これは、「1回にリンゴを2個ずつ減らす操作を3回行う前」と考えてイメージしてみると、3回前にはリンゴがAと比べて6個多くて計12個あったということで、何となく分かったような気がする。+6で私的にはOKだ。すべての組み合わせが出尽くしたと思う。整数出ないときには、どう考えるのか?」という話はあるだろうが、例えば、「今回のような計算を数多く行って、その平均値を取った」と考えれば良いのではないかと思う。強引で要領の悪い説明になってしまったが、裸にはならないが、「ユリイカ」という気持ちが少しある。ここまで付き合ってくれた方々、ありがとうございました。分数で割る話また訳の分からないタイトルで、恥ずかしい限りです。「分数で割る計算を行うとき、どうして分子と分母をひっくり返した数(=逆数)を掛けるのか?」という話です。いわし雲さん、頭お元気?」と言われそうですが、ひょっとしたら私と同じような疑問を持っている人が1人くらいいて、その人のもやもやが解消されるかも知れないと思い、投稿します。これは、先日ふと浮かんだ疑問ですが、経緯は次のとおりです。・小学生の頃、このような計算方法を習った。・教師がどのように説明したかは忘れたが、取り敢えずそうすれば答えが導けた。・そのうち、何故そうなるのかという疑問が膨らんだ。・かなり学年が上がってから、自分なりに考えて納得できた。・数十年の齢を重ねた今となって、再び疑問を持った。・当時、自分がどのように考えて折り合いをつけたか忘れた。要するに、自分が進歩していないとも言える。それで、最近時々考えてみたところ、数学的には厳密ではないが、何となく分かったような気がしてきた。前提とか条件と言うのが良いのかどうかよく分からないが、次のことだけを公理のように無批判に認めることとした。割り算と分数は等価である。分数の分子・分母に0以外の同じ数を掛けても、同じ値になる。その他として、3「÷0」や「分母が0となる分数」は、意味がないので考えない。「割り算と分数は表現方法が違うだけで、同じものである」という意味で使っている。2は、通分や約分のときに出てくる計算のイメージ。◑の黒い部分の面積は、円全体の面積の1/2だが、例えば円を12分割したとき、円い時計の文字盤のイメージで考えてみると、6時という時刻には6/12となって、1/2と同じものとなるという感じ。我ながら、いい加減な説明だと思う。「分数で割るということは、分母が分数となっている分数(=複分数)となって、その分母にある分数の分母を、全体の分数の分子・分母に掛ければ、結局、元の分数の逆数を掛けることになる」ということのようだ。2×3/2となるので、結局、初めから逆数を掛ければよいということが分かった。一応納得できたが、徒労感が強い。π(パイ)などの無理数でも、iを含んだ複素数でもOKだろう。そこで、また余計なことを思いついてしまった。(マイナス)×(マイナス)→(プラス)は、どのように理解すればよいか?学校では、「とにかく、そう覚えろ」という強引な教え方だったと思う。自分なりに納得できるアイデアが思いついたら、また投稿します。囚人のパラドックスどういう訳か急に、昔読んだ「囚人のパラドックス」を想い出した。本当に自分でも大丈夫かなぁ、と思ってしまう。別に面白い話でもないし、記事にすることには躊躇いがありましたが、自分の備忘録のつもりならいいかな、と思い、少しだけ書いてみます。学生の頃、年に何回かマーチン・ガードナーやその他のパラドックスやパズルを集めた本が刊行されていたのですが、時々読んで、頭を悩ましていました。「囚人のパラドックス」もその中にありました。知っておられる方もいると思いますがが、大体次のような話です。例によって記憶が正確でないのと、私流に勝手にアレンジしていますので、念のため。(私の頭の中のイメージでは、砂漠の中の刑務所なんですが)死刑を待つ囚人と看守の会話。「死刑の執行」という言葉は私は嫌なので、勝手に「実行」と言い換え、「実行」の時間を10時~15時と設定しました。看守が実行日を決めるのはおかしいと思いますが、看守は実行日を決める権限のある人の言葉を代弁していると考えてください。看守:囚人に向かって言った。『1来週の月曜日から土曜日のいずれかの日に実行する。2いずれの日に実行されるか、あなたに事前に予測できない日に実行する。この1、2を「前提」と呼ぶことにします。面倒くさくてごめんなさい。これを聞いた囚人は、『あなたは、実行することができない』と言った。理由は、『もし、土曜日に実行するのであれば、金曜日の15時過ぎに実行日が予測できるので、実行は土曜日ではない。同じ理由で、実行日は金曜日ではない。『そのように次々と考えていくと、結局、あなたは実行することができない』というものであった。