区間$[a,b]$における関数$f$の積分を考えるとき、区間を分割して、分割点での関数の値を使って、関数の積分の近似値を求めることが可能です。このような計算手法で得られる積分と数値積分を呼ばれています。本日の授業では、区間の分割による計算した数値積分の収束性を検討します。分割の小区間のサイズが0に行くとき、積分値が発散するか、収束するか、ということを検討します。例として、前回と同じ関数の積分を考えます。$$準備として、まず関数fを定義します。定義された関数は他のセルでしようできることを注意してください。sqrt(x)+1;end以下のコードは与えられる分割のサイズによって、積分の上界と下界を計算しています。x_2]$では、$f(x_1)$はこの小区間での$f$の下界、$f(x_2)$はこの小区間での$f$の上界を与えます。get_integral(h)に定義します。myupperに対応します。分割のサイズ$h$がゼロに近づくとき、積分値の下界と上界の挙動を観察します。upper_listに格納しなさい。各hに対して、get_integralによって、積分の下界と上界を計算して、lower_listとuppper_listを更新します。ここにコードを書いてください。endlower_listとN_listとの関係図、upper_listとN_listとの関係図を描いてください。以下の関数について、$[0.1,1]$における数値積分の収束性を検討しなさい。1]に修正して、分割数$N$に応じで、分割のサイズを再計算するのは必要です。演習1に必要なコードをまとめて、ここに書いてください。演習1の観察と結論:¶(演習1の計算結果から分かることを書いてください。この場合、広義積分が考えられます。【定義】以下の極限が存在するとき、この極限を$f$の$[a,b]$における広義積分と呼ぶ。以下の関数の広義積分を数値計算で検討してください。$$数値積分を計算を行うとき、分割数を$N=500$に固定して、積分範囲$[a,1]$の左辺$a$を以下の値を取ってください。$$即ち、各aの値に対応する積分値のグラフを描いて、積分値が収束しているがとうかを観察します。各aに応じて、[a,1]における積分を計算しなさい。観察と結論:¶(演習2の計算結果から分かることを書いてください。区間$I=[a,b]$上の有界関数$f$について、分割$I$に対して、上積分と下積分の定義を考える。$$$h$は分割のサイズを示す。$$上積分と下積分は以下のように定義される。式が成り立つするとき、上積分と下積分の極限は$f$のリーマン積分と呼ぶ。区間$I=[0,1]$とする。以下の関数はリーマン積分の定義で可積分ですか?適当な分割を選んで、上積分と下積分を計算しなさい。各分割の小区間での関数の単調性を確認する上、小区間における$f$の最小値と最大値を求めることが大切です。