以上に選好するか、その少なくとも一方が成り立つ場合には、消費者の選好関係は完備性を満たすと言います。\)として定式化しました。\)は消費集合\(X\)上の二項関係という数学的対象にすぎず、それがどのような性質を持つ二項関係であるかまでは規定していません。したがって、例えば、消費者が消費ベクトルどうしの優劣をランダムに決めるような場合でも、そのような評価体系を\(X\)上の二項関係として表現できるため、それは選好関係としての要件を満たしています。消費者が自分で何も考えずにランダムに意思決定を行っているという想定は明らかに非現実的です。消費者はヒトとして一定の合理性を備えており、それと整合的な意思決定を行っているものと想定するほうがもっともらしいです。このような事情を踏まえた上で、消費者による評価体系を表す選好関係に、合理性や整合性に相当する仮定を付与します。消費者が異なれば選好関係もまた異なるという点は重要なポイントであるため、ここで導入する仮定は、あらゆる消費者に関して成立することが想定されるようなものである必要があります。\)は完備性(completeness)を満たすと言います。\)の4通りが起こり得ます。\(1\)は真を表す真理値であり、\(0\)は偽を表す真理値です。\)では\(x\)と\(y\)の優劣に関する情報が存在しないため、この場合にはそもそも\(x\)と\(y\)を比べることさえできません。\)が起こる可能性は排除されます。x\)の中のどれか1つが成り立つことを意味します。完備性のもとでは、消費者がどのような消費ベクトルの組を提示された場合においても、迷うことなく両者の優劣を判断できるということです。x\end{equation*}の中のいずれか1つ、そして1つだけが常に成り立つ。完備性からは、選好関係に関する以下の性質を導くことができます。\)が完備性を満たす場合には以下が成り立つ。\)の反射性(reflexivity)と呼びます。\)の反射性と呼びます。\)は、任意の消費ベクトル\(x,y\)について、消費者が\(x\)を\(y\)よりも好むことは、\(y\)を\(x\)以上に好まないことと必要十分であることを意味し、この性質を排除性(exclusion)と呼びます。\)の完備性は、\(u\)に関する以下の性質として表現することができます。\)が完備性を満たすための必要十分条件である。\)は\(\mathbb{R}\)上の大小関係です。\tag{1}\end{equation}を満たします。\)が与えられたとき、一般に、それを表す効用関数は存在するとは限りません。\)が完備性を満たすことが保証されます。\)は完備性を満たす。証明を見る(プレミアム会員限定)次回は選好関係に関する推移性と呼ばれる仮定について解説します。>選好関係の推移性ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するためにはログインが必要ですログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。