筒を通る熱の拡散の仕方に依存して決まる定数である。平均値の定理は微分係数の値と元の函数の値との関係を記述する。おける接線の傾きに等しいことを主張する。実用上は、平均値の定理がやっていることは、導函数によって函数自身を制御することである。各点において零に等しい導函数を持つとすると、これはその接線が至る所水平であることを意味するから、函数自身も水平でなければならない。平均値の定理はこれが実際に正しいことを証明する。接線の一つの傾きに等しくなければならず、それは全て零なのであるから、グラフ上の一点から別の任意の点へ引いた任意の直線も傾き零でなければならない。そのような函数は上昇も下降もできないのだから水平線に他ならない。導函数に対してより複雑な条件を与えれば、正確性は落ちるがより有効なもとの函数に関する情報が得られる。導函数は与えられた点において可能な函数の最適線型近似を与えるが、それはもとの函数とは非常に異なることもある。この近似を改善する一つの方法は、二次の近似をとることである。考えることで得られるかもしれないということである。よいかもしれないし、この考えはより高次の多項式に対しても推し進めることができる。最適な選び方があるはずである。高階微分係数によって決定される。テイラー多項式が得られる。d-次多項式であり、その係数は上記の式を一般化したものによって求められる。テイラーの定理はそれがどの程度よい近似であるのかの詳しい評価を与える。テイラー多項式の極限はテイラー級数と呼ばれる無限級数である。テイラー級数はしばしばもとの函数の非常に良い近似を与える。自身のテイラー級数と一致するような函数は解析函数と呼ばれる。不連続だったり尖ったりしている函数は解析的になることはできない。円など自然な幾何学図形のうちには函数のグラフとして描くことができないものが存在する。グラフと同じものではない(グラフは円錐になる)。ような関係を函数に変換するものである。零点集合は函数のグラフを貼り合せたものに見えることを主張する。微分に関する条件から決定される。グラフの貼り合せにすることができる。交わるが、陰函数定理はそのことは保証しない)。陰函数定理は、函数が逆函数の貼り合せのように見えることを述べる逆函数定理と近しい関係がある。ニュートンの研究は1666年に始まり、ライプニッツは1676年に始まる。ライプニッツが最初の論文を出すのが1684年で、1693年に出版のニュートンに先んじている。ライプニッツがニュートンの1673年か1676年の研究ドラフトを目にしたことや、あるいはニュートンがライプニッツの研究を自分の研究の洗練に用いたことなどは、可能性としてはあり得ることである。両者は互いに相手が自分の仕事を盗作したと主張した。この顛末は誰が微分積分学の創始者であるかを巡って両者の苦い論争(英語版)となり、18世紀初頭の数学界に大きな衝撃を与えた。仕事に見つけることができるとはいえ、これは記念碑的な到達点であった。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。