mtとなり矛盾である。c:d>e:fならばa:b>e:fを示す。ndとなるが、このとき、me≦nfである。ndのいずれかが成り立つ。命題V-8量a,b,c∈Q+について次が成り立つ。命題V-9量a,b,c∈Q+について次が成り立つ。c:a∾c:bに矛盾する。命題V-10量a,b,c∈Q+について次が成り立つ。ncとなるから、ma>mbが成り立つ。このことからa>bがわかる。次も同様にして示すことができる。命題V-12量a,b,c,d∈Q+について次が成り立つ。n(b+d)が導かれる。命題V-14量a,b,c,d∈Q+においてa:b∾c:dならば次が成り立つ。命題V-15量a,b∈Q+と任意の自然数mについて次が成り立つ。命題V-16量a,b,c,d∈Q+について次が成り立つ。ndであるから、a:c∾b:dが成り立つ。命題V-17量a,b,c,d∈Q+について次が成り立つ。命題V-18量a,b,c,d∈Q+について次が成り立つ。命題V-19量a,b,c(<a),d(<b)∈Q+について次が成り立つ。b:c∾e:fならば次が成り立つ。b:c∾d:eならば次が成り立つ。b:c∾e:fならばa:c∾d:fが成り立つ。lfとなり、定義よりa:c∾d:fである。b:c∾d:eならばa:c∾d:fが成り立つ。ne:nf命題V-16よりb:c∾d:eの交代比は等しい。nfとなり、定義よりa:c∾d:fである。s:b∾t:dならば(a+s):b∾(c+t):dが成り立つ。証明s:b∾t:dより、命題V-7系からb:s∾d:tである。(c+t):dである。命題V-25量a,b,c,d,s,t∈Q+において、aが最大、dが最小でありa:b∾c:dならばa+d>b+cが成り立つ。Archimedeanアルキメデス(287-212BC)は、エウドクソス(408-355BC?)やユークリッド(365-275BC?)から学んだ世代なのでこの表現は適切とはいえないが、アルキメデスが著書でよく使っていることから、現代ではこう呼ぶことが慣例となっている。propotional。