目次キーワード要旨ユークリッド空間における開集合や開集合系について定義した上で、開集合が満たす基本的な性質について解説します。^{n}\)の開集合であることを示します。\tag{1}\end{equation}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標になります。^{2}\)の場合は下図の通り)。^{n}\)における開集合です。^{3}\)における球体(表面の球面を覗く)などはそれぞれの空間における点の近傍です。したがってこれらはいずれもそれぞれの空間における開集合です。\(a\))などと呼びます。neighborhood)と呼ぶこともあります。\end{align*}となるため、点の閉近傍は閉区間と一致します。^{2}\}\end{eqnarray*}となります。\)の円盤に相当します(下図)。^{2}\}\end{eqnarray*}となります。\)の球体に相当します。^{n}\)の開集合ではありません。^{2}\)の場合は下図の通り)。^{n}\)における開集合ではありません。^{3}\)における球体などはそれぞれの空間における点の閉近傍です。したがってこれらはいずれもそれぞれの空間における開集合ではありません。\right\}\end{equation*}となります。\right)\end{align*}となります。^{2}\}\end{eqnarray*}となります。^{n}\)において開集合になります。証明は演習問題にします。^{n}\)を考えます。x\not=a\right\}\end{equation*}をとります。\right)\end{align*}となります。x_{2}\not=a_{2}\}\end{eqnarray*}となります。^{n}\)において開集合になります。証明は演習問題にします。sets)と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表します。A\end{equation*}という関係が成り立ちます。\(\mathbb{R}\)の開集合系は以下の性質を満たします。^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は以下の性質を満たす。^{n}\)の開集合であることを意味します。\)は有限個の開集合の共通部分が開集合であることを意味します。\)は任意個の開集合をとったとき、それらの和集合もまた開集合であることを意味します。\)は無限個の開集合に関して成立することに注意する必要があります。\)は任意の集合ですので、問題とする開集合の個数は非可算個でもかまいません。\)が無限個の開集合に関して成り立つとは限らないことを示しています。\)において開区間は開集合ですが、閉区間は開集合ではありません。\end{equation*}となり、これは閉区間であるため\(\mathbb{R}\)の開集合ではありません。次回はユークリッド空間における閉集合について学びます。>閉集合・閉集合系ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。