囚人は予測しない、ある日に実行されてしまった。私は、予測する時点が異なるので、そうなってしまうのかなと思いましたが、囚人の言うことにも一理あると思っていました。囚人の推測を今一度考えてみます。確かに金曜日の15時過ぎまで実行がなされないと、土曜日の実行が予測されるので前提が破綻するのですが、よく考えてみると、土曜日に実行されてもされなくても、金曜日の15時過ぎの時点で前提は破綻してしまいます。囚人の推測が当たっていてもいなくても、破綻しています。いうことは、前提そのものに問題があるのでないかと考えます。思っていましたが、私の勝手な解釈による新説?ですが、1は看守が自ら決定し行えることですが、2は看守がコントロールできない事項であるからでないかと考えます。囚人の推測については、看守を始め他の人が、その推測が非論理的だと思おうと思わなかろうと、看守がコントロールできない事項であり、当たってしまうことがあり得ます。その場合、前提は破綻します。前提を変えて、1来週の月曜日から土曜日のいずれかの日に実行する。2実行は晴れた天気の元で行う。した場合、一見もっともらしいのですが、2はコントロールできることではなく、毎日雨が続くと実行できなくなり、前提が破綻してしまいます。いうことで、コントロールできないことを前提にしたために、論理的な矛盾と見える事象が現れたのかなと思いますが、違ってますかね。ところで、記事を書いていると何故か、アルベール・カミュの「異邦人」の中で、ムルソーが殺人の動機を「太陽が眩しかったから」と言ったことを想い出しました。前回の記事を書いていた時に思い付いたんですが、長くなりそうなので省略したものがあります。それは、「一日の最高気温」についての話です。小学校の中学年の頃から好奇心が強くなり、「子どもなぜなぜ百科」(正式な書名ではありません)などの、学校に置いてあった本を読むのが好きでした。色々なことが分かり始めた子どもの素朴な質問に、分かり易く答えるというスタイルの本だった。数式などは、もちろん出て来ない。印象に残っているのは、次のような質問と回答でした。『回答:太陽からの光で地表が温められ、その熱が空気中に伝わって気温が上がります。天気の変化や急に冷たい空気が入って来ることがなく、天気の良い日であれば、普通、おっしゃるように太陽が一番高い位置にある12時頃が、太陽からの光が通り過ぎる空気の層が一番短いので、途中で空気中の気体の分子や塵で反射や散乱されずに地表に届く光が余り減らず、届く熱量が最大になります。空気は熱を伝えにくいので、一日の最高気温は少し時間がずれた14~15時頃となります』というものだった。『なるほど、そういうことなのかな』と思った。少年漫画雑誌の質問欄や、新聞の子ども欄でも、年に何度か同じような質問があり、同じような回答が繰り返されていた。ところが、相当の年月を経たある時、上記の質問と回答を踏まえた上で、別の新たな回答が現れた。『新たな回答:上記の説明では、前半は正しいのですが、いくら空気の熱伝導率が低いといっても、熱が伝わるのにそんなに時間がかかる筈がありません。あるなら、日の出前の気温が一日で一番低いという事実は、どのように説明するのですか?日の出から2~3時間後に最低気温が記録されるということは余りないでしょう?12時以降もまだ、太陽から地表に届く熱量の方が、地表から失われる熱量より多いために、気温はその後も上昇を続け、14~15時頃に最高気温に達するのです。夏至の頃よりも7~8月頃が暑いのは、日本の大部分の地域で6月頃は梅雨で雨や曇りの日が多く、その後は南から暑い太平洋高気圧に覆われた晴れ日が多いためだと考えられます』というものであった。こちらの説明の方が私には納得できる。話は違いますが、ダイエットについても、病気・内臓等の代謝・精神的な要因などを考慮しなければ、入るエネルギーを減らして、出るエネルギーを増やす方向の行動をすれば良いのだと思う。要するに、食事のカロリーを減らし、運動などをして消費カロリーを減らせば、体内に蓄積されるエネルギーが減少して体重が減るということなのでしょう。この話と同じようなものだと思います。ニュートンの運動方程式が有名ですが、ラグランジュの運動方程式というのも物理学の業界にはあり、表現方法が異なるだけで同等の内容ということらしいです。この質問についても、回答が1つだけではなく、別の視点からも説明できるかも知れないとも思います。水と水素結合また難しいタイトルを付けてしまいましたが、化学に詳しい訳ではありません。いう言葉をどこかで聞いたことがあって、印象に残っているというだけです。申し訳ありませんが、本日はあまり検証せずに書きますので、正確性に問題があるかも知れません(またかよ)。