まとめ整数問題の解き方は?大学受験数学の中でも最もひらめきを必要とする整数問題の分野。私も高校生の頃かなり苦戦した記憶があります。用いられる解法は、因数分解を利用したものでしょう。因数分解による解法は特に素数が出てきた時に有効なことが多いです。p$しか持たないという非常に強い条件を用いることができるからです。「互いに素」な整数が出てくるときにも、約数の関係をうまく使えるので因数分解を狙うことになるのがほとんどです。互いに素な整数が出てくる代表例としては有理数が絡む問題でしょう。有理数は$\frac{q}{p}(qは整数,\,pは自然数,\,p,\,qは互いに素)$とおくことが多いからです。有理数解に関する有名な定理を証明する際にも因数分解をして互いに素であることを上手く用いて示します。有理数解とは?有理数解を持つ・持たないが関わる定理や入試問題を解説!他にも、2元2次不定方程式を解くときには、因数分解を用いることがほとんどです。不定方程式についてまとめた記事はこちら。「あまり」に注目させる問題では、合同式による解法が有効です。これは受験参考書にはほとんど書かれていませんが、整数の2乗が出てきた時には合同式を考えるとうまくいくことが多いです。これは、「整数の2乗を4で割ったあまりは0と1の2通りしか存在しない」「整数の2乗を3で割ったあまりは0と1の2通りしか存在しない」などの強い条件を用いることができるからです。これは難関大では頻出の事項なので、絶対に覚えておきましょう。平方数が出てくるときには4で割ったあまり・3で割ったあまりに注目することが多い!範囲の絞り込み最後に、整数問題の解法として大事なものに「範囲を絞り込む」というものがあります。非常にざっくりしていてつかみどころがないんですが、与えられた不等式を用いて候補を有限個に絞ったり、ある文字の実数条件を考えると他の文字の候補が有限個に絞れたりなどなど、範囲の絞り込み方は色々あります。有限個に絞る込めたらあとはそれを一個ずつ調べていくことになります。整数問題は鮮やかに解けるものばかりではなく、このように地道に調べていかなければいけないことも多いです。因数分解や合同式による解法がうまくいかなければ、「大きすぎると困るもの」などを見つけて、その解の候補が有限になるような不等式を見つけましょう。先ほどの不定方程式の記事の中でも、実数条件から候補を絞る2元2次不定方程式や、不等式から候補を絞る対称な3文字以上の不定方程式など、範囲を絞る解法をしているものがあるので、そちらも是非見てみてくださいね。整数問題のおすすめの参考書は?整数問題をもっと解けるようになるにはどの参考書がよいのでしょうか?マスターオブ整数がおすすめ!私は「マスターオブ整数」という参考書をおすすめしています。この一冊で、整数についての簡単な問題から難関大学レベルの問題まで網羅的に学べます。整数は少しひらめきを要する問題になっていることが多いんですが、たくさんの問題に触れることで徐々にひらめきのパターンに慣れていきます。その練習にマスターオブ整数はうってつけでしょう。私が選んだ整数問題の入試問題の良問・難問とその解答・解説を3題分載せておきます。上で解説したどの3つのパターンのどれに当てはまるのかを意識しながら解いていってください!問題1問題1を解く上でのポイント(1)と(2)で見かけは非常に似たような問題になっていますね。(1)については、右辺が因数分解できる式になっているので、\[3^n=(k+1)(k^2-k+1)\]と因数分解してあげて、$k+1$が$3$のべき乗で表せることを利用してあげればよさそうです。(2)では、右辺が因数分解できそうでできない式になっています...そこで、因数分解という方針は捨てて、合同式で解けないかなーと疑ってみましょう。平方数が出てきていることから、合同式の法として$4$を選んでみて、絞り込みを行っていけば良さそうです。似た見た目の2題で解答の方針が大きく違う点に注意したいですね。問題1(1)の模範解答\[3^n=(k+1)(k^2-k+1)\]と変形できるので、$k+1$は$3^n$の約数であることが分かる。nをみたす自然数)\]おくことができる。n$を満たす自然数より、$3^{2l-1}-3^l$は3の倍数であるから、$3^{n-l-1}-1$も3の倍数であることが分かる。l=1\]このとき、$n=2$となる。k=2\]よって、たしかに$n,\,k$は自然数となり十分。