命題1.3.1.3平面(E,V2)上のアフィン変換はベクトル空間V2上の正則な線形変換を誘導する。groupと呼び、Affine(E)と書く。geometryとはアフィン変換群の構造とアフィン変換で不変な性質について調べることである。平面上の並進はアフィン変換であり、並進群V2はアフィン変換群Affine(E)の正規部分群であり、原点Oを固定するアフィン変換全体のなす固定部分群は一般線形群GL(V2)である。アフィン変換群の構造アフィン変換群Affine(E)は、並進群V2に内部自己同型によって一般線形群GL(V2)を作用させた半直積に同型である。GL(V2)アフィン変換を座標を使って表現する。平面(E,V2)において正規直交性をもつアフィン標構(O;e1,e2)を固定する。V2とし、座標原点と基底の像を座標表現する。e2任意の点Pを与え、その点Pと像f(P)を座標表現する。e2このとき、アフィン変換は次のように行列表現される。p1'p2'1=a11a12t1a21a22t2001p1p21これによりアフィン変換群Affine(E)は次のように行列表現できる。RここでGL(2,R)は実数上の(2,2)正則行列全体のなす群である。同じアフィン変換によって、アフィン標構(O;e1,e2)を座標変換する。e1'=φ(e1)e2'=φ(e2)O'=f(O)とおくと、(O';e1',e2')は一般には正規直交性を満たさない。p2')とすると、次が成り立つ。p1p21=a11a12t1a21a22t2001p1'p2'1これによりアフィン変換を与えたときに、それによる図形変換と座標変換は互いに逆変換になっていることがわかる。geometryと呼ばれる。transformationとは直線図形を合同な直線図形に写すもののことである。平行四辺形は平行四辺形に写すから合同変換はアフィン変換である。Eが合同変換であるためには次が必要十分である。E命題1.3.2.5合同変換から誘導される線形変換はノルムと内積を保存する。groupO(V2)である。合同変換群Cong(E)は、並進群V2に内部自己同型によって直交群O(V2)を作用させた半直積に同型である。}とおくと、合同変換群Cong(E)は次のように行列表現できる。平面上の相似変換とは直線図形を相似な直線図形に写すもののことである。相似変換は「角度を保存すること」そして「線長比を保存すること」によって特徴付けられる。transformationであるとは、次の条件を満たすことである。