プログラミングの記事を書きます。高校生からわかる近似曲線に指数関数を選ぶとき指数関数の意味。-korokoroこんにちは(@t_kun_kamakiri)。当てはめて関係性を見るかもしれません。「1次関数で近似できる」場合と、「指数関数で近似できる」場合の考えを理解する。こちらの記事もどうぞ「1次関数で近似する」場合と「指数関数で近似する」場合イメージしやすいように、「気温とアイスの売り上げ」を例にとって話を進めていきます。両者の関係性をイメージすると、気温が高いとアイスの売り上げが上がるというのがイメージできますよね。(価格は変動しないとします)$$y=ax+b$$と書いて、両者の関係は「1次関数かな」って具合に表しますよね。両者の関係式がどうやら「指数関数」で書けるのではないか?となった場合にどんなことをイメージするでしょう。両者の関係性がずっと変わらないという意味は、傾きが変わらないという意味です。(1)$$だということを意味しています。(2)$$と近似式で関係性を表した場合に、傾きが変わらないかどうか微分して見てみましょう。(3)$$となりますのでやはり傾きが変わらないということがわかります。(3)式から言えることは、「気温が10°Cから20°Cに変わったときの売り上げの変化量も、気温が50°Cから60°Cに変わったときの売り上げの変化量変わらない」ということになります。温度に対して、売り上げの増加の感度はどんな温度域を考えても同じだってことを言っているのです。関係性をわかりやすく3つの領域に分割(下図の右)してみましょう。すると傾きが徐々に上昇しているのがわかるかと思います。ほんとうにそうなのかどうかは、1次関数の時と同様に指数関数を微分してみれば良いです。(4)$$これを微分します。(5)$$※最後の式には(4)式を用いた。(5)式を、下のように絵にしてみましょう。上図から、両者の関係性が指数関数である場合には、アイスの売り上げが高い領域では、変化率が大きくなっているということがわかります。これは言い換えると、気温が高い領域ではアイスの売り上げが敏感に変わっているということなのです。両者の関係式を試験などを行い紙にプロットすれば、関係性は見えてくるかと思いますが、「あれ?これって指数関数で書ける関係式にあるんじゃないか?」って試験をせず関係性を予測することはできないのでしょうか?実は物理の問題で指数関数的な関係性をもったものというのはよく登場します。(6)$$というのがあります。これも(5)式と同じ形をしていますよね。原子核だとか素粒子だとか話すと難しい話になるので、(6)式は「粒子数\(N\)が大きいと、単位時間あたりの粒子の減少量が大きい(あるいは、粒子数が小さいと単位時間あたりにあまり粒子は減らない)」と簡単に考えます。言い換えると、粒子数\(N\)が多いと粒子数の減り方がめちゃくちゃ敏感に反応してどんどん減るよってことです。文言だけみると、指数関数っぽいですよね。実際そうなのですが、確かめてみましょう。(7)$$これを両辺\(t\)で積分します。(8)$$※\(N_{0}=e^{C}\)となってやっぱり指数関数となりました。関数の幅(スケール)を考えると物理的意味がわかる(8)式から物理的意味をもう少し考えてみましょう。出てきた関数のスケールを考えるというのは物理的な考察でよくすることです。今回の場合は、指数関数の分母に\(\tau=\frac{1}{\lambda}\)を導入すると、関数の幅(スケール)というのを定義できます。この\(\tau\)が大きいと、曲線の幅は大きくなり「なかなか時間が経っても粒子が減らないな~」ってなるわけです(下図)。逆に、\(\tau\)が小さいと曲線の幅が狭くなり「あっという間に粒子が無くなってしまった」となるわけです(下図)。\(\tau\)は粒子の寿命は表す量になります。まとめ両者の関係式が「1次関数で近似できる」場合と、「指数関数で近似できる」場合の違いをまとめれたと思います。指数関数で近似できるなら、片対数グラフを使うことをお勧めします(下記の記事が参考になります)。高校生からわかる片対数グラフと両対数グラフを使うと直線になる理由こちらの記事もどうぞ直交関数系をベクトルの線形結合と類似して考えてみよう。使って任意関数を表そう。【複素フーリエ級数展開】オイラーの公式を使ってフーリエ級数展開式を使って書き変えよう。【フーリエ変換をイメージでわかりやすく】フーリエ変換によって異なる波数の波がどれくらい含んでいるかがわかる。フーリエ変換をイメージでわかりやすく】フーリエ変換によって異なる波数の波がどれくらい含んでいるかがわかる。使って任意関数を表そう。-【CAE解析の目的とは?】CAEは実機の代替えなのか?精度を無視してパラメータスタディすることは意味がないのか?【Udemyがお勧め理由5つ】プログラミングを勉強するなら動画学習おすすめ【まとめ】比熱の温度依存性について。古典論と量子論から理解する。【理想気体の比熱の温度依存性(7)】シュレディンガー方程式の極座標表記(2原子分子)から動径方向だけを抽出しようコメントを残すコメントをキャンセルプロフィールカマキリ(^^)大学以上の物理を勉強してブログに書いていきます。大学の専攻は物性理論で、Fortranを使って数値計算をしていました。CAE解析(流体解析)・毎日note更新しています。内容は、「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」を書いています。1DCAEの操作方法などを動画にしています。youtube・Qiitaではプログラミング言語の基本的な内容をまとめています。(10)ブログをメールで購読メールアドレスを記入して購読すれば、更新をメールで受信できます。