ら数学者の著しい先駆的研究の上に打ちたてられている。一般的にはバローが微分の先駆的発明者とされる[8]にも拘らず、ニュートンとライプニッツが微分法の歴史における重要人物であることに変わりないのは、少なくともニュートンが微分法を理論物理学に応用した最初の人であり、一方ライプニッツは今日においても使用される系統的な記号法を生み出したといった理由による。17世紀以降多くの数学者が微分法に貢献している。ら数学者によってより厳密な基礎の上に置かれることになる。おける値は零に等しい。おける値は臨界値(英語版)と呼ばれる(臨界点の定義は、微分係数が存在しない点まで含めるように拡張することがある)。極小かもしれないし極大かもしれないし何れでもないかもしれない。臨界点を持つがそこでは極小でも極大でもない。臨界点を持ち、そこでそれぞれ極小値および極大値をとる。これは二階微分判定法(英語版)と呼ばれる。微分して臨界点に関して解くことは、最適化において有効な極値を求めるための簡単な方法としてよく用いられる。極値定理により、閉区間上定義される連続函数は区間内で少なくとも一つの最小値および最大値に到達しなければならない。函数が微分可能ならば、極小および極大は臨界点または端点でのみ達成できる。これはまたグラフを描くのにも応用を持つ。可微分函数の極小値および極大値がわかったならば、グラフの概形は臨界点の間で増大するか減少するかを見ることで分かる。高次元において、スカラー値函数の臨界点はその勾配が零になる点である。二階微分判定法は、臨界点における函数の二階偏微分係数からなるヘッセ行列の固有値を考えることで、やはり臨界点を調べるのに利用できる。全ての固有値が正ならば臨界点で極小であり、全て負ならば極大であり、いくつかは正で残りが負ならば臨界点は鞍点である。最適化問題の一つの例は、「曲線上の二点間を結ぶ最短曲線を求めよ、曲線はある曲面上に無ければならないものとする」というようなものである。考える曲面が平面ならば最短曲線は直線である。曲面が例えば卵型のようなものならば最短経路はすぐには明らかでない。そのような経路は測地線と呼ばれ、変分法におけるもっとも単純な問題の一つが、測地線を求めることである。別の例は「空間ないの閉曲線が囲む最小の面積を求めよ」というものである。微分方程式は函数とその各階導函数たちの間に成り立つ関係を記述するものである。常微分方程式は一変数函数とその変数に関する導函数に対する微分方程式であり、偏微分方程式は多変数函数とその偏導函数に対する微分方程式である。微分方程式は物理科学、数理モデリングおよび数学自身のなかから自然に生じてくる。