数論とかNonaReevesとかが好きな高校生のブログ。(OFFICIAL)q-多重ガンマ関数、というのがあります。ガンマ関数は皆さんご存知、階乗の一般化です。指数関数のメリン変換とかいわれるのが多いですね。多重ガンマ関数というのはガンマ関数の「多重化」というものです。変数を増やして一般化したもので、「一重ガンマ関数」は普通のガンマ関数にあたります。要するにq-多重ガンマというのは多重ガンマ関数のq-類似というわけですね。いう新しいparameterを導入して一般化することです。極限で元の概念になるように定めるものです。数学(とくに解析学)に出てくるモノになんでもかんでもqをくっつけて遊ぶことを「q-解析」といいます。数学というのは「数を学ぶ」と書きますので、当然最も基本的なモノは「数」ですね。古代からヒトは数をいじって遊んでおりました。現代でも小さい子供がお風呂に入ると「百まで数えてから出なさい」とか言われたりしますね。するとお風呂に入れられた子供は「ただ一から百まで数えるのもつまらないから、q-一からq-百まで数えよう」と思うわけですね。」という具合に数えていくわけです。「なるのです」というかそう定めるのです。こっちのほうがカッコええな。自然数が定まったところで、q-多重ガンマを作りましょう・・・と言いたいところですが、まずその前にq-解析で非常によく出てくるやつを定めます。これはq-ポッホハマー記号とかいうやつです。とでもしておいてください。記号がついておりますね。要するにこいつはq-ポッホハマーの中でも「無限版」だということです。無限版があるということは当然有限版もありますね。「q-ポッホハマー記号」なんて名前をしてるということは当然qを付ける前の「ポッホハマー記号」もあるというわけですが、こいつは割と有名なもので、っていうやつです。「階乗冪」とか言ったりしますね。factorial」って言い方がカッコよくて好きです。q-ポッホハマーを元のポッホハマーに戻すにはちょっとした補正が必要で、だいたいこんな感じです:んでq-ポッホハマーなんか作って何をするんやという話なのですが、まず「正規積」というものを思い出してください。ぼくが何回かブログに出してたはずです。書けるのです:記号の意味はo-v-e-r-h-e-a-t.hatenablog.comを見てください。こいつのq-類似をつくりたいのですが、非常に単純な発想でできます。右辺の積の因子をq-類似にしてやればいいだけです。して定めることができます。ロピタルの定理を使えばq→1で一致することは示せます。違って正規積ではないので(本当は記号が違うのですが、はてなブログでは正規積記号に対応していませんでした、申し訳ない)、その因子をつけると収束がメンドくなります。場合を考えてみましょう。要するに「一重」のケースですね。なんとこうなります:そらそうやな。してみましょう:右辺は一種のテータ関数みたいなもん(ヤコビ三重積の因子と思ってもらえればわかりやすいかも)なので、テータをガンマ(の一般化)で書けたことになりますね。q-多重ガンマには面白い成分がいっぱい詰まっておるのですが、今回はこの辺で。読者になる検索リンクINTEGERStsujimotterのノートブックポン酢形式カナンの数学ノート数学カフェCorollaryは必然に。月別アーカイブはてなブログをはじめよう!O_V_E_R_H_E_A_Tさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。