和の中抜けとは、数列の一般項を$g(k+1)-g(k)$の形に変形できるような関数$g(k)$を探し、そのような$g(k)$は、\[\begin{align*}&\sum_{k=1}^{n}\{g(k+1)-g(k)\}\\=&g(n+1)-g(n)+g(n)-g(n-1)\cdots+g(2)-g(1)\\=&g(n+1)-g(1)\end{align*}\]を満たすことを利用して、数列の総和を求める手法です。和の中抜けという名前を知らなくても、同じ手法を使ったことがあるという人は多いのではないかと思います。和の中抜けは、数列の総和の公式を使えない場面で非常に有効です。等差数列や等比数列は公式があるので、簡単に総和を計算することができますが、分数数列や$k^4$が含まれるような数列になると、公式を用いることができなくなります。公式が使えない場面で、和の中抜けを用いることによって簡単に数列の総和が求まる例を以下で紹介していこうと思います。和の中抜けが有効な例3つ和の中抜けを用いることによって、総和を求められる有名な例を3つ挙げます。総和それぞれについて例題付きで説明していきます。分数数列の総和を求める問題としては以下のような例題があります。分数数列は、数列の和を求める公式がないため、和の中抜けを利用することになります。分数数列の総和は和の中抜けを使って求める!\[\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\]と変形できることから、$g(k)=-\frac{1}{k}$とすれば和の中抜けが使える形になっていることが分かりますね。答案を作ると以下のようになります。連続整数の積の総和を求める問題としては以下のような例題があります。連続整数の積の総和は、展開してからシグマ公式を用いて計算することも可能ですが、和の中抜けを用いることで劇的に早く計算ができるようになります。連続整数の積の総和は展開して公式を用いるよりも、和の中抜けを用いた方が圧倒的にはやい!特に、高校数学の教科書では習わない$k^4$が出てくるような場合には、展開しても総和が求められないという事態になってしまうので、和の中抜けを知らないと厳しくなります。例題について、\[\begin{align*}&k(k+1)(k+2)(k+3)\\=&\frac{1}{5}\{k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)\}\end{align*}\]と変形できるので、$g(k)=\frac{1}{5}(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)$とすれば和の中抜けが使える形になっていることが分かりますね。答案を作ると以下のようになります。総和を求める方法としては、公比をかけて差を取るという手法が教科書で紹介されており、非常にメジャーですが、その計算方法は計算ミスが起こりやすく、おすすめできません。総和計算で一度もミスをしたことがありません。\[(2k+1)3^k=g(k+1)-g(k)\]を満たすような関数$g(k)$は、\[g(k)=(ak+b)3^k\]のような形をしていることが予想できるので、そのような$a,\,b$を求めましょう。&\left\{\begin{array}{l}a=1\\b=-1\end{array}\right.\end{align*}\]よって、$g(k)=(k-1)3^k$とおけば、和の中抜けが使える形になっていることが分かります。計算ミスを減らすには、$a,\,b$の値が求まってから、\[(k+1-1)3^{k+1}-(k-1)3^k=(2k+1)3^k\]が本当に正しいかをチェックすることが必要です。これは暗算でもできるので、必ず検算をする癖をつけましょう。(ここで検算をしなければ和の中抜けを用いるメリットがほとんどなくなってしまいます。)検算で正しいことがわかったらあとは答案を作るだけです。総和は計算で$g(k)$を見つけて検算をすればミスがないシェアするツイートする塾・家庭教師選びでお困りではありませんか?家庭教師を家に呼ぶ必要はなし、なのに、家で質の高い授業を受けられるというオンライン家庭教師が最近は流行ってきています。おすすめのオンライン家庭教師サービスについて以下の記事で解説しているので興味のある方は読んでみてください。PM和の中抜けを連続整数の積に利用する部分の質問です。PMコメントありがとうございます。連続整数の積のシグマは和の中抜けが使えるという知識はありますが、それぞれの場合について個別に式変形の結果を暗記しているわけでは決してありません。記事中の説明と全く同様の手順で計算ができますが、その結果を覚えているわけではありません。総和について質問です。PM真井岩様コメントありがとうございます。和の中抜けを用いるときにはg(k+1)-g(k)のような形に変形できたら、シグマを取ったときの式は、g(n+1)-g(n)+g(n)-g(n-1)+...+g(2)-g(1)となるので、g(n+1)-g(1)の部分が残ります。形に対しても、同じ作業をすることによって和の中抜けを適用することができます。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。WordPress.。