】(要点)多項式P(x)を1次式x−aで割った余りはP(a)に等しい。多項式P(x)=x2+x+3を1次式x−1で割る計算は右のようになるが、このときの余りはP(x)のxに1を代入するだけで求めることができる。多項式P(x)=x2−3x+4を1次式x+2で割る計算は右のようになるが、このときの余りはP(x)のxに−2を代入するだけで求めることができる。多項式をn次式で割ったときの余りは、割る式よりも次数が低い。上の例1では1次式x−1で割っているから余りは0次(定数)になる。2次式で割っていれば、余りは1次式または定数になる。3次式で割っていれば、余りは2次式、1次式または定数になる。多項式の割り算では、割る式よりも次数が低くなったときに余りとする。割る式よりも次数が高いときや割る式と次数が同じときはまだ計算の途中だと考えなければならない。例1の計算で、右のような段階では2x+3は割る式x−1と同じ次数の1次式だから、この割り算はまだ終わっておらず計算の途中である。したがって、2x+3は余りではなく、上の例のように求めなければならない。A=BQ+Rこの関係式は「割り算の原理」(商と余りの関係)と呼ばれる。RはA=BQ+Rを満たす。(商Qは掛け算に参加するが、余りRは掛け算に参加しない。)右図1のようにA÷B=Q余りRのときに「割り算の中身は引き算」であることに注意するとA−BQ=Rとなるから、移項すればA=BQ+Rが成り立つ。例1のような割り算では、割り算が1階建てで終わるとは限らず2階建て以上になることがある。このような場合には、右図2のように預金を2回以上に分けて引き出しているだけだから、商としてxと2に分けて計算せずにQ=x+2でまとめて計算すると、残高RがA−BQで求められる。多項式を1次式で割ったときの余りは、割り算しなくても求めることができる。剰余の定理は強力であるが、求まるのは「余り」だけで「商」は求まらない...便利さと引き換えに重要なものを犠牲にしている1次式で割ったときに限る...2次式、3次式で割った余りはそのままでは求まらない。この定理はx−aで割った余りを与えるもので、x+aで割った余りを求めるにはP(−a)を計算しなければならない。使わなければならない。剰余の定理を初めて学ぶとき、「速く理解しよう」とか「能率よく理解しよう」などと考えると、おそらく身に着かない。少なくとも30分はこの定理を牛のように反芻する必要がある。鉛筆やマウスを持ってスラスラと片付けようなどと考えるのは無理。...(1)が成り立つ。(この余りRを求めることが当面の目標になる。...(2)になり、余りRがP(a)に等しいことが示される。■証明終り■この定理はx−aで割ったときの余りを与えていることに注意しなければならない。x−(−1)と考えてP(−1)を計算するとよい。左の式(1)において与えられた多項式P(x)から余りRを求めるためにR=P(x)−(x−a)Q(x)を使おうとしても、商Q(x)が分からないため、立ち往生してしまう。この商Q(x)は正体がつかめないお化け(お化けのQ太郎・・・昭和の時代の有名キャラクター)なので、値を求めようとしても無駄である。ところが、Q(x)の値が全く分からないときでも、これを「消す」方法が1つある。それは0を掛けるのである。0×Q(x)の形になるようにうまくxの値を選べば、Q(x)が分からなくてもこれを消すことができる。(x−a)Q(x)の式の形に注意すると、そのようなxの値が1つだけあることが分かる。x−aが0となる値、すなわちx=aを代入するのである。P(a)=0×Q(a)+RP(a)=Rとなって分からない値Rが与えられた式P(x)の値で表される。g(x)などもよく使われる。代入すると求めることができる。多項式P(x)=2x2−3x+4を1次式2x−3で割ったときの余りはP(x)のxにを代入すると求めることができる。1次式x−aで割ったときの余りしか求められない(すなわちxの係数が1のときしか対応できない)のに対して、xの係数が1でないときにも適用できるように拡張したものである。...(1)が成り立つ。この式において、値が分からないQ(x)を消すためには、Q(x)にかけてあるax+bの値が0となるようなxの値を代入すればよい。)に等しいことが示される。おいて「P(x)をx−aで割ったときの余りはP(a)に等しい」というとき、aが整数という前提はどこにも使っていない。aが分数や無理数であっても成り立つことになる。)