よって、$k$が奇数かつ$n$が偶数であることが必要。(k-3^m)(k+3^m)=40\]$k,\,m$が自然数であることから、$k-3^m$と$k+3^m$の偶奇が一致し、$k+3^m>0$、$k+3^m>k-3^m$であることを考えると、\[(k-3^m,\,k+3^m)=(2,\,20),\,(4,\,10)\]となる。それぞれの場合について、$k,\,m$の値を求めると、\[(k,\,m)=(11,\,2),\,(7,\,1)\]となり、どちらも$k$は奇数になっているので十分。以上より、求める組は、\[\boldsymbol{(k,\,n)=(11,\,4),\,(7,\,2)}\]問題2問題2を解く上でのポイントこの問題では、それぞれの数が「偶数かどうか」に注目しています。これは言い換えれば、「$x,\,y,\,z,\,w$を2で割ったあまりに注目している」ことと同じですよね。よって、合同式によって解けるのではないかと考えるのが妥当です。前述の通り、平方数が出てくるときには4で割ったあまりに注目することが多いので、合同式の法として4を選ぶのが適切そうです。以上のことを踏まえて解答を書いていきます。0,\,1\]がわかる。よって、$x,\,y,\,z$が整数であることも踏まえると、$(x^2,\,y^2,\,z^2)$を4で割ったあまりの組み合わせは、\[(0,\,0,\,1),\,(0,\,1,\,0),\,(1,\,0,\,0),\,(0,\,0,\,0)\]の4通りしかありえない。0$であるとき$n$は偶数であるから、$x,\,y,\,z$のうち少なくとも2つは整数であることが示された。問題3問題3を解く上でのポイント上でも述べた不定方程式のちょっとした応用バージョンです。対称な分数の形の不定方程式は$l,\,m,\,n$の間に大小関係を定めてから不等式で絞りこんでいくんでしたよね。今回の問題では方程式ではなく不等式になっているだけでやることはほぼ同じです。候補を有限個に絞る文字をどれにするか、というところで迷ってしまう人が多いですが、「大きくなりすぎると困るものはどれか」と考えると非常にわかりやすいです。$l<m<n$と大小関係を設定したとすると、大きくなりすぎると困るのは$l$ですよね。($l$が大きくなると$m$も$n$も大きくなって、与式の左辺が小さくなりすぎるため)よって、$l$を上から評価すればいいということがすぐに分かります。不等式での絞り込みを考える際にはこの考え方を知っておくと有利でしょう。問題3の模範解答まず、$l<m<n$のときについて考える。l<\frac{15}{8}\]$l$が正の整数であることも考えると、これをみたすのは$l=1$のみ。n<10\]$n$が$2$より大きい整数であることも考えると、これをみたすのは、$n=3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9$の7通り。n<\frac{15}{4}\]$n$が$3$より大きい整数であることも考えるとこれを満たす$n$は存在しない。・範囲の絞り込みは実数条件や不等式を考えたり様々シェアするツイートする塾・家庭教師選びでお困りではありませんか?家庭教師を家に呼ぶ必要はなし、なのに、家で質の高い授業を受けられるというオンライン家庭教師が最近は流行ってきています。おすすめのオンライン家庭教師サービスについて以下の記事で解説しているので興味のある方は読んでみてください。PMatom28様コメントありがとうございます。ご指摘の通り、問題1(1)の解答において、10行目から15行目までのn-l+1はn-l-1の間違いでしたので訂正いたしました。今後とも弊ブログをよろしくお願いいたします。PM問3の模範解答についてですが、9行目は3/5<1/m+1/n<1/m+1/m=2/mとなり、これ以降のmとnは逆ではないでしょうか。間違った指摘でしたら、すいません。PMcastella17様コメントありがとうございます。ご指摘の通り、mとnが逆になってしまっていました。ありがとうございます。今後とも弊ブログをよろしくお願いいたします。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。WordPress.。