ように、「滑らかな」構造を持った群をリー群という(厳密な定義はリー群の項目を参照)。ように行列からなるリー群を行列リー群あるいは単に行列群という。本項で登場するリー群は以下の行列群に限られる。そこで本項ではリー群の一般論を展開するのは避け、以下の行列群に限定して話をすすめる。U=1\}}...(G3)ベクトル空間VがCnである場合は、U(V)、SU(V)の事をそれぞれU(n)、SU(n)と表記する。{g}}}の元をG上の無限小変換と呼ぶ。[A,B]=AB-BA}に関して環をなすからである。A=0\}}...(G7)である。so(3)が上述した形になるのは以下の理由による。t}\right|_{t=0}=0}を満たす為である。u(V)、su(V)が上述の形になる事も同様の方法で証明できる。ここではVが有限次元の場合を想定したが、無限次元のヒルベルト空間の場合も同様の事が成立する。それぞれSO(3)、U(V)、SU(V)の元である。関しては上述の性質を更に具体的に書き表す事ができる。}}...(G13)ここで「×」はクロス積である。{h}}}をG、Hのリー環とする。{h}}}はso(3)、u(V)、su(V)のいずれかである)。H}をGからHへの可微分な準同型写像とする。{h}}}...(G14)により定義すると、この写像はwell-definedになる。この写像はリー環としての準同型写像になることが知られている。(B)]}...(G15)である。空間の回転に対する対称性として導出される[1]:p73。導出するため、回転行列によって波動関数がどのように変化するかを調べる。