逆に、任意の完全正則空間は一様化可能である。上の全ての実数値連続函数が一様連続となるような最も粗い一様系によって与えられる。有限交叉の全体によって与えられる。なるものが存在する)からの簡単な帰結として分かる。コンパクトハウスドルフ空間は一様化可能である。対角線集合の近傍全体の成す集合は、その位相と両立する「ただ一つの」一様系を成す。ハウスドルフ一様空間が距離化可能となるのは、可算な基本近縁系を持つときである。実際、上述の如くそのような一様系はただ一つの擬距離によって定義することができて、それは空間がハウスドルフならば距離とならねばならない。位相空間の間の連続写像が位相的性質を保つように、一様空間の間の一様的性質を保つ写像は一様連続写像と呼ばれる。一様空間と一様連続写像の全体はひとつの圏を成す。一様空間の間の同型射は一様同型と呼ばれる。一様連続写像は近縁系の逆像がふたたび近縁系となるような写像として定義される。同じことだが、一様被覆の逆像がふたたび一様被覆となるような写像と言ってもよい。任意の一様連続写像は、一様性から誘導される位相に関して、必ず連続である。付随するハウスドルフ一様空間が存在しる。満たすものが一意的に存在する。満たすものが存在する。同型を除いて一意である。付随するハウスドルフ一様空間となる。概念を一般化して、一様空間に対する完備性を定義することができる。この場合、コーシー列の代わりにコーシーフィルター(あるいはコーシーネット)を用いる。なるものが取れるものをいう。フィルターがコーシー的であるのは、それが「どれほどでも小さい」集合を含むときである。定義から(一様構造の定める位相に関して)一点に集積するようなフィルターはいずれもコーシーフィルターとなることが従う。逆に、一様空間が完備であるとは、その空間上の任意のコーシーフィルターが収束することをいう。任意のコンパク空間は、その位相と両立する唯一の一様系に関して完備な一様空間である。完備一様空間には、以下のような重要な性質がある。ハウスドルフならこの拡張は一意的)。対して、その完備化を考えることができる。満たすものが一意的に存在する。満たすものが存在する。同型を除いて一意である。閉集合系上のコーシー超フィルター全体の成す集合を取ればよい。含む閉集合全体に移す写像とすれば良い。上の一様構造は以下のように定まる。全体の成す集合とする。この基本近縁系から定まる一様構造を持つ。稠密な部分集合となる。稠密部分集合と同一視することができる。一様空間と見なすことができる。a\}}で与えられる。距離空間としての通常の位相を一般化するものになっているが、しかし別な距離空間が同じ一様構造を持つことがあり得る(自明な例は、距離函数をその定数倍に取り替えることで得られる)。この一様構造を用いて、一様連続や距離空間の完備性の別(だが同値)な定義を与えることもできる。距離を用いれば、異なる一様構造が同じ位相を定める単純な例が構成できる。通常の位相を誘導するが、その一様構造は異なる。関しては近縁にならない。感覚としては、この例は通常の一様系と連続だが一様連続でない函数を通してゆがめられた一様系をとったものになっていると考えることができる。含むことと定義することによって、一様空間となる。上の右一様系と呼ばれる。上の左一様系も定義される。歴史編集アンドレ・ヴェイユが1937年に一様構造の明示的な定義を与える以前は、一様概念は完備性同様に距離空間に付随するものとして扱われていた。Générale』では近縁系を用いた一様構造の定義が与えられ、またジョン・テューキーは一様被覆での定義を与えた。ヴェイユはまた、擬距離の族を用いた一様空間の特徴づけも与えている。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。