次数が自然数であるようなベキ関数は任意の点において収束し、かつ連続です。この事実を利用すると、ベキ関数との合成関数として表される関数の極限や連続性を容易に示すことができます。function)と呼びます。function)と呼ばれることもあります。=x^{4}\end{equation*}であるならば、この\(f\)は自然数ベキ関数です。自然数ベキ関数\(x^{n}\)は、\(n\)個の恒等関数\(x\)の積です。\)において収束します。x\right)\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の事実を利用すると、\(n\)に関する数学的帰納法により、自然数ベキ関数の極限に関する以下の命題を証明できます。\)は自然数ベキ関数であるものとする。=x^{n}\end{equation*}という形で表すことができるものとする。^{n}\end{equation*}となる。\frac{1}{2}}x^{5}=\frac{1}{32}\end{eqnarray*}などとなります。^{n}\)であることを先に示しました。\)において連続です。\)は自然数ベキ関数であるものとする。=x^{n}\end{equation*}という形で表すことができるものとする。\)において連続です。\right)\end{equation*}が成り立ちます。\)を任意に選びます。\)を自然数ベキ関数とします。=x^{n}\)です。g\text{の定義}\end{eqnarray*}を値として定めます。\(n\)は自然数です。\)において収束するものとします。\)においても連続です。g\text{の定義}\end{eqnarray*}となります。\(n\)は自然数である。^{n}\end{equation*}となる。\)において収束するだけではなく、連続であるものとします。\)において連続です。\(n\)は自然数である。\)において連続である。^{m}\end{equation*}という形で表すことができるものとします。これは単項式関数\(cx^{n}\)と自然数ベキ関数\(x^{m}\)の合成関数です。\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。\alpha\right)\end{equation*}を満たします。\alpha\right)\end{equation*}を満たします。^{m}\end{eqnarray*}という形で表すことができるものとします。これは多項式関数\(\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\)と自然数ベキ関数\(x^{m}\)の合成関数です。\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。\right)\end{eqnarray*}を満たします。\right)\end{eqnarray*}を満たします。^{n}\end{equation*}という形で表すことができるものとします。\not=0\}\end{equation*}です。}\)と自然数ベキ関数\(x^{n}\)の合成関数です。有理関数は定義域\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく連続でもあるため、上の命題より、この関数\(f\)もまた\(X\)上の任意の点において収束するだけでなく、連続でもあります。\right)\end{eqnarray*}を満たします。\right)\end{eqnarray*}を満たします。有理関数について復習する次回は整数ベキ関数について学びます。>整数ベキ関数ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。