最後の3つの条件は群の定義と類似している。群であるとは限らないことに注意しよう。級微分同相写像からなる集まりは擬群をなす。開集合の間のすべての双正則写像は擬群をなす。向きを保つ写像、シンプレクティック同相写像、メビウス変換、アフィン変換、など。したがって多種多様な関数のクラスが擬群をなす。入っていることをいう。級関数の擬群と両立可能なアトラスである。開集合上の双正則写像と両立可能なアトラスである。したがって擬群は微分幾何学や位相幾何学に重要な多様体の多くの構造を記述する1つだけの枠組みを提供する。構造を与える別のアプローチを使うことが便利なことがある。座標チャートを考える代わりに、多様体自身の上に定義された関数から始めることができる。定義する関手の一種である。回連続微分可能な関数の層の引き戻し(英語版)となることをいう[8]。回微分可能な関数、と一意的に書けるということである。これは多様体上の微分構造を特徴づけるのに十分であるということである。局所環の層[編集]可微分多様体を定義する同様だがより技術的なアプローチは環付き空間の概念を用いて定式化できる。このアプローチは代数幾何学のスキームの理論に強く影響を受けているが、微分可能な関数の芽の局所環を用いる。これは複素多様体の文脈で特にポピュラーである。上の基本的な構造層を記述することから始める。回連続微分可能な関数からなるとしよう。上の環の層を決定する。消える関数からなる局所環である。局所環付き空間の例である:各茎が局所環である層を伴った位相空間である。局所同型なものである。モデルとしたスキームと考えることができる。p.この抽象的な枠組みで可微分多様体を研究する重要な動機付けがいくつかある。