それぞれの規格化された固有ベクトルは、次のとおりとなる。本節では3次元スピン群Spin(3)=SU(2)のユニタリ表現について詳細に述べ、これを土台として軌道角運動量、スピン角運動量、およびそれらの和である全角運動量の性質を調べる。\}}と表記できる事が(J1)と(D2)から従う。}」は関数の合成である。\}}と定義されていた。{n}})}と表記できる。...(K1)という形で書けている事がわかる。一粒子のものの和として表記できるので、やはり(K1)の形で表記できる事がわかる。具体的に書き下す事ができる。そこで本設では、Spin(3)のユニタリ表現を具体的な形で書き下し、Spin(3)のユニタリ表現を使って(K1)の形で表記できる演算子の性質を調べる。Spin(3)のユニタリ表現編集u≧0を整数もしくは半整数とし、Wuを2u+1次元の複素計量ベクトル空間とする。V_{s}}の2u+1次元部分空間を想定している。複数粒子の場合も同様である。(W_{u})}と表記する。一般のuに対するWuとDuはW1/2とD1/2から構成できる[8]:p25-27。対称テンソル積編集Wuを構成する準備として、対称テンソル積を定義する。_{2u}}}...(M1)により定義する。{S}}_{2u}}は置換群である。_{2''u''}}の添字を入れ替えたもの全ての和を(2u)!で割ったものである。(このように定義してもwell-definedである)。2u}}の基底となる。2u}}は2u+1次元である。2u}}...(M2)と定義する[8]:p25-27。2u}}上の内積を保つ線形写像である。2u}(U)(U)|_{W_{u}}}...(N1)と定義する。{U}}(W_{u})}を意味する。この写像が、求めるべき既約ユニタリ表現である[8]:p25-27。本節では、前節で定義したSpin(3)の既約ユニタリ表現Duを用いて、オブザーバブルを定義し、そのオブザーバブルの性質を調べる。ここでiは虚数単位であり、Xnは(L6)に定義されたものである。(Du)*を具体的に書き表す。ここでIは常に単位行列Iを返す写像である。2u}=W_{u}}...(P1)とする[8]:p25-27。1}}である[3]:p50。{D}}^{u})_{*}(X_{2})}とする。e^{-}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}である。{T}}_{-}(E_{z,k})}のケースも同様に証明できる。W_{v})}は既約ユニタリ表現になるとは限らない。_{w=|u-v|}^{u+v}D^{w}}上式をクレブシュ–ゴルダン分解という[3]:p59[9]:p116。}の形式で記述できる。}は固有値j1に対応するDuの固有状態である。}の形式で記述できる。W_{v}}における、固有値jに対応するDwの固有状態である。c(u,v,w,j1,j2,j)をクレブシュ–ゴルダン係数という[3]:p60-61。値の量子自由度があるためと考え、1925年にウーレンベックとゴーズミットは、電子は原子核の周りを公転する軌道角運動量の他に、電子が質点ではなく大きさを持ち、かつ電子自身が自転しているのではないか、という仮説をたてた[10][11]。つに分裂したと考えると実験の結果をうまく説明できた。この自由度を電子のスピン角運動量と呼んだ。実際にこの仮定通りスピン角運動量が電子の自転に由来していると考えると、電子が大きさを持ち、かつ光速を超える速度で自転していなければならないことになり、これは特殊相対論と矛盾してしまう。よって提案されたものの、パウリによって否定されていた。}}}の固有値として半整数の価が許されることに注目し、この半整数の固有値をスピン角運動量とした[12]。質点として扱っても実験的に高い精度で矛盾がなく、電子に内部構造があるか(スピン角運動量などの内部自由度に起源があるか)はわかっていない。整数値をとる粒子はボース粒子であることが知られている。値と統計性の間のこのような関係は、相対論的な場の量子論によって説明できる。V=V_{s}}が有限次元であるため両者は同一である(同ページDef17.21の直前の記述)。)}と定義しているが、これはパウリ行列で貼られた空間に対してのものなので、これをsu(2)に写すと内積が本節で定義した形になる。H13は射影表現を使って定義しているので、これをスピンのユニタリ表現に読み替える必要がある。2016年12月1日閲覧。2016年12月27日閲覧。2016年12月16日閲覧。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。