力学ケプラーの法則とは?問題での使い方まで徹底解説!万有引力はなんとなく理解できたけど、ケプラーの法則がよくわからない。実際の問題での使い方がわからない。意外と苦手なままだったりしますよね。使い方を意識的に勉強していないからです。ここではケプラーの法則を、その意味と使い方を合わせて解説しますね。この記事を読み、例題を解けば、ケプラーの法則の意味や使いどころが、スッキリ理解できます。最後まで読んでみてください。万有引力による円運動を考えました。楕円軌道上を動きます。「ヨハネス・ケプラー」先生です。惑星の運動に関する考察をしました。その結果導き出されたのが「ケプラーの法則」です。今回はそんなケプラーの法則を勉強していきましょう。ケプラーの法則それでは早速、「ケプラーの法則」を列挙します。惑星は太陽を焦点とする楕円上を運動する。惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間当たりに描く面積(面積速度)は一定である。惑星の公転周期の2乗は、軌道長半径の3乗に比例する。これだけでは少し理解しづらいので、それぞれ個別に確認していきます。ケプラーの法則は万有引力の法則より前の法則なので、3つの法則はすべて万有引力の法則から導出できます。導出は高校レベルを超えるので参考で紹介します。3つの法則は経験則として受けいれておくのが良いでしょう。惑星は太陽を焦点とする楕円上を運動する。惑星は楕円運動をするという法則です。太陽がその楕円運動の焦点になります。数学的に計算すると楕円軌道になることがわかります。この計算は高校レベルを超えるので、この記事の最後に参考程度に触れます。焦点が中心に非常に近いために、ほとんど円運動のようになっています。地球の楕円軌道が極端な楕円なら、公転によって季節が変わってしまいます。実際には、円運動に近いため公転軌道によっては季節は生じません。惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間当たりに描く面積(面積速度)は一定である。「面積速度」という言葉は聞きなれないので、まずは図を見て確認してみます。太陽から遠くにあるときほど遅く動きます。扇型の面積が等しい、というのが第2法則です。それでは面積速度を数式で考えてみましょう。\]式自体を覚える必要はありませんが、この式から面積速度の意味を理解できるといいと思います。実際の入試問題的には、θを求めるのが難しいため、θ=90°になる瞬間だけに注目することが多いです。これに関しては例題を通してみていきましょう。惑星の公転周期Tの2乗は、軌道長半径aの3乗に比例する。(T^{2}=ka^{3})\]です。ちなみに軌道長半径とは、した図のように楕円軌道の長い半径のことです。覚えてしまうのがいいと思います。定数kは焦点になる物体に依存することです。惑星と人工衛星では異なる値になります。複数の惑星を比較して使います。これらについても次の例題で練習していきましょう。使いどころがわかりづらいことでしょう。使い方の練習をしていきます。ここで、前提を確認しておきましょう。万有引力の法則を使えば全て証明できます。いう意味ではケプラーの法則をただの「公式」です。惑星の運動を計算することができるということです。大学の数学知識が必要になるのです。楕円軌道が難しいせいですね。そんなときに便利なのがケプラーの法則。難しい楕円軌道も考えることができます。解法に迷いづらいと思います。例題をみていきましょう。地球の質量を\(M\)、半径を\(R\)、万有引力定数を\(G\)とする。(1)地上\(2R\)の円軌道上を人工衛星が回っている。その速さ\(v\)と周期\(T_{0}\)を求めよ。(2)人工衛星を図の点Aで減速させて楕円軌道に乗せ、地表の点Bで回収したい。点A、点Bでの速度\(v_{A}\)、\(v_{B}\)をそれぞれ求めよ。(3)減速してから人工衛星が回収されるまでの時間を求めよ。万有引力を使えば良いのでした。(2)楕円軌道になったらケプラーの法則の出番。(3)回収されるまでの時間は、楕円軌道の周期の半分ですね。周期を求めるには?解答(1)円運動であれば、何も恐れることはありません。万有引力で円運動を考えるだけです。R\sqrt{\frac{3R}{GM}}\end{align*}(2)楕円軌道を考えるとなれば、ケプラーの法則の出番です。面積速度は以下の直角三角形の面積です。よって第2法則が使いやすいですね。変数2つに対して式1つで解けないので、エネルギー保存則も使ってあげましょう。楕円周期の半分の時間がかかります。高校レベルでは難しいです。そこで使われるのがケプラーの第3法則です。R\sqrt{\frac{2R}{GM}}\end{align*}ケプラーの法則は、この問題を理解するだけでも十分なレベルだと思います。実際の入試問題では、これに通常の力学を混合させて難しそうに見せてきます(人工衛星が分離して運動量が変化→楕円軌道へ、など)が、まずはこの問題をきちんと理解しましょう。参考:ケプラーの法則の導出(準備中)参考としてケプラーの法則の導出をします。興味がない人はここは読まなくても大丈夫です。数学・物理の難易度的にどうしても大学レベルの内容になってしまいます。「わからないけど理解してみたいな!」という気持ちで眺めてもらえればと思います。高校物理では回転運動を少ししか勉強しません。概念がいくつか出てきます。そんな中で、水平運動の運動量に相当するのが、「角運動量」です。\]と「外積」を使って定義されます。同じ向きのベクトルの外積が0になるということが知られています。位置と力も平行になるので\(\vec{r}\times\vec{F}=0\)です。以上から、\[\frac{d\vec{L}}{dt}=0\]つまり、角運動量は時間に依存しない、=角運動量保存則が導けました。角運動量が保存するということです。ここで、下図の惑星を考えます。一定\end{align*}角運動量保存則から、面積速度一定とわかりました。第3法則の導出(準備中)第1法則の導出(準備中)まとめ今回はケプラーの法則の解説でした。ケプラーの法則をまとめておきましょう。惑星は太陽を焦点とする楕円上を運動する。惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間当たりに描く面積(面積速度\(=\frac{1}{2}rvsin\theta\))は一定である。惑星の公転周期\(T\)と軌道長半径\(a\)は、\(T^{2}=ka^{3}\)を満たす。\(k\)は、焦点の物体に依存する定数である。これらは具体的な問題の解き方と合わせて理解した方がいいでしょう。普段ネットを通した個別指導をしている僕が、60分無料の受験のお悩み相談を始めました。親御さんが抱える不安に関してなどなどどんなことでも相談を受け付けています。気になった方はぜひ下のリンクをチェックしてみてください。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。僕が青チャートを解くときに気をつけること。猫検定を受けることになった。努力は大事だけど「キッカケ」も大事。ローレンツ力の動画を投稿しました。WordPress.。