この場合、広義積分が考えられます。【定義】以下の極限が存在するとき、この極限を$f$の$[a,b]$における広義積分と呼ぶ。以下の関数の広義積分を数値計算で検討してください。$$数値積分を計算を行うとき、分割数を$N=500$に固定して、積分範囲$[a,1]$の左辺$a$を以下の値を取ってください。$$即ち、各aの値に対応する積分値のグラフを描いて、積分値が収束しているがとうかを観察します。関数f1とf2を定義します。積分値を計算する関数get_integralを作ります。get_integralの変数にaを追加します。単調減少関数なので、S1が上界となる。単調減少関数なので、S1が下界となる。単調減少関数なので、S1が上界となる。単調減少関数なので、S1が下界となる。S1;end定義した関数を確認します。念のために、定義した関数を使って積分を計算してみます。関数f1とf2の原始関数を求めて、積分関数の厳密値を計算します。数値積分で計算した値と厳密値を比較します。aの値に応じて積分値を確認します。¶まず、分割数をN=500として、f1の積分値を計算します。上記の計算結果によりますと、下積分が収束して、上積分が発散するそうです。数値積分の中の誤差の影響を確認するために、もっと大きい分割数で確認することが必要です。N=1000で確認してみます。上積分と下積分の差が小さくなっているので、N=10000で計算してみます。gnuplot_plot_2a観察(続き)¶N=10000のとき、上積分と下積分の差がもっと近づいています。よって、分割数が十分大きいとき、上積分と下積分が一致することが見込まれます。aの値が小さくなるほど、積分が一定になっていることが見られます。よって、広義積分が存在すると推定します。4¶f2について、同じ方法で検討することが可能です。以下N=50000のときの計算結果のみ説明します。下のグラフによって、上積分と下積分両方が発散することを確認できます。よって、f2の$[0,1]$における広義積分が存在しないと推定します。関数$f_1$は広義積分を持って、広義積分の値が2になることを数値的に確認しました。$f_2$が広義積分を持たないと考えられます。原始関数で計算した積分を利用して、以下のことも確認できます。