水素結合は水だけではないようですが、ここで述べるのは水の水素結合の話です。三態のいずれかの状態にあることは、小学生の頃に教わった気がします。通常この順に密度が高くなり、簡単に言うと重くなります。ところが、私達に身近な「水」は、固体になると液体よりも軽くなり、「氷」は「水」に浮きます。考えてみると不思議ですが、「水素結合」により体積が増えるから軽くなるということらしいです。そんなことになっているのかは、私には分かりません。ここからはさらにいい加減で、私の勝手な考えになります。水が水素結合しなければ、寒い地域の川、湖や海の浅瀬では、底から氷始め、氷に穴を開けて行う山中湖などのワカサギ釣りはできなくなります。そんなことより、数万年~数100万年単位で訪れて、マンモスなどを絶滅させたと思われる氷河期には、動植物の生存はさらに厳しいものとなったと思われ、お魚さんもエサは乏しく、捕獲されやすくなって絶滅したかもしれません。氷の上を動物が移動することもできません。書くつもりでしたが、思い出せません。天文台の職員が「偶然が重なって私達が存在している」という話を講演会で行い、新聞にその要約が載ったことがあります。彼によると、次のような偶然が重なって生物が生き延びることができ、人間が存在しているという主張だったと思います。・太陽から程良い距離に地球が誕生した。・生命に必要な水が大量にあった。・地磁気によりバンアレン帯ができ、有害な宇宙線が減少した。・大気圏、オゾン層が形成され、有害な紫外線が減って生物が陸で生活できるようになった。水素結合は載っていたかどうか分かりません。確かにそういった偶然が重なったように見えますが、偉大な意思がそうさせたと思う人もいるでしょうね。ニュートンならその言動から考えて、「神の意思が働いた」と言うと思います。・気化熱の放出でさらに急激に地球の温度が下がって現在の地球に近い姿となり、大量の雨が海を作った。おおむねそうだと思いますが、海ができるほど大量の雨が降ったとは考えにくい。ある外国の学者が言った「地球の近くを通過した水惑星から大量の水が地球にもたらされた」という説の方が正しいのではないか、と私は思っています。生命宇宙起源説にも通じるし。何か根拠があっての話ではありません。GDGDになってしまいましたが、氷が水に浮くのは不思議だということと、そこから連想して少し地球の歴史を考えてみた、という話でした。今風に言うとリア充でないためか、昔のことばかり思い出してしまいます。先日「中秋の名月」という言葉を聞いて、昔読んだ随筆を思い出した。ある小説家が「今年の中秋の名月は、仏滅だった。」と小説に書いたところ、これを読んだ友人の小説家が、「おい、中秋の名月の日は、毎年『仏滅』と決まっているんだぞ」と言ったという話です。当時はそれを確認するのも面倒だったので、「そうなのかな?」と思っただけでしたが、最近netで調べてみると本当でした。旧暦の8月15日が「中秋の名月」になるらしく、今年は9月15日だそうです。「こよみのページ」さんによると、旧暦の月と日を足して6で割った時の余りが5になると『仏滅』になるということでした。これは6の剰余系の話ですね。余りが「0」なら『大安』となるそうです。「こよみのページ」さん、ありがとうございました。いう六曜は、結婚式やお葬式以外では余り関係ないと思っていましたが、以前、中堅の建築会社の社長さんと次回の打ち合わせの日を決めるときに、「その日は大安ではないですね?」と訊かれて、「?」となったことがありました。「この時期、大安だと関係会社の起工式などに呼ばれることがあるので、できれば避けて欲しい」とのことでした。世間知らずの私は、「いろいろあるんだなぁ」と思った次第です。次は13日の金曜日の話。毎年必ずあるものなのでしょうか?結論から言うと、「13日の金曜日」は毎年あって、閏年でも同じです。確認の方法の1つは、前年の12月31日を「0」、1月1日を「1」と数えていって、毎月の13日が何番目になるを見ていくことです。何番目になるかを調べて、それを7で割ったときの「余り」を見てみると、0~6まで全て出てくることから確認できます。7の剰余系ということですが、もちろんこんなアイデアは私には思いつきません。何かで読んだことがあるだけです。「いいえ、構いません」と妙な会話をしたことがありましたね。50人位の参加者がいる研修に行ったとき、「次の時間は、7つの小グループに分かれてミーティング形式で研修を行います。」ということになって、参加者名簿に順に番号を振ってあるが、小グループ名が書かれておらず、どうやって分けるのだろう?