有限個の可算集合の直積は可算集合になります。\mathbb{N}\)もまた可算集合になります。Y\}\end{equation*}は可算集合になるのでしょうか。Y\)の要素を以下のように並べます。Y\)を構成すると、これは全単射になります(演習問題にします)。\mathbb{N}\)が成り立ちます。命題(可算集合どうしの直積集合)可算集合\(X,Y\)をそれぞれ任意に選ぶ。Y\)は可算集合である。X_{n}\)が与えられたとき、先の命題を繰り返し適用すると、それらの直積集合\(\prod_{i=1}^{n}X_{i}\)が可算個であることが示されます。命題(有限個の可算集合の直積集合)自然数\(n\)個の集合からなる集合族\(\{X_{i}\}_{i=1}^{n}\)が与えられたとき、任意の\(i\)について\(X_{i}\)が可算集合であるならば、直積集合\begin{equation*}\prod_{i=1}^{n}X_{i}\end{equation*}もまた可算集合である。}\)について考えます。}\)が可算集合であるものとします。_{i}}\end{equation*}と表現できます。したがって、上の命題より、これは可算集合です。}\end{equation*}もまた可算集合である。n\}\)とすれば一個前の命題が得られます。n\}\)の他にも様々なものがあります。\)をこれらの有限集合に置き換えても、同様の結論が得られます。そのような意味で、この命題は一個前の命題の一般化になっています。次回は非可算集合について学びます。>非可算集合ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。ログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。