(W,Z)}が成立する。両側作用素イデアルを成す。有限次元であるとき、かつそのときに限りコンパクトである。フレドホルム作用素である。これはコンパクト作用素のスペクトル特性の発展において本質的である。形の線型方程式の解の存在性が有限次元の場合におけると同様に振舞うことを主張するフレドホルムの交代定理がある。よるコンパクト作用素のスペクトル理論が従う。可算無限集合のいずれかをスペクトル集合に持つことが示される。フレドホルム積分方程式に読み替えることができて[1]、そのときに解の存在性とスペクトル特性はコンパクト作用素の理論から従う。有界領域上の楕円型境界値問題は無限に多くの孤立した固有値を持つ。ひとつの帰結として、剛体は固有値によって与えられる孤立した周波数でのみ振動し、任意に高い振動周波数が常に存在することがわかる。バナッハ空間からそれ自身へのコンパクト作用素全体は、その空間上の有界作用素全体の成す多元環の両側イデアルを成す。実際、ヒルベルト空間上のコンパクト作用素全体は極大イデアルを成し、それによる商多元環(カルキン代数と呼ばれる)は単純環である。詳細は「ヒルベルト空間上のコンパクト作用素」を参照ヒルベルト空間上のコンパクト作用素を次のように定義することもできる。g_{n}}の形に表せることをいう。(必ずしも完全でない)正規直交系とする。その作用素の特異値と呼ばれる正数列である。おいてのみ集積することができる。ヒルベルト空間上の内積で、右辺の和は作用素ノルムに関して収束する。