物理・数学の問題に少しでも近寄れるようになるために。【質問・悩みに回答します】ブログの趣旨ホームサイトマップお問い合わせコンビニに来店する客の人数が従う確率分布を求めるスポンサーリンク大学数学を利用した面白いテーマTwitterFacebookはてブPocketLINEコピー2019.08.08問題あるコンビニの昼のT分間にN人の客が来店するという。その間、客の来店はランダムであるとして、ある1分間にn人の客が来店する確率P_{n}を求めよ。n$$のときにはその確率がポワッソン分布で表されることを示せ。回答T分間にN人が来たことから、平均して$$\lambda=\frac{N}{T}$$人が来たと考えることができます。このT分間の任意の1分間で客が来ることができる人数は0人からN人であり、0人である組み合わせ、1人である組み合わせ、k人である組み合わせ、を考慮した確率はそれぞれ$$_{N}C_{0}×\left(\frac{1}{T}\right)^{0}$$$$_{N}C_{1}×\left(\frac{1}{T}\right)^{1}$$$$_{N}C_{k}×\left(\frac{1}{T}\right)^{k}$$と表せます。ここで、1/Tのファクターは客の来店がランダムとして、目的の1分間にその客が来る確率とみなすことができます。このことから求める確率Pは$$P_{n}=\frac{_{N}C_{n}×\left(\frac{1}{T}\right)^{n}}{_{N}C_{0}×\left(\frac{1}{T}\right)^{0}+_{N}C_{1}×\left(\frac{1}{T}\right)^{1}+......+_{N}C_{N}×\left(\frac{1}{T}\right)^{N}}$$$$P_{n}=\frac{_{N}C_{n}×\left(\frac{1}{T}\right)^{n}}{\left(1+\frac{1}{T}\right)^{N}}$$と書くことができます。これが前半の回答となります。次に、後半の回答に移ります。Tが1より十分大きいという条件から分母は自然対数eの定義に持ち込むことができますので、分母は以下のように変形できます。\left(1+\frac{1}{T}\right)^{T}}^{\frac{N}{T}}=e^{\frac{N}{T}}=e^{\lambda}$$Nがnよりも十分大きいという条件から分子は次のように計算できます。N^{n}}×\frac{(\lambda)^{n}}{n!}$$$$\simeq\frac{\lambda^{n}}{n!}$$よって、最終的にPは次の式で表せます。$$P_{n}=\frac{\lambda^{n}e^{-\lambda}}{n!}$$これはポワッソン分布に従う確率分布です。平成24年度III-I(2)(3))を使って考察する〜逆説という意味でなく、自然数の和が-1/12になることを証明します。京都大学の大学院入試問題を使いながら、理系の大学2年生くらいなら理解できる範囲で解いてみようと思います。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメント名前メールアドレスサイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。最近のコメントカーティスの定理を高校数学の範疇で証明する。指導経験:塾講師として4年間。中学1年生から高校3年生まで経歴:文系の私立大学を卒業後、1年間予備校で勉強して、理系の国公立大学に進学。そのまま学部・修士を卒業、博士に進学。死ぬ前に食べたいもの:日○屋の担々麺コメント:眠らないウサギになれたらなぁ。質問・悩みお待ちしています。