有限集合と可算集合の和集合は可算集合です。有限個の可算集合の和集合や、可算個の可算集合の和集合なども可算集合になります。\}\end{equation*}となります。\mathbb{N}\)を構成すれば、これは全単射になります(演習問題にします)。Y\)は可算集合です。Y\)は明らかに可算集合です。Y\)が可算集合であることが示されます。命題(有限集合と可算集合の和集合)有限集合\(X\)と可算集合\(Y\)をそれぞれ任意に選ぶ。Y\)は可算集合である。\mathbb{N}\right\}\end{equation*}が可算集合であることはすでに示した通りです。\{0\}\end{equation*}はすべての非負の有理数からなる集合ですが、上の命題より、これは可算集合です。可算集合どうしの和集合もまた可算集合です。命題(可算集合どうしの和集合)可算集合\(X,Y\)をそれぞれ任意に選ぶ。Y\)は可算集合である。X_{n}\)が与えられたとき、上の命題を繰り返し適用すると、それらの和集合\(\bigcup_{i=1}^{n}X_{i}\)が可算個であることが示されます。命題(有限個の可算集合どうしの和集合)自然数\(n\)個の集合からなる集合族\(\{X_{i}\}_{i=1}^{n}\)が与えられたとき、任意の\(i\)について\(X_{i}\)が可算集合であるならば、和集合\begin{equation*}\bigcup_{i=1}^{n}X_{i}\end{equation*}もまた可算集合である。}\)について考えます。}\)が可算集合であるものとします。_{i}}\end{equation*}と表現できます。したがって、上の命題より、これは可算集合です。}\end{equation*}もまた可算集合である。有限個の可算集合の和集合が可算集合になることが明らかになりましたが、こうした性質は、可算個の可算集合の和集合についても成り立ちます。}X_{i}\end{equation*}もまた可算集合である。}\)について考えます。}\)が可算集合であるものとします。}X_{\lambda_{i}}\end{equation*}と表現できます。したがって、上の命題より、これは可算集合です。}\end{equation*}もまた可算集合である。\mathbb{N}\)とすれば一個前の命題が得られます。\mathbb{N}\)の他にも様々なものがあります。\)をこれらの可算集合に置き換えても、同様の結論が得られます。そのような意味で、この命題は一個前の命題の一般化になっています。}\)が高々可算集合であるものとします。ある集合が高々可算集合とは、その集合が有限集合もしくは可算集合であることを意味します。通りのケースが起こり得ます。}\)が可算集合である場合。}\)が有限集合である場合。}\)が可算集合である場合。}\)が有限集合である場合。}\)が高々可算集合になることが示されます。}\end{equation*}もまた高々可算集合である。_{–}\end{equation*}と表すことができます。_{–}\)はすべての負の有理数からなる集合であり、これらはともに可算集合であることはすでに示した通りです。\(\{0\}\)は有限集合です。\)は高々可算個の高々可算集合の和集合として表されるため、上の命題より、これは高々可算集合です。\)が可算集合であることを意味します。次回は可算集合の直積集合について学びます。>可算集合の直積集合ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。