検索に移動この章では、より進んだ平面図形の性質を扱います。ある図形が相似の関係を持つときに、図形の間に成り立つ性質について述べます。相似[編集]相似な図形[編集]たとえば、地図を見てみましょう。地図は、実際の地形と全く同じ形になるように書かれています。地図は持ち歩いたり、調査などに使うため、本物よりも小さく書かれています。縮尺が25000分の1となっているなら、本物の25000分の1の大きさで、全く同じ形に書いてあるということになります。本などを縮小コピーしたり、拡大コピーしてみましょう。原稿と同じように印刷されますが、大きさは変わっているはずです。簡単な図形である三角形はどうでしょうか。同じ形でも大きさが違う三角形では、どういう共通な性質を持っているでしょうか。この2つの三角形は、全く同じ形をしていますが、大きさが違います。この2つの三角形を比べると、次のことが言えます。CA:FDある2つの図形について、それらの図形の大きさだけが異なっていて、形は全く同じであるとき、この2つの図形は相似(そうじ、英:similar)である、といいます。一般に、相似な図形では、次のことが成り立つ。対応する線分の長さの比はすべて等しい。対応する角の大きさはそれぞれ等しい。円は半径に関わらず常に同じ形をしているので、すべて相似な図形であるといえます。2年生で学習した合同な図形は、必ず相似の関係も満たしています。相似な図形は常に合同であるということは成り立ちません。次の図形が互いに相似であるかどうか述べよ。円は半径に関わらず常に同じ形をしているので相似。それぞれの辺の比が1:2の関係を満たしているので、それぞれの図形は相似。それぞれの辺の比が等しくないので、これらの図形は相似ではない。2つの三角形は3辺が同じ長さを持っていることから互いに合同となっている。合同な図形は相似な図形でもあるので、この2つの図形は相似となる。factor)といいます。三角形の相似条件[編集]2年生では三角形が合同になる条件を考えました。ここでは三角形が相似になる条件を考えてみましょう。三角形の相似条件は、次のようになる。次の3つのうち、1つでも成り立てば相似である。3組の辺の比がすべて等しい。2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。2組の角がそれぞれ等しい。この図から次のことがわかる。この時、点Oから対応する点までの距離の比が2つの図形の相似比になる。右の図の場合、相似比は1:2である。このとき、次の結果を得る。ある一定の比を持つ間隔で並んでいる平行線を考えるとき、それらに任意の角度で交わる直線が作る線分は上で得た平行線間の間隔の比と等しい長さの比を持つ。平行線をそれぞれl,m,nと呼ぶ。ここで、Bからlに向かって下ろした垂線とlの交点をB'と呼ぶ。このとき、三角形ABB'とACC'は、互いに相似であることを示す。実際、2つの三角形は直角三角形なので、どちらも90°の角を持っている。CAC'}は同じ角であるので同じ大きさである。上の2つの三角形は相似である。BB':CC'=AB:AC}が成り立つがこれは求めたかったことに等しい。なるように辺AC上に点Eをとる。なるように辺BC上に点Fをとる。AD:DB=AE:DF}また、四角形DFCEは2組の対辺がそれぞれ平行であるから平行四辺形である。AD:DB=AE:EC}今までのことをまとめると次のようになる。辺AB、AC上にそれぞれ点D、Eをとるとき、次のようなことが成り立つ。AD:DB=AE:EC}この定理「三角形と比(1)」は逆も成り立つ。