各点収束とか一様収束については解説すると長くなるのでここでは割愛するので、知らない人は流し読みしてください。ちなみに、一様収束する場合は、積分範囲が有限の場合、積分してから極限とるのと極限とってから積分するのとで、結果が同じになるらしいです。今回は、先に積分すると1だし(nに関わらず面積1だから)、先に極限とると0になる(f(x)=0になるから)ということで、積分してから極限とるか極限とってから積分するかで値が違いますね。一様収束してないし、積分範囲が有限でもないですからね。これを「x軸上で、ある粒子がどの位置にあるか、という確率を表す」と解釈することが出来るわけですよ。地点にある」と断言できるわけです。普通、x軸という連続な範囲において、ある厳密な一点に粒子がある確率は0%です。ほんのちょっとでもズレてたらアウトなので、そういうことになるんです。範囲にある確率」みたいに範囲で考えて初めて、意味のある確率が出てくるわけです。地点にあると断言できるので、気持ち悪いわけですね。いうのは、確率密度関数をマイナス∞からxまで積分してきた値を示したものです。「あるx以下の範囲に粒子がある確率」を表します。ちなみにデルタ関数を確率密度関数と考えた時の累積分布関数はこうなります。ピョンと飛び上がります。時は100%その範囲に粒子があるわけです。上でどうなってるかは知りません。ーっとした超関数を考えよう!ここまでデルタ関数を紹介してきました。これに対して、のぺーっとした超関数はないのか、というのが今回の疑問。本題ですよ!!やっとって言っても、texで式書いたりgif動画作るのに時間がかかったのは僕の話であって、読んでると一瞬かもしれないですけどね!!はい。「のぺーっとした関数」でググっても、ツイッターで聞いてみても、全然それっぽい話がヒットしなかったので、調べるのは諦めて自分で考えることにしたのが事の発端です。名前を付けよう!デルタ関数にならって、イプシロン関数と呼びましょう。「イプシロン関数」で検索しても既存のものはなかったので、良いでしょう。大きくしていくと...こう。大きくしていくと...どちらも面積=1をキープしたまま、x軸にのぺーっと張り付いていく様子が見て取れます。一致してしまって、イプシロン関数なんてものを考えることはできないんじゃないか?ということです。0.999999.....が1と等しいみたいな。1と別個に0.99999.....という数字を考えることはできないわけです。各点収束もするし、一様収束もするんです。一様収束は、各点収束よりも割りとガッツリ収束していくので、極限とったら完全に同じものになるんじゃないか。...と思ってたんですけど。これ、nをどれだけ大きくしても積分はずっと1なんですよ。これは、はっきり違いますね。先に極限とって積分するのと、積分してから極限とるのとで、値が違うわけですね。今回は、一様収束はしても、積分範囲が無限だから、積分と極限は順序を入れ替えたら値が変わりうるわけですね。