前者はとすぐに確かめられますね。互いに素ということは既知とします。後者のほうは、ですが、を用いるととなります。元に対する不変性(これを保型形式の保型性と言ったりします)が示されました。[定理2]ただし、いやぁ、強烈ですね。これが最初に述べたRAESのフーリエ展開です。もつことを示しているから可能ということですね。「定数項」にあたります。周期を持つことになります。よってこう書くことができます:このフーリエ係数は、展開の定義よりと書けます。これを計算するわけですが、めんどくさいのでちょっと楽な方法を使いましょう。完備RAESを定義します。定義はさきほど述べましたね。あることはない」という意味です。これを仮に等式Aとでもしておきましょう。注意すると、がわかります。ような変数変換をすることで簡単に示せます)を用いると、となります。ポアソン和公式から導かれる定理を使って(証明はまた今度、ポアソン和公式の紹介も兼ねて新しい記事を書きます)、がわかりますね。することでであることからを導けます。して得た前の項、後ろの項を足すと、となります。いう変数に置き換えることでシグマを一つ減らす手法を取っています。差し替えることでが得られます。これで定理2の証明が終了です。この記事はこれだけでは終わりません。たしかに定理としてのインパクトはこのフーリエ展開が一番ですが、この結果を使った非常に美しい等式があります。そちらがメインです:[定理3]よりとなります。第一項と第二項が等しいことがわかります。第三項が等しいことを示すには、(1)(2)をいえばよいですね。ここは思い切って一般化してしまって、(1)'(2)'を示すことにしましょう。すると、となり、証明されます。以上より、定理3の証明も終了です。本記事では記載しませんでしたが、RAESにはもう一つ重要な性質として「ラプラシアンに対する固有関数である」というものがあります。この性質と、定理1をあわせた性質を持つ関数として、「マースの波動形式」というものが定義されます(厳密にはフーリエ係数の評価も要求される)。これはうまい具合にRAESの一般化となっていて、実は「ラプラシアンに対する固有関数である」ということから定理2のフーリエ展開が波動形式においても導けることがわかります。予想」というものがあるのですが、これについても今後記事を書く予定です。読者になる検索リンクINTEGERStsujimotterのノートブックポン酢形式カナンの数学ノート数学カフェCorollaryは必然に。月別アーカイブはてなブログをはじめよう!O_V_E_R_H_E_A_Tさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。