^{3})}上のユニタリ表現という。}}はL2(R3)上のエルミート演算子になる。}}と表記できる事を以下のように確認できる。{L}}_{y}}が従う。(R)^{-1}}である。粒子の位置を表す(x,y,z)による3次元空間上の回転対称性として定義できる。それに対しスピンはそのような定式化ができない。様々な物理実験から、スピンは(x,y,z)とは独立な粒子の第四の内部自由度である事が知られているからである。V_{s}}を考える必要がある[4]。次元の複素計量ベクトル空間である。その粒子のスピン量子数という[2]:p384。元をスピノールという。整数になるときその粒子をボゾンという。V_{s}}を二通りの方法で表記する。そこで次にこの二通りの表記方法を紹介する。_{j}}...(B1)という形に成分表示できる。_{j}(x,y,z)}はL2(R3)の元であり、σjはVsの元である。このように表記すると、スピン(を表すスピノール)σjが(x,y,z)とは独立の第四の内部自由度である事がわかりやすい。スピノール表示編集スピンを考慮した波動関数ψの成分表示(B1)を別の角度から解釈する。V_{s}}と定義する事ができる。_{j}(x,y,z)}によるスカラー倍である。スピンを考慮しない通常の波動関数が1次元複素計量ベクトル空間Cに値を取るのに対し、ψ'(x,y,z)は2s+1次元複素計量ベクトル空間Vsに値を取る波動関数であるとみなせる。スピンを考慮した波動関数ψを、Vsに値を取る波動関数とみなしたものを、ψのスピノール表示という。多くの物理の教科書では、Vsの元を成分表示した形で紹介している。'_{s}(x,y,z)\\\end{pmatrix}}}と成分表示できる。通常、(何らかの軸に関する)スピン演算子に対応した固有ベクトルとする。上のエルミート演算子として定式化されている。V_{s}}上のオブザーバブルとみなす。(ここでidは恒等写像である)。V_{s}}上のオブザーバブルとみなす。_{j})}と同一視する。対する無限小回転に対する演算子として定義する事ができる。置き換えただけではスピン角運動量演算子は定義できない。上のユニタリ表現が必要となる。上の既約なユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。上の既約なユニタリ表現は存在しない。半整数の場合に対してスピン角運動量演算子を定義する事ができない。この問題の解決方法は2つあり、後述するように2つは本質的に同値である。考えるというものである[2]:p369。上の射影ユニタリ演算子と呼ぶ。(V_{s})}を用いる。上の既約な射影ユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。よってユニタリ表現の代わりに射影ユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。本稿では、射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義の詳細は述べない。これは射影ユニタリ表現を使ってスピン演算子を記述している物理の教科書は少ない為である。述べたように、射影ユニタリ表現による解決方法は後述するもう一つの解決方法と本質的に同値なので、もう一つの解決方法を利用したスピン角運動量演算子の定義から射影ユニタリ表現を利用したスピン角運動量演算子の定義を導くことができる。射影ユニタリ表現による解決方法は、物理的に意味を持たないフェーズで同一視した事を除けば、他のオブザーバブルと類似した形式でスピン角運動量演算子を記述できるため、後述するもう一つの解決と比べ、その物理的意味がわかりやすい事が利点である。用いるというものである。そこでまず、スピン群の定義と性質を紹介する。次元スピン群とは以下の性質を満たす連結な行列群の事である。全射となるものが存在する。...C1ここでSO(n)はn次元回転行列のなす群である。_{3}(U)}と書くことができる。より回転が記述可能な事を意味する。ユニタリ表現を考える。上の既約なユニタリ表現が(同型を除いて一意に)存在する。ユニタリ表現を利用する事でスピン角運動量演算子が定義可能である。上述した2つの解決方法は、本質的に同値である。射影ユニタリ表現が自然に1対1対応する為である。上の射影ユニタリ表現とすると、(適切に同型なものと置き換えれば)以下の図式が可換になる。議論により、Spin(3)=SU(2)を用いる事でスピン角運動量を定義できる事がわかった。(3)}などを具体的に書き表す。本節ではVsとπsに関しては最も重要なs=1/2の場合を述べるに留める。それ以外のsに関しては後の章を参照されたい。)~:~U^{*}U=I\}}の部分集合である。上のユニタリ表現になっている。集合spin(3)=su(2)を用いるので、本節ではその具体的形と基本的な性質を調べる。A=0\}}...(L1)である。実3次元分の自由度を持った計量ベクトル空間であるとみなせる。2}{\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}}....(L4)により定義すると[3]:p39-40[6]:p31,73、(L1)、(L2)より次が成立することがわかる。上の正規直交基底である[3]:p39-40[6]:p31,73。計量ベクトル空間として同一視できる。AB-BAは交換子積である。|^{2}=1\right\}}...(X1)と書き表すことができる事が簡単な計算から従う[3]:p38[6]:p65。}^{2}=I}がわかる。}}...(X3)が従う[6]:p28-29。})}の形で表記可能である。−Iであればこのように表記できるn、θは一意である。3次元の計量ベクトル空間なので、R3と同一視できる。^{3}}の元である事が簡単な計算からわかる。^{3}}と定義するとΦ3(U)が(L2)で定義された内積と空間の向きを保つ事を簡単な計算で確かめられる。Φ3(U)は回転変換であるので、Φ3(U)∈SO(3)である。(3)}が定義できた。Φ3の具体的表記は後の節で述べる。{so}}(3)}...(D1)により定義する。}}...(D2)を満たす[3]:p43[6]:p73。_{3})_{*}{\begin{pmatrix}-iz&-y-ix\\y-ix&iz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{pmatrix}}}である。{su}}(2)}...(D3)は同型写像である。(t)})}という形で表記できる。=(X_{1},X_{2},X_{3}){\begin{pmatrix}0&-x_{3}&x_{2}\\x_{3}&0&-x_{1}\\-x_{2}&x_{1}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}}である。ここで[A,B]=AB-BAは交換子積である。{x}})}...(E1)である。(X4)より、Spin(3)の元は何らかのθ∈[0,4π]を用いて、exp(θXx)の形に書けるので、上式によりΦ3の振る舞いを完全に記述可能である。}))}であるので、スピン群の定義(C1)で述べた、Φ3が2:1の写像であるという事実が確認できる。以上の準備の元、スピン角運動量を定義する。Vs上の既約ユニタリ表現とする(そのようなユニタリ表現の存在性と(同型を除いた)一意性は定理3で保証される)。(H1)、(H2)にすでに記載した。写像とする(この写像の具体的な形は(E1)式を参照)。これらの写像を図にすると以下のとおりである。}V}」はGがベクトル空間V上の行列群である事を意味する(すなわちGはVに作用する)。{so}}(3)}である。}}は3次元空間上の無限小回転Fnに対応する演算子とみなせる。}}を、nを回転軸にもつスピン角運動量演算子と呼ぶ[3]:p50-51,60[7]。_{s})_{*}(X_{3})\end{array}}}となる。次に回転軸の異なるスピン角運動量の関係を見る。}で移り合っていたとする。_{3}(-U)}を満たすUが存在する。_{s}(U)^{-1}}という関係で結ばれる。}}とπs(U)の行列としての積である。