次数が有理数であるようなベキ関数を有理ベキ関数と呼びます。有理ベキ関数は定義域上で連続です。この事実を利用すると、有理ベキ関数との合成関数として表される関数の連続性を容易に示すことができます。=x^{m}\)と定義される関数です。f\text{の定義}\end{eqnarray*}となります。^{m}\)を、\begin{equation*}x^{\frac{m}{n}}\end{equation*}で表します。任意の有理数は整数\(m\)と自然数\(n\)を用いて\(\frac{m}{n}\)という形で表すことができるため、有理ベキ関数とは指数が有理数であるような関数に他なりません。整数ベキ関数について復習する有理ベキ関数の定義可能性について整理します。_{++}\)になります。_{+}\)上の任意の点において定義可能です。_{++}\)上の任意の点において定義可能です。\)は点\(x=0\)において定義されません。m<0\right)\end{array}\right.\end{equation*}となります。^{2}\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。この\(f\)は無理関数\(x^{\frac{1}{3}}\)と整数ベキ関数\(x^{2}\)の合成関数です。^{3}}\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。この\(f\)は無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)と整数ベキ関数\(x^{-3}\)の合成関数です。この\(f\)は\(x=0\)において定義されないことに注意が必要です。^{m}\)は無理関数\(x^{\frac{1}{n}}\)と整数ベキ関数\(x^{m}\)の合成関数ですが、すでに示したように、これらがともに定義域上で連続です。したがって、合成関数の連続性に関する命題より、有理ベキ関数もまた定義域上で連続であることが示されます。\)が有理ベキ関数であるものとする。^{m}\end{equation*}として表されるものとする。_{++}\)である。この\(f\)は\(X\)上で連続である。=x^{\frac{2}{3}}\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。_{+}\)上で連続です。=x^{-\frac{3}{2}}\end{equation*}であるならば、この\(f\)は有理ベキ関数です。\{0\}\)上で連続です。=x^{\frac{m}{n}}\)は定義域\(X\)上の任意の点において連続であることが示されました。=\alpha^{\frac{m}{n}}\end{equation*}を満たします。\)が有理ベキ関数であるものとする。^{m}\end{equation*}として表されるものとする。\{0\}\)である。^{m}\end{equation*}となる。f\text{の定義}\end{eqnarray*}が成り立ちます。f\text{の定義}\end{eqnarray*}が成り立ちます。f\)が定義可能です。>0\)である必要があります。g\text{の定義}\end{eqnarray*}を値として定めます。\)において収束するものとします。先に示したように有理ベキ関数\(g\)は定義域上で連続です。^{\frac{m}{n}}\end{eqnarray*}となります。\not=0\)である必要があります。