武ユークリッド原論第V巻の比例論を集合論の言葉で書き直す。集合Mの2つの元a,bについて加法a+b∈Mが定義されていて次の性質を満たすとき、Mは半加群semimoduleであるという。集合における任意の2元の関係≦が次の性質を満たすとき、その関係を順序orderまたは半順序semiorderという。bと書くことにします。semimoduleであるという。順序半加群Mにおいて、次が成り立つ。(n個の和)と定義することによって自然数Nを作用させることができます。集合Qが量quantityであるとは、順序半加群であり、さらに次の性質を満たすことをいう。c∈Qが唯一つ存在する。量Qがアルキメデス的Archimedeanであるとは、全順序であり、さらに次の性質を満たすことをいう。以後、アルキメデス的量Qについて考えます。断らない限り、量あるいは自然数は零で無いものとします。}の元(a,b)を単なる順序対ではなく、比ratioと考えるときにa:bと書くことにします。比とは量を比較するために導入される概念です。relationという。c:dについて比例関係∾を次のように定義する。c:dが比例するpropotionalとは、任意の自然数m,nに対して次が成り立つことをいう。c:dが比例するとき、a:b∾c:dと書く。以後、比例関係の条件を次のように略記します。比例関係は同値関係である。nbとなるが、これは仮定に矛盾する。同様にして残りも示すことができる。maは次の性質をもつ。命題V-4二つの比a:b,c:dと任意の自然数m,n∈Nについて次が成り立つ。二つの比a:b,c:dについて次が成り立つ。二つの比a:b,c:dについて、a:b>c:dすなわちa:bがc:dより大きいとは、ある自然数m,nが存在して次が成り立つことをいう。上の定義により、比例関係による同値類の集合における順序が定まり、この順序により比例類の集合は全順序集合となる。証明まず最初にこの順序が比例類に対して定まっていることを示す。c:d∾c':d'ならばa':b'>c':d'が成り立つことを示す(命題V-13)。nd'が成り立つから、a':b'>c':d'である。