q-ポッホハマー記号をと定めます。古典極限はかんたんですね。無限版のq-ポッホハマー記号を用いてと書けることに注意してください。この記号を使えばq-超幾何級数もというふうに定義できます。古典極限はというかんじ。q-二項定理を示します。実はこの定理に関しては以前の記事o-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.comでも言及したのですが、証明はしていないのでいざ。したときなのでとおくとより両辺で係数比較してを得られます。よって、という等式を得ました。古典極限をとるとニュートンの一般二項定理に帰着します。お次はハイネの変換公式。これが証明のミソです。因子の一部をバラす2.バラしたところをq-二項定理で展開する3.整理する4.余った部分をq-二項定理でまとめる5.整理するといった感じです。積」という形の等式を「和公式」と呼ぶことが多いのですが、ハイネの変換公式ではまさに「超幾何級数をバラして和公式を複数回適用して組み立て直す」ということをやっています。和公式はq-二項定理以外にもたくさんありますし、変換公式もハイネの変換公式以外にたくさんありますが、いずれも証明の根本部分は殆ど変わりません。やっていることは「級数をバラす→和公式を適用→組み直し」のプロセスです。本題に戻って、つぎはハイネの和公式の証明。代入すればよいのです:はいOK。これがハイネの和公式。これも和公式の一種です。目的は、q-ヴァンデルモンドの公式でしたね。