プログラミングの記事を書きます。-korokoroスポンサーリンクこんにちは(@t_kun_kamakiri)。この記事を読みに来た方は、「楕円の面積や体積の公式」を求めてきたことだと思います。楕円の面積や体積の公式はどうやって導かれるのかと知りたくとお読みいただいていることかもしれません。こちらの記事もどうぞ理解のためのステップ下記のステップを踏んで「4.楕円体の体積」を求めたいと思います。楕円の体積だけではなくて「円の面積」や「楕円の面積」なども一度計算しておくと、楕円の体積は決して忘れることはありません。以下の複数の解法を学びながら、楕円の体積の求め方までたどり着いてみてください(^^)v解法A.直接積分するB.微小面積(体積)を幾何学的に計算して積分する方法C.ヤコビ行列を使用する方法では、表にまとめてみましょう。チェックを入れた方法(AとBとCの方法)で計算して、公式と一致しているかどうかを確認しようと思います。ここでは、「(1-B)について説明する」と書けば、「1.円の面積」を「B.微小面積(体積)を幾何学的に計算して積分する方法」で計算する方法を説明すると理解してください。円の面積\(x^2+y^2=R^2\)の内部の面積を求めることになります。R^2\)である領域の面積を求める。上記の(1-A)をやっていくことになります。求めたい円の面積を\(S\)とします。直接的な方法というのは、円の方程式\(x^2+y^2=R^2\)を関数として扱って、下記の図の微小面積を\(x\)について足し合わせることを意味しています。(1)\end{align*}ここで注意しなければならないのが、「円の方程式」とは言っても「円の関数」とは言わないということです。関数とは「xの値をひとつ決めるとyの値がただいひとつに決まる」ものです(そのように中学生の時に習いました)。円の方程式は、「xの値をひとつ決めるとyの値が2つ存在することになる」ので関数とは言えません。(2)\end{align*}とするとある\(x\)の値に対して\(y\)の値が2つ出てきます。これでは積分が実行できないので、+記号だけ使います。(3)\end{align*}そうすると関数として扱うことができるので積分が実行できます。求める面積は図のように上半分の面積を求めて2倍すれば良いことになります。(4)\end{align*}さてこれを実行すれば良いのですが、ルートが存在すると積分できないので、置換積分しましょう。(5)\end{align*}と置くと、良いです。\(dx\)を求めます。(6)\end{align*}と決まります。(6)\end{align*}となります。積分区間は$x$から\(\theta\)に変わります。(7)\end{align*}となりますので、これを求めれば良いことになります。R^2\cdot\cdot\cdot(8)\end{align*}となります。よって、公式通りになります。複雑な関数や3次元の体積を求める方法の基本的な積分はこのような手法であると思います。何もかもデカルト座標\((x,y,z)\)として積分を実行することが賢いやり方だとは思わないので、場合によっては別の座標系に置き換えたりして上手く積分が簡単に実行できる形にすれば良いと思っています。このような円の面積などのような場合には次のような方法も有効的です。dx\,dy\end{align*}として微小面積について\(x\)と\(y\)について足し合わせればよい。この時の微小面積(ABCD)は、\(dx\,dy\)と書けます(デカルト座標での表記)が、これが唯一の表記方法ではないはずです。下記のように、変数を\(r\)と\(\theta\)にした極座標表示で書いても良いです。※念のためですが、微小面積は少し四角形とは形が崩れて見えています。r\,d\theta\)となるので、\(AB=CDと\)なります。(9)\end{align*}となります。(10)\end{align*}となります。面積公式と同じ値になりました。(1-C)ヤコビ行列を使用する方法(1-B)の方法と似ているのですが、座標変換をして面積を求める方法を紹介します。円の面積を求めるので、何もデカルト座標で頑張って面積を求める必要はないです。下記のように極座標表示に変数を変換して、面積を求めても良いです。面積が求めやすいように自由に変数を変換して計算した方が計算が楽です。(1-B)の方法は、微小面積が視覚的にわかりやすいので、微小面積を計算してそこから面積\(S\)を計算しましたが、今から紹介する「変数変換による面積を求める方法」は、より一般的な変数変換の面積計算にも使えます。このように座標をデカルト座標\((x,y)\)から極座標\((r,\theta)\)に変換します。(12)\end{align*}\(x,y\)は\(r,\theta\)を独立な変数として持ちます。逆に、\(r,\theta\)は、\(x,y\)を独立な変数として持ちます。(14)\end{align*}と書けます。