組合せ数学(くみあわせすうがく、combinatorics)や組合せ論(くみあわせろん)とは、特定の条件を満たす(普通は有限の)対象からなる集まりを研究する数学の分野。対象をみつけたり(極値組合せ論や組合せ最適化)、それらの対象が持ちうる代数的構造をみつけたり(代数的組合せ論)することが挙げられる。外部リンク概観と歴史[編集]組合せ数学は理論構築と同じくらい、(特に20世紀後半以降は)与えられた問題を解決することが目標になっている。組合せ数学のうちで最も古く取っ付きやすいものはグラフ理論であり、今では他の様々な分野と結びつけられている。組合せ論的な問いの例として、52枚のトランプカードの並べ方は何通りあるか?というものが挙げられる。後ろにゼロが67個もついている驚くべきスケールの大きさだとも言える。これは例えば無量大数(1068)に匹敵するほど大きい。別の種類の問題には、n人の人でいくつかのグループを作るとき、それぞれの人が少なくとも1つのグループに属し、どの2人をとっても共通してちょうど1つのグループに属しており、どの2グループをとっても共通の人がちょうど1人ずついて、n-1人以上からなるグループがないような分け方はあるか?というものがある。答えはnにより、今でも部分的な回答しかえられていない。組み合わせ論的な記述の最も古い記録はインドに見いだすことができる。一つだけ使うか二つ一緒に使うか、三つ同時に使うか、などなど。ここで、単純な味は6種類あり、二つの組み合わせは15種類あり、三つの組み合わせは20種類ある、などがいえる。r)については#繰り返しを許さない組合せと#繰り返しを許さない順列節を参照のこと。ついても同じ方法で計算できると述べた。数えきれるもの、数えきれないもの、無限のものまでが指定される。一時に一つのものをとる、あるいは二つのものをとる、...、十個のものをとる、組合せの数が構成された以上それらはすべて達成される。これは算術が様々な無限大の数に拡張されうることを示唆している。組合せの数と二項展開の係数との間の関係は紀元前3世紀にピンガラ(en:Pingala)によって楽曲の形で指摘されている。C(n+1,r)=C(n,r)+C(n,r-1)}に基づいてパスカルよりも単純な規則を与えている。通りの結果がある」と記している。彼はこの事実をパスカルの三角形に似た規則を用いて見いだした。(n-r+1)}{r!}}}を示した。時代が下って、イスラム圏の数学者たちは遅くとも13世紀から組合せの研究をしている。Mun'im)は組合せ論の問題に取り組んでいる。+C(p-1,p-1)}の関係の算術三角形を確立させた。彼はさらに類似の公式を、わかりやすくするためにアラビア語のアルファベットを使いながら、繰り返しを許すときや許さない順列について適用した。彼は組合せ的な理由付けについてもいくつかの仕事をしている。ペルシャの数学者アル・ファリシ(en:Al-Farisi)は13世紀の終わりに因数分解と組み合わせ方法に関連した考え方を導入した。アル・ファリシのアプローチは、彼自身も証明した算術の基本定理である自然数の素因数分解の一意性に基づいたものだった。個のものを選ぶ場合の数の間の関係を示している。数え上げ的組合せ論は、おきうる事象を数え上げることが17世紀のパスカルらの仕事に始まる初等的な確率論で重要な問題になってからヨーロッパで大きな関心を集めるようになった。現代的な組合せ論は19世紀の終わりに発展を始め、パーシー・アレクサンダー・マクマホンによって1915年に発表された数え上げに関する系統的な書である組合せ解析やロナルド・フィッシャーによる実験計画法に関する1920年代の一連の仕事などをへて、20世紀にははっきりとした研究分野として確立した。近年の主要な組合せ論学者には、主に極値組合せ論に関する仕事をしてすばらしい問題を提起し解き続けたポール・エルデシュや、1960年代における数え上げ化・代数化の定式化に大きな役割を果たしたジアン=カルロ・ロタがいる。ものをどうやって数え上げるかという研究は時に数え上げ論とよばれて別の分野だと見なされることもある。