量子力学に基づく計算物質科学は,盤石な理論基盤を持つ反面,計算量が膨大になり,一般には,時間的・空間的に極小なスケールしか扱えない。マクロな物質・現象を直接扱い,次世代電子デバイスをはじめとする産業応用に寄与するためには,ポスト京時代のスーパーコンピュータを活用するとともに,数理モデリング,超並列アルゴリズムなどの分野と協働し,数理的問題の共有化を通じて新しいモデリング手法,計算アルゴリズムを産み出してゆく必要がある。数名ずつ招いて講演していただき,前者のニーズと後者のシーズとを突き合わせることで,新たな協働の可能性を探ることを目的とした。本研究会で議論したいと考えていた論点は次の通りである。計算物質科学の最先端では,どのような物理現象を,どのような数理原理に基づきシミュレーションしようとしているか。数理・HPC分野に対してどのようなニーズがあるか。数理分野では,計算物質科学に適用できそうな,どんなシーズがあるか。ポスト京時代のスーパーコンピュータの新潮流は何か。それは数値モデリングやアルゴリズムにどのようなインパクトをもたらすか。データ科学とシミュレーションの融合により,何が可能となるか。融合に当たっての課題は何か。研究の現状と課題(既にできていること、できていないことの切り分け)各講演後の質疑応答時間や懇親会において上記の論点について議論した結果,次のような現状と課題点が明らかになった。プログラムが開発され,光吸収,発光など,励起状態に関わる現象を高精度で計算可能となっている。計算には様々なサイズの固有値問題(数百万元で数万固有対,数万元で全固有対など)が現れ,その効率的な求解が課題となっている。・量子多体問題の汎用的なソルバとしてHΦが開発され,広汎な多体量子系の有効模型の基底状態や低励起状態を求めることが可能になっている。計算には主にLanczos法を用いているが,より効率的な固有値ソルバがあれば望ましい。・時間依存型シュレーディンガー方程式を解く量子波束シミュレーションにより,有機デバイス材料の電気伝導の計算が可能になっており,さらに,2粒子波動関数を使うことで,発光や光吸収の計算も可能になる。問題の数理構造を反映した行列構造(ブロック対角+α)により計算を効率化すること,機械学習により有望な物質構造を探すことが課題である。・分割統治型のオーダーN第一原理計算手法が開発された。本手法では,計算領域を分割して各領域で独立にKohn-Sham方程式を解き,結果を統合して全体での解を求める。並列化とプログラムの最適化が今後の課題である。・電子のアト秒ダイナミクスや高品質レーザー加工などの応用に向け,非線形光学応答の量子シミュレーションのプログラムが開発された。空間的・時間的なマルチスケール性が困難な点であるが,空間方向については,Maxwell-TDDFT法の開発と「京」の計算資源により可能となった。時間方向のマルチスケール性を取り扱うには,更に大規模な計算機資源が必要となる。FFTの計算が1ステップで134M回必要であり,HPCの観点からの最適化も不可欠となっている。数理分野からの新たなシーズ・多数の変数で記述される動的システムを,より少数の変数で記述されるシステムで近似し,計算量を削減する方法として,モデル縮減と呼ばれる手法が近年注目されている。reduction)が提案された。3次非線形シュレーディンガー方程式に適用した実験では,後者は非常にうまく働く。呼ばれる一群の解法が開発されており,安定性などの面で有利である。最近,ハミルトン系向けに,Butcher-Miyatake法と呼ばれるエネルギー保存型の4次の並列解法が開発された。サンプルプログラムとして,2次元非線形シュレーディンガー方程式を解くコードができており,高性能実装も進められている。・行列計算の分野では,通信回避型のアルゴリズムが様々な問題に対して開発されている。スケーリング向けのブロックヤコビ法,QR分解のためのTSQR法などがある。・対象とする問題や行列は限定するものの,汎用解法に比べて演算量・通信量などの面で優位性を持つ専用解法の開発も盛んである。例として,一般化シフト線型方程式のためのクリロフ部分空間法,条件数が10の8乗以下の行列のQR分解に適用できるCholeskyQR2法,幅の狭い帯行列向けの1D-Dissectionに基づく連立1次方程式直接解法などがある。・数値線形代数の分野では,低ランク近似を用いた演算量・メモリ量の削減が1つのトレンドになっている。密行列において非対角ブロックの低ランク近似を行うH行列法,テンソルの低ランク近似などが活発に研究されている。・これまで,データ転送能力の演算能力に対する比を表すByte/Flop値は下降を続けてきたが,3次元積層技術の実用化により,今後はメモリバンド幅が増加し,Byte/Flopがむしろ上昇する可能性がある。Byte/Flop≧4となればブロック化は不要となり,アルゴリズムの設計に大きなインパクトがある。通信のためのブロック化は引き続き必要であり,通信回避アルゴリズムも相変わらず重要である。・HPC分野におけるFPGAの利用が普及する可能性がある。GPUでは最内側にIF文のあるループは実効効率が悪いが,FPGA化により,高速化できる可能性がある。