dx\,dy\end{align*}なのですから、\(dx\),\(dy\)が必要なります。(18)\end{align*}これを行列式にすると、を求めれば(21)式より微小面積の変数変換が完了します。(24)\end{align*}となります。(1-B)で示した(9)式と同じ結果になりました。このようにして変数変換を行って、微小面積は「ヤコビ行列」で変数変換前と後を結びつける((21)式)ことで、求めたい面積が簡単に求まります。この(1-C)の方法を使って、円の面積ではなく楕円の面積を求めてみましょう。楕円の面積\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)の内部の面積を求めることになります。1\)である領域の面積を求める。ab\)もちろん(1-A)の方法で計算することもできますが、面倒なので(1-C)の方法を駆使して楕円の面積を求めたいと思います。(2-C)ヤコビ行列を使用する方法まず、楕円のまま面積を計算するのはめんどうなので、楕円を円に変換してやりましょう。\leq1)\)とすれば良いです。(25)\end{align*}になります。dx\,dy\end{align*}を計算するにあたって、ヤコビ行列を用いて微小面積を変換します。(28)\end{align*}楕円の面積の公式通りの値になりましたね。結果は、公式通りになったので公式を覚えておけば良いわけですが考え方は非常に重要です。R\)の領域の体積を計算することになります。R^2\)になります。それは後ほど明らかになるでしょう。繰り返しになりますが、球の体積であったとしても(A)の方法でももちろん計算は可能です。(A)の方法はあくまでデカルト座標での積分の方法であって球を表現するのに必ずしもデカルト座標で考えることが良いとは限らないので積分の方法もそれに適した方法を選択する方が良いでしょう。微小体積を幾何学的に計算してみましょう。\end{align*}となり、公式通りになります。r^2\)と知っていたとします。R^3\end{align*}となり、球の表面積と体積は微分積分の関係にあることが理解できます。(27)式の\(r\)以外の積分を先にやってしまっても同じ結果が出てきます。(3-C)ヤコビ行列を使用する方法3変数になるので少々複雑になりますが、基本的な手続きは同じです。dx\,dy\,dz\end{align*}です。ここで、変数変換をしましょう。(31)\end{align*}※計算過程は(30)式と同じなので省略よって公式通りの結果になりました。最後に楕円の体積を求めてみましょう。これは楕円の面積を求めた方法と手順は同じで、もう既に手法は紹介し尽くしているので結構簡単に結果を導くことができます。c\)の領域の体積を計算することになります。abc\)(3-C)ヤコビ行列を使用する方法まず、楕円体のまま体積を計算するのはめんどうなので、楕円体を球体に変換してやりましょう。\leq1)\)とすれば良いです。(32)\end{align*}になります。dx\,dy\,dz\end{align*}を計算するにあたって、ヤコビ行列を用いて微小体積を変換します。(35)\end{align*}と、公式通りになりました。使って任意関数を表そう。【複素フーリエ級数展開】オイラーの公式を使ってフーリエ級数展開式を使って書き変えよう。【フーリエ変換】非周期関数を考える。複素フーリエ級数展開の周期性を無限大にしよう。直交関数系をベクトルの線形結合と類似して考えてみよう。【フーリエ変換】非周期関数を考える。複素フーリエ級数展開の周期性を無限大にしよう。【複素フーリエ級数展開】オイラーの公式を使ってフーリエ級数展開式を使って書き変えよう。【フーリエ変換をイメージでわかりやすく】フーリエ変換によって異なる波数の波がどれくらい含んでいるかがわかる。-【CAE解析の目的とは?】CAEは実機の代替えなのか?精度を無視してパラメータスタディすることは意味がないのか?【Udemyがお勧め理由5つ】プログラミングを勉強するなら動画学習おすすめ【まとめ】比熱の温度依存性について。古典論と量子論から理解する。【理想気体の比熱の温度依存性(7)】シュレディンガー方程式の極座標表記(2原子分子)から動径方向だけを抽出しようコメントを残すコメントをキャンセルプロフィールカマキリ(^^)大学以上の物理を勉強してブログに書いていきます。大学の専攻は物性理論で、Fortranを使って数値計算をしていました。CAE解析(流体解析)・毎日note更新しています。内容は、「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」を書いています。1DCAEの操作方法などを動画にしています。youtube・Qiitaではプログラミング言語の基本的な内容をまとめています。(10)ブログをメールで購読メールアドレスを記入して購読すれば、更新をメールで受信できます。