場合、先ほどの例のように計算することで、一般項を以下のように表せます。pとqは、初期条件によって定まります。このように、n番目の項をnの式で表すメリットの一つは、数列の大まかな特徴がわかることです。αとβが実数で、どちらも絶対値が1より小さいときは、nが大きくなると、a_nは0に収束するαとβが実数で、どちらかの絶対値が1より大きいときは、nが大きくなるとa_nの絶対値が指数関数的に大きくなるa_nをnの式で表すことによって、このような、数列の大局的な性質を知ることができます。実際に、グラフにしてみましょう。αとβが実数、どちらも絶対値が1より小さいαとβが実数、片方の絶対値が1より大きい解が虚数の場合は、次のことが分かります。解の絶対値が1より小さければ0に収束する解の絶対値が1より大きいときは、nが大きくなるにつれて段々大きい値を取るようになるが、実数の場合と異なり、nが大きくなっても0付近の値を取ることがあるこちらもグラフにしてみましょう。解の絶対値が1に等しいときです。複素数αの絶対値が1のとき、αを何乗しても、複素平面上の単位円の上をぐるぐる回るだけなので、収束も発散もせず、一定の範囲内の値を取ることがわかります。これも具体的に見てみましょう。特性方程式が虚数解を持ち、かつその絶対値が1になるのは、このようなときです。初期条件が、のときをグラフ化してみます。解が虚数、解の絶対値が1に等しい(その1)解が虚数、解の絶対値が1に等しい(その2)このように、三角関数のグラフのような形になります。元の漸化式からはすぐにはわかりません。いう漸化式を使って、n=1,2,3,...と順番に計算していくと「三角関数が現れる」というのは、意外な結果ではないでしょうか。係数が少し変わっただけで挙動が大きく変わるので、漸化式そのものを眺めているだけではこういったことはわからないのです。まとめこの2次方程式は実数解を持たない。