はP(x)をx+で割ったときの余りに等しい」ことになる。)はx+で割ったときの余りを表すことになる。これらの話は矛盾しない。)=6となるが、実際に割り算をしてみると2x2−3x+4=(2x+1)(x−2)+6になる。)(2x−4)+6を表している。一般に、多項式の割り算において割る式を定数倍したとき、商はその定数で割ったものになるが余りは変わらない。内容として「x+で割ったときの余り」と考えてもよいことになる。割ったときの余りは等しい。剰余の定理は1次式で割ったときの余りを与えるものなので、そのまま使えば2次式で割ったときの余りは求められない。多項式x3−2x3+x+7を2次式x2−3x+2で割ったときの余りを求めるためには、剰余の定理の結果を覚えているだけでなく剰余の定理の証明の仕方に立ち返って式を組み立てる必要がある。右の答案において、「2次式で割ったときの余り」を求めているのだから、余りは割る式(2次)よりも次数が低く1次または定数になる。したがって、余りはax+bとおける。(このa,bの値を求めるとよい。a=0なら、余りは定数になる。右の例のように、割る式が(x−1)(x−2)のように因数分解できるときはQ(x)に掛けてある式が2つあることになるから、0×Q(x)のようにQ(x)に0を掛けて消すことのできる値が2つ見つかる。(この例ではx=1とx=2)割る式が(x−1)2のような重解型であったり、x2+1のような虚数解型であるときはやっかいな問題になるが、この例のように異なる2つの実数解がある型のときは、2つの値を代入することによって、(2)(3)のように連立方程式が得られる。(未知数が2個だから方程式が2個作れれば、連立方程式として解ける。例1多項式P(x)=x3−2x2+x+7を2次式x2−3x+2で割ったときの余りを求めよ。(答案)2次式x2−3x+2で割ったときの余りは1次式(以下)になるから、求める余りをax+bとおく。例3多項式P(x)をx−1で割ると2余り、x+3で割ると−6余るとき、P(x)をx2+2x−3で割ったときの余りを求めよ。...(答)例4多項式P(x)を(x−1)(x+2)で割ると3x−1余るとき、P(x)をx−1で割ったときの余りを求めよ。(答案)P(x)=(x−1)(x+2)Q(x)+3x−1と書ける。例5多項式P(x)をx2−3x+2で割るとx+1余り、x2−4x+3で割ると2x余るとき、P(x)をx2−5x+6で割ったときの余りを求めよ。(答案)P(x)=(x−2)(x−3)Q(x)+ax+bとおく。整式f(x)をx−1で割ると3余り、x−2で割ると1余るとき、f(x)を(x−1)(x−2)で割ったときの余りを求めよ。多項式P(x)をx−1で割ると2余り、x+3で割ると−6余るとき、P(x)をx2+2x−3で割ったときの余りを求めよ。整式f(x)をx+1で割ると6余り,x−1で割ると2余り,x−2で割ると3余るとき,f(x)を(x+1)(x−1)(x−2)で割ったときの余りを求めよ。整式f(x)をx−1で割ると−2余り,x−2で割ると−1余り,x−3で割ると4余るとき,f(x)を(x−1)(x−2)(x−3)で割ったときの余りを求めよ。整式f(x)をx+3で割ると−5余り,x−3で割ると7余るとき,f(x)を(x+3)(x−3)で割ったときの余りを求めよ。整式f(x)をx−1で割ると割り切れ,x−2で割ると3余るとき,f(x)を(x−1)(x−2)で割ったときの余りを求めよ。整式f(x)をx−2で割ると1余り,x+3で割ると6余るとき,f(x)を(x−2)(x+3)で割ったときの余りを求めよ。整式f(x)をx−1で割ると2余り,x−2で割ると4余り,x−3で割る8余るとき,f(x)を(x−1)(x−2)(x−3)で割ったときの余りを求めよ。整式f(x)をx−1で割ると1余り,x+1で割ると−3余り,x−2で割ると割り切れるとき,f(x)を(x−1)(x+1)(x−2)で割ったときの余りを求めよ。−x2+2x...メニューに戻る■[個別の頁からの質問に対する回答][剰余の定理について/16.12.19]重解のときの解き方も載せて欲しい。=>[作者]:連絡ありがとう.この頁の下の方を見てください.■[個別の頁からの質問に対する回答][剰余の定理について/16.12.9]例題8の解答の中間式で係数2が抜けてます。=>[作者]:連絡ありがとう.最近加筆した部分なので,入力ミスがまだ他の読者にバレていなかったようです.訂正しました.。