2分ツイートシェアはてブLINEPocket前回の早稲田教育の問題に引き続き、リハビリです。今日は、2018年の東京慈恵会医科大の数学です。面倒な部分は計算しない!(1)を解くよ(2)を解くよ一旦整理するよ工夫するよ振り返ってみると問題n重合成関数ですね。n重の合成関数が出てくる問題は、とにかくしんどいイメージしかありません。実際にこの問題もそうでした。地道にやっていって工夫・法則性を見つけていくしかなさそうですね。商の部分を計算しないで済むように設定しましょう。いった工夫によって簡略化することで、問題全体の見通しがよくなります。(整式に対して合同式を適用するのとやってることの本質は同じです)(1)を解くよさて、こうすれば(1)は余計な計算を省いて解けますね。具体的に代入してを求めましょう。(画像では紛らわしいのでを省略してある部分があります)(2)を解くよはい、(2)です。(1)までは、なーんて事ありませんが、(2)は私大医学部って感じの、面倒な問題ですね。楽に攻略できるように、工夫しながらやってみます。極限を求めるわけだし、パッと見について「はさみうちの不等式」を作れそうな手がかりもない。(なんか実際は挟めるらしいぞ)そこで、漸化式を立ててを直接求めてみましょう。ついての余りをで表せれば、そこからについての漸化式が得られそうですね。ここで、についての計算をするわけですが、ここでって具体的にどうやって表すのよっていう問題になってくると思います。さっき、というテキトーな整式を定義したおかげで、は次のように表せることがわかります。置いといてよかったー。心配なく漸化式を立てに行きましょう。さあ、これでについての連立漸化式が立てられました。これを解けばいいワケです。今回大事なのはですから、まずはこちらをみてみましょう。漸化式、つまりが満たすべきルールというのは次のようになります。漸化式の解き方って別に全て暗記するものじゃないんですね。等差or等比(もしくはそれに近い)形にすることで、そうすれば、nから順々に遡って、1まで辿っても複雑な形になりにくいから、解けるワケですね。今回は、なんとなく「等比」っぽくないですか?てことで、このまま遡ってみましょう。ほら、なんかそれっぽい(イケそうな)形になったでしょ?ということは、の一般項を求めるためには、の一般項が分かればいいということが分かりますね。整理するよさて、ここまでの議論を一旦整理します。求める上で、分かったことは大きく次の2つ。面倒な計算になってしまって大変です。そこで、今回は議論を簡単にするために2つのツールを導入します。」を簡単な形にするために、もう一つは、「n-1個の積」を簡単な形にするために。このツールを導入した上でもう一度議論を整理します。求めたいのはで、その上でわかっていることは、はい、ここまで簡単に表すことができればもう終わりです。あとはの一般項を求めて、そこからを求めて、を求めるという流れですね。ここは簡単な作業なので省略します。以上から、指数部分は負の無限大に飛んで行きます(指数関数の方が強い)ので、こうなって終わり。「指数関数の方が強い」ところの説明については、について二項展開してテキトーに不等式作ってください。