消費者理論では予算集合がコンパクト集合であることを仮定することがあります。この仮定には、消費者が直面する最適化問題に解が存在することを保証する役割があります。w\}\end{equation*}と定義されます。^{N}\)の部分集合です。^{N}\)におけるコンパクト集合であるものと仮定することがあります。^{N}\)における有界な閉集合であるというものです。b\end{equation*}が成り立つことを意味します。^{N}\)上に定義された大小関係です。b_{n}\end{equation*}と言い換え可能です。予算集合の要素である消費ベクトル\(x\)を任意に選んだとき、任意の商品\(n\)について、その消費量\(x_{n}\)が何らかの実数値\(a_{n}\)以上であるとともに、何らかの実数値\(b_{n}\)以下であるということです。\)にはならないということです。^{N}\)が閉集合であることの意味は様々な形で定義できますが、その一つは点列を用いた定義です。\)の要素である消費ベクトルを項とするとともに、収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選びます。^{N}\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選ぶということです。^{N}\)上の閉集合とされます。\)について考えてみます。\)を満たさない点列\(\{x_{v}\}\)が存在するはずです。\)を満たすということは、点列\(\{x_{v}\}\)を構成するすべての点は、予算制約を満たす消費ベクトルであるということを意味します。^{N}\)に相当する商品ベクトルのいくらでも近い所に、点列\(\{x_{v}\}\)の点が無数に存在します。}x_{v}\)のいくらでも近い所に、予算制約を満たす消費ベクトルが無数に存在するということです。}x_{v}\)は予算制約を満たさないことを意味します。したがって、予算集合が閉集合ではない場合には、予算制約を満たさない商品ベクトルのいくらでも近い所に、予算制約を満たす消費ベクトルが無数に存在する、という事態が起きてしまうことを意味します。逆に言えば、予算集合が閉集合であるという仮定のもとでは、そのような事態が起こる可能性が排除されます。\)の部分集合であることとしても定義可能です。\)は価格ベクトル\(p\)と所得\(w\)に依存して変化します。消費者行動を分析する際には、\(p\)や\(w\)の変化にともない、消費者による選択がどのように変化するかを考察することも重要になります。\)がコンパクト集合であることを仮定することがあります。\)がいずれもコンパクト集合であることを仮定するということです。valued)と言います。予算集合がコンパクト集合であるという仮定をなぜ設ける必要があるのでしょうか。消費者理論では、消費者は自身が直面する予算集合の中から、自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選ぶものと仮定します。このような形で消費者の意思決定を最適化問題として定式化したとき、その解が存在することを保証する際に、予算集合がコンパクト集合であるという仮定を利用します。この点については場を改めて詳しく解説します。予算対応\(B\)がコンパクト値をとることを天下り的に仮定してもよいのですが、よりシンプルな仮定をもとに、予算対応\(B\)がコンパクト値をとることを保証することもできます。X\)はコンパクト値をとる。証明を見る(プレミアム会員限定)2財モデルを用いて上の命題を図解します。\)は下図のグレーの領域として表されます。\)に対応しており、これは2つの点\((\frac{w}{p_{1}},0),(0,\frac{w}{p_{2}})\)を通り、傾きが\(-\frac{p_{1}}{p_{2}}\)の線分です。^{2}\)上の有界な部分集合です。^{2}\)上の閉集合です。^{2}\)上のコンパクト集合です。次回は予算集合が連続であることの意味を解説します。>予算集合の連続性ワイズをさらに活用するための会員サービスユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。会員サービスの詳細を見る会員サービスディスカッションに参加しますか?質問やコメントを投稿するためにはログインが必要ですログイン会員登録コメント投稿に際するお願い返信をキャンセルする。>有料会員には様々な特典があります。理解を深めるための演習問題と解答の閲覧、テキストに登場した命題の証明の閲覧、演習や証明に関する質問の投稿など。>皆さまからよく頂く質問への回答をまとめました。こちらに解決方法が見つからない場合にはお問い合わせください。