これから二重大野関係式を考えていきます。成り立つというのが二重大野関係式です。よる表示を持つようなもの、となります。証明に際していくつか記号を準備していきます。入れ替えるだけで逆読みはしない自己同型とします。双対をとる写像ですね。項をとる写像として定めます。単項式に読み替える写像とします。このときであるので、とわかります。対していえば十分であることがわかります。いえばいいことになります。一方でなので主張を得ます。-線型なので単項式に対して示せばよいです。上の自己同型としたとき、この補題の等式はと同値なので、以降これを示します。定義より明らかなので、補題1,2よりとなります。行うことで、がわかります。上で成り立つものです。ついていえば十分となります。定義通りに両辺を計算するととなり、補題が示せました。