おおまかには、このコンセプトはスキームの任意の適切な概念に適合できる(トポス論を参照)。第二に、座標は構成にもはや明示的に必要でない。あるが、これらは(チャートやアトラスのように)議論の中心にあるのではなく単に局所同型のアイデアを定めているだけである。明らかに関数の層では全くない。(局所環の極大イデアルによる商による)構成の結果として関数の層としてそれが出現する。したがってそれは構造のより原始的な定義である(綜合微分幾何学(英語版)の項を参照)。このアプローチの最後の利点は微分幾何と位相幾何の研究の基本的な対象の多くの自然な直接的記述ができることである。一般に、全余接束は関連したテクニックにより得ることができる(詳細は余接束を参照)。Ip-進フィルトレーションを用いて座標と独立にアプローチできる。二重数の環への射の層と同一視できる。まわりで定義された任意の1つの座標チャートにおいて微分可能であることをいう。おいて微分可能であることが同値である。チャートの取り方に依らない。すべてのチャートで微分可能であることが従う。関数の微分[編集]可微分多様体上の関数の微分を定義する様々な方法があるが、最も基本的なのは方向微分である。方向微分の定義は多様体がベクトルを定義する適切なアフィン構造を欠いているという事実によって複雑である。したがって方向微分はベクトルの代わりに多様体内の曲線を見る。方向微分は以下のように定義される。内の微分可能な曲線であるという意味で微分可能なものとする。(t))\right|_{t=0}}である。沿った方向微分は同じである。曲線の接ベクトルのみに依存することを意味する。したがって可微分多様体の場合に適合した方向微分のより抽象的な定義はアフィン空間における方向微分の直感的な性質を究極的に捉えている。曲線の間に定まる接する(一次の接触を持つ)という同値関係で割った、同値類である。_{2}(t)\right|_{t=0}}である。おけるすべての接ベクトルの集まりはベクトル空間をなす。おいて互いに一次の接触を持つ任意の曲線は同じ方向微分を生み出すからである。Xf(p)}は接空間上の線型汎関数である。}.}1の分割[編集]可微分多様体上の微分可能な関数の層のトポロジカルな特色の1つは1の分割を持つことである。これは一般には1の分割を持つことができない(解析的構造や正則構造のような)より強い構造から多様体上の可微分構造を区別する。