今回の授業では一次元の関数の積分を考えます。復習¶Wikipediaの定積分の定義を引用し、積分の概念を復習します。xy-平面の領域の符号付面積として定義される。現代的な積分の概念はリーマン積分、ルベーグ積分などの考え方があります。今回の授業はリーマン積分の定義を考察します。ニュートンとライプニッツが提案した微分積分学の基本定理(17世紀)によりますと、上記の積分を$f(x)$の原始関数$F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}+x$を利用することで算出できます。\frac{5}{3}$$微分積分学の基本定理が発見されるまで、積分は微分とは関係ない「面積」という概念で理解されています。$[0,1]$における積分の近似方法を考えます。曲線$y=f(x)$のグラフを描きます。グラフを描くOctaveの関数を定義します。%x軸の範囲を[0,1.2]、y軸の範囲を[0,2.2]にする。[20]:%新しく作ったdraw_fという関数を呼び出して、グラフを描きます。f(1)=2$囲んでいる長方形領域は積分範囲をカーバーはしているので、当該長方形の面積$2$が目標積分の上界となります。fill命令によって、該当長方形領域を緑色で塗りつぶします。塗りつぶしの方法¶fillを使って、幾つかの点が囲んでいる範囲を色で塗りつぶします。y2=f(x2);%長方形の4の点をリストします。当該長方形の面積$1$が目標積分の下界となります。該当長方形領域を青色で塗りつぶします。y2=f(x2);%長方形の4の点をリストします。目標面積$S$が$1<2$を満たすことを確認しました。$x=1$における$f(x)$の値を利用して、面積の上界と下界を考えます。面積の下界をあける計算方法を考えます。関数の積分に対応する領域をカーバーしている2つの長方形を色で塗りつぶしてください。注意:??のある部分について、正しいいコードを書いてください。gnuplot_plot_6a上記のコードをコンパクトにするために、ブロックを塗りつぶす関数を定義します。x2]における$f(x)=\sqrt{x}+1$に囲まれるブロックを描く。x2]における$f(x)=\sqrt{x}+1$をカーバーしているブロックを描く。'g')end上記の2つの関数を利用して、グラフを再描画します。2¶$[0,1]$の2分割で作成した青色の長方形と緑色の長方形の面積を計算しなさい。ここで計算した面積はそれぞれ積分値の上界と下界となります。節点のリスト$x=0:h:1$を利用して、面積の上界と下界となる長方形領域の集まりを描いてください。%ここにコードを書いてください。0.5,1$における$f$の値を利用して、面積の上界と下界を算出できます。節点の間隔をh=0.5とします。節点$x=0:h:1$を利用して、$f(x)=\sqrt{x}+1$の$[0,1]$における積分$S$の上界と下界を計算してください。$h=0.01$とします。$S$の上界と下界を計算してください。$h=0.001$とするとき、上界と下界が一致するかどうかを考察してください。(オプション)¶この授業で紹介した方法を利用して、以下の関数が$[0,1]$における積分の近似値を計算してみてください。分割の点で関数の値が発散する場合、分割の小区間の中点を使って計算してください。注意:関数の積分の上界と下界を得るために、関数の単調性は大切です。分割の各部分区間$[x_i,x_{i+1}]$の上に関数の単調性を確保するために、区間の分割に工夫が必要です。関数の単調性を調べるのは難しい場合、与えられる分割におけるリーマン和を計算して、リーマン和が収束しているかどうかを考察してください。x_n=1$に対して、$t_i$を$[x_i,x_{i+1}]$の中の点とします。$t_i=0.5*(x_i+x_{i+1})$。この場合、リーマン和は以下のように計算できます。]:%ここにコードを描いてください。微分積分の授業で学んだリーマン積分は積分を厳密に定義します。その詳細は教科書またはWikipediaを参考してください。