台の局所有限性によってこの最後の条件は実は各点で有限和であることに注意。級関数のトポロジーからの構成を可微分多様体の圏に持ち越すことができる。各チャートでの積分を実行することによって積分を議論することが可能である。分割によって考えるべき他の種類の関数空間ができる。空間、ソボレフ空間、積分を要求する他の種類の空間。連続であるとはどういう意味かを知っている。あるということの意味を知っている。あるいうことだと定義する。アトラスのどのチャートが選ばれたかに依らないことが保証される。微分そのものの定義はより微妙である。それ自身既にユークリッド空間であれば、それをユークリッド空間に写すチャートは必要ない。持ち、代数幾何学における正則関数の環の微分可能な類似物である。再構成することができる。集合として、しかし位相空間としても。これはバナッハ・ストーンの定理(英語版)の応用であり、よりフォーマルにはC*-環のスペクトル(英語版)として知られている。間には1対1の対応がある。これは極大イデアルでなければならない。位相空間として修復するのであるが、を証明している。ことばで代数的に定義することができ、これらの定義はしばしば代数幾何学(環を幾何学的に解釈して)や作用素論(バナッハ空間を幾何学的に解釈して)に一般化する。上の滑らかな関数の多元環の微分として定義できる。C*-環を多様体の非可換の一般化と考えることができる。これは非可換幾何学の分野の基礎である。この節の加筆が望まれています。一般にその接空間の基底を定義する。接束は接ベクトルが住んでいるところで、それ自身可微分多様体である。ラグランジアンは接束上の関数である。束として定義することもできる。アトラスのチャートの1つを表す、に基づいたチャートからなる接束のアトラスを構成できる。このアトラスの変換関数はもとの多様体上の変換関数から定義され、もとの微分可能性のクラスを保つ。余接束[編集]詳細は「余接束」を参照ベクトル空間の双対空間はベクトル空間上の実数値線型写像の集合である。ある点での余接空間はその点での接空間の双対であり、余接束はすべての余接空間の集まりである。接束と同様余接束は再び可微分多様体である。ハミルトニアンは余接束上のスカラーである。余接束の全空間はシンプレクティック多様体の構造を持つ。束として定義することもできる。余接空間の元を無限小の変位と考えることができる。定義することができる。すべての余ベクトル場がこのように表現できるわけではない。そのようにできるものを完全微分形と呼ぶ。おける余接空間の基底を成す。テンソル束[編集]詳細は「テンソル束(英語版)」を参照テンソル束は接束と余接束のすべてのテンソル積の直和(英語版)である。して作用することができる。テンソル束は可微分多様体にはなれない、なぜならば無限次元だからである。スカラー関数の環上の多元環ではある。各テンソルはどれだけの接因子と余接因子をそれが持っているかを示すその階数によって特徴づけられる。ときどきこれらの階数は共変および反変階数、それぞれ接階数と余接階数を表す、と呼ばれることがある。frame/接標構))は特定の接空間の順序付き基底である。この接空間への線型同型写像である。動く接枠は定義域の各点での基底を与えるベクトル場の順序付きリストである。主束、の断面と見なすこともできる。上の同変(英語版)ベクトル値関数と見なすことができるので、枠束は有用である。滑らかな多様体上様々な種類のジェット束を考えることができる。多様体の(1階の)接束は多様体の曲線を一次の接触なる同値関係で割った集合である。k-次の接触関係で割った曲線の集まりである。ジェット束の一般的なアイデアのこれらおよび他の例は多様体上の微分作用素の研究において重要な役割を果たす。枠の概念も高次ジェットの場合に一般化する。