形も綺麗だし、計算結果も綺麗でしょ。次は、問題そのものは難しくないんだけど、解析的に計算できない積分の式を不等式で評価するための重要な考え方を教えてくれる問題をやってみよう。\frac{1}{2}(x+1)\)を示せ。(\(k\)は自然数)。まみの、難しくない、はあまり信用できないけど、この問題は確かにやりやすいかも。(1)で示したことを(2)の\(x\)に適用して、計算できない積分式を評価するってことだね。積分関係の問題は、みたときに方針が決まりやすいものが多くって、実質正確な計算ができるかっていう勝負だからね。(1)なんて、あれで一発じゃない?そうだね。特別な不等式の活用ってやつだね。\sqrt{x}$$じゃん。引き算して微分、でもできるけど、時間節約。いろんな武器を駆使して、時間は節約していかないとね。(2)の式は、このままでは計算できないけど、計算する必要ないんだね。不等式の形になっていて、(1)を使ってことなのか。大学入試、というか高校生までは(1)みたいな誘導があって、それを使って(2)みたいな計算をすればいいんだよ。言われた通りに全部やっていればいいんだけど、大学生になったらこれを自分でやらないといけなくなる。計算できない積分の形を計算できる形に置き換えて、その値を評価するって感じでね。(2)で出てくるような式に出くわして、例えば\(k\to\infty\)のときに、それが発散しないようなことを自分で証明しなければいけないときとかだね。(1)の式を自分で思いつかないとダメってことだ。いう意味で、この問題から積分値を評価するテクニックを知るのは重要なんだ。(2)を解くことにするよ。\right)dx$$これは部分積分でいけそうだね。1$$ってことで、計算は少し長かったけどなんとか証明できたかな。ようこちゃんは計算が得意だね。物理では、積分の計算がめっちゃ、大事だもんね。大学以降になると、微積分で物理が成り立っているくらいだからね。不等式で積分が絡んだら、こんな感じで出題者が頭をひねって積分が計算できない式を「積分ができる式」に変えるような工夫をしてくれるんだよ。計算してあげたいよね。いうか、合格するためには、ちゃんと計算しなくちゃ。