いう関数(超関数)のことを考えているか、大体伝わったと思います。」という確率を表していました。イプシロン関数は「x軸上で、ある粒子が存在する確率が、x軸上のありとあらゆる点で同様に確からしい」と解釈するのが自然でしょう!!!!...いや、「!」マークまで付けて強調しましたが、それが自然だと感じているのが僕だけだったらごめんなさい。累積分布関数イプシロン関数を確率密度関数と考えるなら、その累積分布関数を考えるのは自然な流れです。これは自然な流れです。累積分布関数を考えてみるんですが...これが、よくわからないんですよ!!累積分布関数である以上、マイナス∞の極限で0、プラス∞の極限で1になります。これはイプシロン関数の性質「積分すると1」と合致します。2点を「水平な直線」で結んだものが、累積分布関数になると思われます。いや、飛躍してますかね。イプシロン関数の値自体はずっと(ほぼ?)0なので、その積分である累積分布関数は傾き(ほぼ?)0の線なわけです。「(ほぼ?)」といってるのは、厳密に0なのかどうなのか僕がよくわかってないからです。いやだって厳密に0だったら積分が1にならないじゃない!でも有限の値とってかつx軸全体で同様に確からしかったら、積分が発散しちゃうのでやっぱり厳密に0だよなあ...。水平な直線ということで納得しましょう。累積分布関数のグラフ次の問題は、この累積分布関数のグラフを書こうとすると発生します。ないの?」と思った方もいるかもしれません。それって正しくないと思うんですよ。「真ん中」とかいう「特別」な扱いをする必然性はどこにもないわけです。宇宙に中心はない、みたいな話ですね。イプシロン関数を定義しようとまあ、感覚的な話が続いてしまいましが数学の記事を書いてるのに感覚的な話に終始していてはいけません。累積分布関数がどこを通るかわからないのは、きっとイプシロン関数をちゃんと数式で定義していないからなのでしょう。いうことで、定義を試みます。デルタ関数のみたいに、他の関数と掛け算して積分した時にどうなればいいか、っていう観点で定義できそうかな?どうなればいいんでしょうね。平均値」を表していると考えられます。それも普通の平均ではなく、(-∞,∞)という範囲における平均です。掛け算して積分したら、f(x)の平均値がでるんです。「値×確率」を全部足すって奴です。説明が超雑ですが、ここで確率論の説明してると長くなるのでこの程度にします。時は、この積分は1になってなきゃいけません。イプシロン関数に要求している性質です。定数の時は、その定数がそのまま積分値になりますね。場合はどうでしょう?この積分は、x軸上で粒子が発見される位置の「期待値」を表します。「値×確率」を全部足すっていう奴です。この積分はどうなるでしょうか?の左半分と右半分で相殺するから、積分結果は0...?...。「真ん中」と捉えている場合の考え方です。「真ん中」としてその左右が相殺すれば、積分値は3になるわけです。結局、この積分が「わからない」んですよね。宇宙に中心はないわけです。いうことで、の「???」の部分、ひいてはの「???」の部分が埋められないので、これうまく定義できないですね。いや、方法はあるのかもしれないけど、今の僕ではうまく扱えません。実際、うまく扱う方法がなくて何の役にも立たないから、この関数は検索してもヒットしなかったのかもしれません。特別な点として扱ってみたらどうだ?主観的に中心を決めてしまえば良いわけですよ。あなたがこの宇宙にある何かを感じる時、どうしたってそれはあなた一人が感じているわけで他の人とまったく同じ感じ方をしていることはありえないわけで相対性理論だって観測者によって時間の感じ方とか質量とかが変わるって言ってるわけでまあ要するに宇宙の中心はある!!それはお前自身だ!!いや、むしろ、この文を書いている俺からしたら、宇宙の中心はお前ですらない宇宙の中心は、常にこの俺だ!!!というわけでですね。特別扱いすることが根拠付けされました。今度こそイプシロン関数を定義するはい。アレですが、これでしょうね。右辺の積分範囲がポイントです。「真ん中」として、同じ速度で積分範囲が大きくなるようになっています。範囲での平均値を出します。積分が1か確認するを代入します。f(x)にいろいろ入れてみるf(x)にいろいろ関数をいれてみて、それらの関数の「x=0を『真ん中』とした平均値」を求めてみましょう。定数がそのままでてきました。実はこれデルタ関数と同じ性質です。同じ値なんだから、その平均もその値になるに決まってますね。左半分と右半分で相殺するから、積分結果は0」が起こってるわけです。2次式これ計算すると、無限大に発散します。aが正なら正、負なら負の無限大に発散します。計算しませんが、奇数次の項しかなければ0だし、2次以上の偶数次の項があれば正か負の∞に発散しますね。結局、二次以上の項は絶対値がどこまでも大きくなるので、プラスとマイナスで相殺しない限り、その平均値は無限大になっちゃうわけですね。指数関数これも発散します。二次式の時と話は同じです。三角関数はさみうちの原理とかでアレすると、これ0になります。上下で揺れてるだけなので、それを全範囲で平均とると0になるわけですね。Wikipediaに書いてあるのと同じようにやってみます。「指示関数」とかいうものを持ってきます。範囲内にあれば1、なければ0。これを使って、累積分布関数、つまり「マイナス無限大からxまでの積分」をと定義します。xより大きい所では、指示関数が0になってくれるので、結局右辺と左辺は同じ値になるはずですね。「マイナス無限大から『ある有限の値xまでの積分』」を定義しただけです。この点、覚えておいてください。不定積分(原始関数)です。x以上の所では定数cで、xより小さい所では傾き1の直線(s-x+定数c)です。xの関数ではなくてsの関数の話をしているので気をつけてください。この部分ではxは定数です。!!まあ、上でも「水平な直線」と言ってたので、わかってたっちゃわかってたんですが、xに依存しないんですね!!どっか適当なx軸上の点を持ってきて、「その点より左にある確率」を考えると、いつだって1/2だということです。持ってきた点が宇宙の真ん中になるわけですよ多分。x→無限大にしても1にならないけど?累積分布関数はx→無限大とした場合1にならなければいけません。ここで思い出してほしいのが、上の定義はあくまで、マイナス無限大から『ある有限の値xまでの積分』」を定義しただけだったということです。x→無限大とか、x→マイナス無限大の時については何も言ってないわけですよ。有限の時しか成り立たないですよ、と断って話をしていたので、「無限にしたら矛盾するけど?」とか言われても「知らん。無限の時はどうするのって話なんですけど、x→無限大の時は1、x→マイナス無限大の時は0、って、定義すればいいんじゃないかな!それで完璧に条件を満たしますよ!!極限とるタイミングをかなり気をつけて扱わなきゃいけない関数の完成ですね。これも超関数なのかな?粒子の位置を表す関数として解釈するデルタ関数が「x=0に粒子がある」という確率を表していたので、イプシロン関数についても改めて解釈してみましょう。...といっても、イプシロン関数から読み取れることは、「x軸全体のどこかにある」という情報だけです。「どこにある確率が高い」とかそういうことは何も言えません。いうのはまあ、そうなんですがここで、次の値を計算してみます。この計算は、「粒子が存在する位置の期待値」を表します。「値×確率」を全部足してるわけです。これ、xって単なる一次式なので、上で計算したように、答え0なんですよね。平均値としては、x=0になるんです。宇宙の中心はあなたというわけですよ。