と思っていたところ、「各自の番号を7で割って、余りが0の人はこの辺に、1の人はこの辺に、・・・と、各自の机と椅子を持って来てください」と言われた。上手い方法だが、計算を間違えたりすると恥ずかしいので、最初からグループ名を書いておいてくれればいいのに、とも思った。[おまけのクイズの答え]「野球場で組み、車の中で上がると困るものは何か?」という、なぞなぞでしたが、あまりいい問題とは言えず、掲載したことを少し後悔しています。答えは「バッテリー」でした。「円陣」までは考えたという人がいたら、お疲れさまでした。※一部字句を修正しました。還暦ともやもやあらかじめ断っておきますが、「還暦の歳になって、もやもやした。」という話ではありません。年齢の話ではなく、「十干十二支では120通りの組み合わせがある筈なのに、何故120年でなく60年で十干十二支が元に戻るのか」という、今年1月の「平行四辺形ともやもや」の記事のような言わば数学的な話です。wikipediaによると、次のように説明されています。『10と12の最小公倍数は60なので、干支は60回で一周する。干支には、すべての組合せのうちの半数しかない。一覧01〜60で5回ある「子」のうちに、「甲子」はあるが「乙子」はない。これは、10と12に共通の約数2があるので、干支の周期が積の120ではなく、最小公倍数の60になるからである。』(wikipedia干支「概説」から抜粋)数学的センスのある人なら、「なるほど、それはそうだ。」で終わりでしょうが、私は半分くらいしか分かった気がしません。10=2×512=2×2×3として、昔ながらの方法で最小公倍数を求めると、2×2×3×5=60で、確かに公約数も2となっている。それぞれ順番に1~10、1~12に対応させて、例えば西暦を代入して「戊辰」なら「55」と表示されるような方程式を作れば、日本史の試験などで余白でちょこちょこっと計算して「戊辰戦争は1868年」と直ぐに分かって便利なのではないか、また逆に「十干十二支」の数値を代入すれば、直近では何年がその年に当たるのか分かって良いのではないか、と思った。考えてみたが、うまい方程式は思いつかない。すると、そんなことを考えても無駄だと思った。1つ目は、netで調べれば直ぐに分かることだし、「十干十二支」は早見表を見た方が早いということ。2つ目は、「戊辰戦争は何年か?」という質問は、単なる記憶力についてのテストであり、日本史の試験問題だとすれば愚問だということ。個人的には、年号よりも幕末から明治維新に至る過程で、例えば、何故「五稜郭」に立て籠もって政府軍に反攻して敗退した「榎本武揚」が明治政府で大臣を務めたのか、ということの方に関心がある。3つ目は、肝心なことを忘れており、実は私は「十干」を覚えていないということ。甲・乙・丙・丁くらいまでは分かるが、その先は覚えていないし、読み方も「コウ、オツ、ヘイ、テイ」の音読みで、訓読みは分からない。自分の生まれ年の十二支は分かるが、十干は覚えていない、というか覚える気がない。運勢に関心のある人は、旧暦で考えるのか、節分で区切るのかは知りませんが、「十干十二支」は直ぐに分かるのでしょう。プロフィールを見ることができますが、何故か「血液型」の欄があって、外人選手の場合、殆ど「不明」となっています。血液型による性格診断、相性などを信じている人、あるいは気にしている人が多くて時々話題にもなるので、日本人は自然に覚えてしまいますが、外国人は殆どの人が血液型など気にしていないんだろうなぁ、と思います。私も、普通のABO式の血液型なら覚えています。十二支の方は(2)を順番に覚えているだけで、早生まれの関係で同級生に十二支が1つずれている人がいることから、自分の十二支の前後は直ぐに分かりますが、その他の場合は指を折って数えることになります。脱線ついでに、「えと」に関わることを思い出しました。まではよかったんですが、「『えと』は?」と訊かれ、何故か少しムカッと来て「警察官みたいなことを訊くんですね」と皮肉を言ってしまいました。念のため言っておきますが、私は警察官に呼び止められるようなアブナイことは、多分殆どしたことがないと思います。ついでに言うと、私が「私」という言い方を多用するのは、自己主張が強いためではなく、誤解をできるだけ避けたいという気持ちからです。人と話をするときに、余り「私」、「私」、と言うのも聞くのも嫌なんですが、日本語は主語がなくても意味が通じて便利だと思う反面、対話の場面でさえ誤解を招きやすいので、一方的な記事などでは、できるだけ主語に気を付けるようにしています。それで、少しだけ話を戻してみると、確かに普通、自分の生まれ年の「えと」はみんな知っているし、そこから離れた「えと」は即答しにくいので、生まれ年の確認するのに「えと」を訊くのは有効かも知れません。