次の形式とも呼ばれる。形式は単にスカラー関数である。すべてのそのようなテンソルが形式であるわけではない。形式は反対称でなければならないからである。V(f)}なるものが存在する。この写像は上でのべたように余ベクトルを無限小変位に関連づける写像である。いくつかの余ベクトルはスカラー関数の外微分である。形式の上への写像に一般化することができる。形式は閉形式と呼ばれ、それ自身外微分であるような形式は完全形式と呼ばれる。ある点での微分形式の空間は外積代数の原型的な例である。形式に写すウェッジ積を持つ。).}微分形式と外微分から、多様体のド・ラームコホモロジーを定義することができる。次コホモロジー群は閉形式全体を完全形式全体で割った群である。3次元のすべての位相多様体は(微分同相の違いを除いて)一意的な微分構造を持つ。したがって位相多様体と可微分多様体の概念は高次元でしか区別がない。各高次元で滑らかな構造を持たない位相多様体や複数の微分同相でない構造を持つ位相多様体が存在することが知られている。多様体(英語版)である。次元球面(英語版)である[12]。S(円周)の高々可算個のコピーの非交和に同相である。高次元では、分類理論は通常コンパクト連結多様体のみを考える。2次元多様体の分類は、曲面(英語版)を参照:とくにコンパクトで連結な向き付けられた2次元多様体は非負整数である種数によって分類される。次元多様体に対する様々な認知されている結果から従う。次元多様体の分類はホモトピー同値の違いを除いてでさえ不可能なことが知られている。次元閉多様体を構成できる。有限表示群の同型問題を決定するアルゴリズムは存在しないから、2つの4次元多様体が同じ基本群を持つかどうか決定するアルゴリズムは存在しない。前に書かれた構成が同相な4次元多様体のクラスになることとそれらの群が同型であることは同値であるから、4次元多様体の同相問題は決定不能である。自明群を認識することさえ決定不能であるから、多様体が自明な基本群を持つかどうか、すなわち単連結かどうかを決定することさえ一般には可能でない。よって同相の違いを除いて分類されている。上の異種微分構造(英語版)が示しているように、はるかに複雑であることが知られている。以上の単連結な滑らかな多様体に対しては状況は扱いやすくなる。このときはh-コボルディズム論(英語版)を分類をホモトピー同値の違いを除いた分類に還元することに使え、手術理論(英語版)が適用できる[14]。よって単連結5次元多様体(英語版)の明示的な分類を提供するために実行されてきた。多様体上の構造[編集](擬)リーマン多様体[編集]リーマン多様体とは接空間に微分可能なような内積を入れた可微分多様体である。内積構造はリーマン計量と呼ばれる対称2階テンソルの形式で与えられる。この計量はベクトルと余ベクトルを相互変換するために、そして階数4のリーマン曲率テンソルを定義するために、使うことができる。リーマン多様体には、長さ、体積、角度の概念がある。任意の可微分多様体にはリーマン構造を与えることができる。擬リーマン多様体はリーマン多様体の変種で、計量テンソルが(正定値とは対照的に)不定値符号を持つことも許したものである。擬リーマン多様体は一般相対論において重要である。すべての可微分多様体に擬リーマン構造を与えられるわけではない。位相幾何学的な制限があるのである。フィンスラー多様体(英語版)はリーマン多様体の一般化で、内積をベクトルノルムに置き換えたものである。長さは定義できるが、角度は定義できない。シンプレクティック多様体[編集]詳細は「シンプレクティック多様体」を参照シンプレクティック多様体とは閉非退化2形式を伴った多様体である。この条件からシンプレクティック多様体の次元は偶数でなければならない。ハミルトン力学において相空間として生じる余接束は動機づけとなる例であるが、多くのコンパクト多様体もまたシンプレクティック構造を持つ。すべてのリーマン面はそのような曲面の例であり、したがって、実多様体と考えてシンプレクティック多様体の例である。多様体であって群でもあり積と逆元を取る演算が多様体の写像として滑らかであるようなものである。これらの対象は対称性の記述において自然に生じる。一般化[編集]滑らかな写像と滑らかな多様体の圏は望まれる性質をいくらか欠いており、人々はこれを修正するために滑らかな多様体を一般化しようとしてきた。呼ばれるチャートの異なる概念を用いる。区分的に滑らかあるいは求長可能な曲線の概念を高次元に一般化する。修正可能集合は一般の多様体にない。あるから閉でなければならない。シンプレクティック構造は群のこの同型に加えてさらに可積分性条件を要求することに注意する。単なるG-構造(英語版)ではないのである。マクスウェル自身はテンソルよりもむしろ四元数で研究したが、電磁気学の彼の方程式はテンソルのフォーマリズムの初期の例として使われた。