庭の池の中にいる鯉の体⻑を調べたいとします。池の水を抜いて全ての鯉を捕まえることができれば(これを全数調査と言います)、鯉の体⻑やそのばらつきなどの情報を得ることができます。池の水を全て抜くという作業はあまりにも労力が大きく、現実的ではありません。この例の鯉の数の様に、何かの集団のことを知りたいと思った時、どの様にすれば良いのでしょうか。ここで用語について確認です。この「調査したい集団」、ここでは池の中の鯉全体のことを母集団と言います。母集団から抽出した一部の鯉のことを標本と呼びます。標本(鯉)から母集団(池にいる全ての鯉)について推測することを推測統計と呼びます。この関係図を以下に示します。これからこの「推測」に必要となる知識を解説していきます。平均値は「全てのデータの値を足してデータ数で割ったもの」です。ここではもう少し詳しい平均値の表記の仕方について学習しておきましょう。ものなのかを区別しておく必要があります。)は下記の計算式で計算できます。(エックスバー)で表します。このバーという記号は平均を表す際に使用されます。)は下記の計算式で計算できます。ついて中央値は「データを小さい順に並べた場合、ちょうど中央にくるデータ」のことです。つのデータで決まります。5cmしかしデータ数が偶数であった場合、ちょうど中央にくるデータというのは存在しません。つのデータの平均を中央値とします。平均)この中央値を用いるメリットはその頑健性にあります。すると別種の鯉が混ざってしまったのか、または計測ミスがあったのかもしれません。ような値を外れ値と呼びます。平均値はこの外れ値に引きずられ大きなものになりますが、中央値は影響を受けにくく、変化をしない傾向があります。分散と標準偏差について分散とは分散は「データがどの程度平均値の周りにばらついているか」を表す指標です。値が散らばっているとします。この場合、ばらつきの大きさをどのように表現したら良いのでしょうか。全ての値から平均値を引いて、その平均を出してみましょう。しまい「ばらつきがゼロ」という結果になってしまいます。乗してプラス・マイナスの符号を消してから平均を出してみましょう。なりますし、そうでなければ常に正の値となります。平均値と各データの差のみを考えると、以下の様になります。乗してプラス・マイナスの符号を消してから平均を出してみましょう。なりますし、そうでなければ常に正の値となります。こちらも、母集団の分散と標本の分散で表記が違います。)は下記の計算式で計算できます。標本分散(s2)は下記の計算式で計算できます。\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$$ここで注意が必要になります。先ほどの図をもう一度よく見直してみましょう。分散は平均からの距離で計算していました。標本分散を計算する際には、母平均はわからないので標本平均を用いて計算していました。すると、下記の図のように実際の平均からの距離(母平均からの距離)よりも短い距離で分散を計算してしまうことになります。この問題を解決するのが不偏分散です。不偏分散($\widehat{\boldsymbol{\sigma}}^{2}$)は下記の計算式で計算できます。このハットは推定値を表す際に使用されます。分散は「データがどの程度平均値の周りにばらついているか」を表す指標でした。