・データ科学の分野ではスパースモデリングが広く使われるようになり,圧縮センシングなどに応用されている。シミュレーションを行って結果を得ることをセンシングに見立てれば,スパースモデリングはシミュレーションから効率的に情報を抽出する際にも役立つ。・非常に大規模なデータに対するPCA(主成分分析)が各所で必要になっている。データが来るたびにPCAを更新するオンライン型のPCAも重要になっている。大規模シミュレーションではデータを貯めておけないので必須である。・データ科学を応用した例として,有機ポリマーにおいて電子易動度を決める因子のクラスタリングを用いた推定がある。構造最適化におけるベイズ最適化の応用も期待される。新たに明らかになった課題、今後解決すべきこと上で明らかになった先端シミュレーションの各課題について,数理的なシーズとの突き合せを行い,計算物質科学と数理・HPCの連携研究を進めていくことが重要であるという認識が,参加者の間で共有された。これに向けて,次のような課題に取り組むことが必要であると考えられる。研究者と数理・HPCの研究者が,解きたい問題の数理的構造を共通の言葉で理解することが重要である。現在,数理モデリングやアルゴリズムの世界では,特定の数理構造を持つ問題に対して,効率性・安定性などの優れた性質を持つ手法の開発が大きな潮流となっている。計算物質科学の問題には,特定の数理構造を持つものが多く,それを認識してモデリングや計算に活用できれば,大きなメリットがある。そのためには,計算物質科学の研究者が自らの問題を数理の目で見直すとともに,数理の研究者も,より物質科学の側に立ち入って議論できるように努力する必要がある。計算物質科学の研究者と線形計算の研究者とのインターフェースは,従来は主に行列データであったが,行列データのみからでは,その背後にある数理構造を十分に読み取ることは難しい。量子多体問題の行列は自然なテンソル積構造を持つが,そのことは,問題の元々の定式化に立ち戻って初めて明らかになる。そのようなことができる数理の研究者を育てることが課題である。上記(1)とも関連するが,モデリング,アルゴリズム設計,高性能実装という一連の流れの中で,自分の専門分野に関わる部分だけを見るのではなく,全体を俯瞰して見ることが必要である。それにより,新たな,より効率的な計算の道筋が見える可能性がある。量子力学のシミュレーションでは,ハミルトニアンから固有値計算により波動関数を求め,そこから物理量の期待値を求めるというのが従来の流れであった。最終的に必要なのは波動関数ではなく物理量の期待値であることに着目すると,ハミルトニアンからグリーン関数を求め,そこから密度行列を経由して直接に物理量の期待値を求めるという道筋も見えてくる。後者の道筋では,固有値計算の代わりに,効率的なシフト線型方程式の解法が利用でき,並列性に優れた解法を構成できる。これは計算物質科学と数理の協働の成功例であるが,俯瞰的視点を持つように努めることで,同様のブレークスルーが他の先端的計算でも可能になるのではないかと期待される。大規模シミュレーションでは,計算結果が膨大過ぎて,ディスクなどに落として保存することが不可能な場合が多い。データ量が多いために,解析を行うのも普通の計算機では困難である。そこで,データ解析のコード自体もスパコン上に移植し,スパコン上で解析を行う必要がある。進んで,シミュレーションとデータ解析のコードレベルでの融合を行い,シミュレーション結果が一部出るたびに解析結果もアップデートするオンライン型のデータ解析も今後は必要になると考えられる。研究者にとっては,先端的な解法やアルゴリズムの論文を読んで興味を持っても,そこから自分でコードを作るのは大変である。そのため,MATLABでもよいから,解法やアルゴリズムを作った研究者にプログラムを公開してもらえるとよい。今後の展開・フォローアップ今後については,次のような展開・フォローアップを考えている。適用して,その有効性を検証するとともに,東大物性研のスパコン上での高性能実装も進めている。π共役ポリマーの電子状態計算に現れる連立一次方程式に対して,効率的な並列解法の開発を進めている。これらの取り組みを推進するとともに,他の研究課題についても可能性を探る。上記の2次元非線形シュレーディンガー方程式の共同研究では,FORTRAN版のコードを一般に公開し,興味を持った研究者が利用可能としている。今後は,高性能実装版についてもコードを公開するとともに,他の共同研究についても何らかの形でコードの公開ができないかを模索する。抽出と保存を中心とした次世代エレクトロニクス材料設計基盤の創出」を通じて共同研究を進めているが,本研究会の参加者有志で,更に他の研究費についても積極的に応募を検討する。研究者が現状の課題とシーズを交換し合うことを目的としたが,今後協力して研究を進め,新たな課題やアイディアが出た段階で,もう一度研究会を開くことを考えている。本研究会では産業界からの参加者が9名おり,産業ニーズを示している。今回はこれら参加者からのニーズを直接聞く機会はなかった。産業界からのニーズを直接聞ける場を設けていくことが,今後の展望として挙げられる。