何回か書き直しながらこの記事を書いていると、だんだんと十干十二支の周期が60年というの意味が分かってきた。それで、当初書こうとしていた内容と結末が変わってしまいました。それぞれ1つずつ進んで行き、10年目は癸酉。11年目は甲戌となって十干の方は「甲」に戻り、12年目に乙亥で十二支は一巡し、13年目は丙子となって十二支は「子」に戻るといった具合で、12年で十二支が一巡するごとに、十干は2つずつ前回より進んで行くということですね。年後には、十干も元に戻って「甲子」になるということことですか。還暦の意味が分かったような気がしました。別の言い方をすれば、十干と十二支との間には関数関係があって、それぞれ独立した値は取れないということが実感できたということで良いのでしょうか。ここまで付き合って読んでくださった方、ありがとうございます。[おまけのクイズ]何かで見たことがあるのですが、次の□に入るアルファベットが分かりますか?私は分かりませんでした。10分間考えても分からなかったら、脳味噌のエネルギーの浪費になりますので、それ以上考えるのは止めてください。回答を知ると、腹が立つと思いますから。回答は次回の予定です。平行四辺形ともやもやお正月とは全く関係のない話です。中学生の頃、「力の合成」というものを習いました。物体に2つの方向に違う力をかけたら、物体はどの方向にどれだけの力を受けるか、というような話です。ご承知のとおり、最初の2つの力それぞれを、その方向に力の大きさに応じた長さの矢印で描いて、それを各1辺とする平行四辺形を作り、物体から平行四辺形の対角線を結んで描いた矢印が、合成された力の方向と大きさになるというものです。友達は誰も気にしていませんでしたが、私には「何で平行四辺形が出てくるんだろう?」と、もやもやした気持ちが残っていました。その後、ベクトルというものを習って、x方向、y方向の成分に分けて考えれば平行四辺形になることが分かり、もやもやした感じも解消したかに見えましたが、今度は「何故ベクトルを使わなければならないのか?」という疑問が湧いてきました。当時数学では私には殆ど解くことができないベクトルの設問がいっぱいあり、それはそれで仕方がないのですが、「何故『力の合成』でベクトルが出て来ないといけないのか?」と思ったという話です。いう粘着質というのか、他人が気に掛けないことを気にする言わば損な性分は、この頃既に醸成されていたようです。上記の問題は、後年解決しました。自然科学では、ある事象や現象があって、それを説明する理論が作られ、実験や観測(天文学など)で確認するというのが一般的です。この順番が前後することがあっても、最終的には実験や観測で確認し、世界中で誰が実験等を行っても同じ条件下なら同じ結果になる、ということが当然に要求されます。大袈裟になりましたが、「力の合成」の話も、先に現実の事象があって、それを説明するのに数学の世界にある「ベクトル」という奇妙な「量」というのか「概念」というのか、そういうものを使うと、ちゃんと説明ができて、確認できるというだけのことだと分かりました。Be」のところで書いた「変えることができないものは受け入れなさい」ということと似ているような気がします。「あなた(私)がいくら異論を唱えようと、そうなっているんだから、しょうがないじゃないか」と言われているような感じです。当時から私は我儘だったのでしょうね。余談ですが、最近「○○アナリスト(analyst)」という人が増えたような気がします。人は「解析」と言い、化学関係の人は「分析」と言っています。新聞や一般書では、普通の記事では以前は「分析」が殆どだったのが、最近では「解析」も増えてきている感じがします。ところで、リハビリを手助けしてくれる職種としてPT、OT、STなどがあります。therapist)は理学療法士と呼ばれ、関節が固まらないようにベッドの患者の足を動かす運動をしたり、しっかり歩くことができるように補助をしたりと、患者の身体能力の維持向上を目指しているのだと思います。私はかなりの期間、その理学という名称から電気治療器のようなものを駆使する仕事かと思っていました。物理学のことを英語で「Physics」と言いますが、その形容詞形の「physical」には「物理学的な」という意味のほかに、「身体の」という(多分本来の)意味があります。プロ野球の新人選手などは、「シーズンオフにはフィジカル面を鍛えたい」などと言いますね。物理学の勉強をする訳ではないでしょう。「理学療法士」と翻訳したことには、故意か偶然かは知りませんが、少し違和感があります。@juinppm_avril読者メッセージを送るブログ村投票Seesaaブログ。