?\((1-a_{1})(1-a_{2})\cdots(1-a_{n})(1-a_{k+1})\)\(>1-\left(a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{k}}{2^{k-1}}\right)-a_{k+1}(1-a_{1})(1-a_{2})\cdots(1-a_{k})\)ていう感じ。k)\)に関する不等式を使って、\((1-a_{j})\)を全部\(\frac{1}{2}\)に変えちゃえばいいのか。マイナスが付いているから、数を大きくする分には、不等号の向きは変わらないからね。\frac{1}{2}$$が成り立つから。すると、全部で\(k\)個かければいいんだから\((1-a_{1})(1-a_{2})\cdots(1-a_{k})(1-a_{k+1})\)\(>1-\left(a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{2^{k-1}}\right)-\frac{a_{n+1}}{2^{k}}\)\(=1-\left(a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{k}}{2^{k-1}}+\frac{a_{k+1}}{2^{k}}\right)\)となって、\(k+1\)の時も示すことができた。2\)について題意が成立することが証明できたね。幸先いいスタートになったね。次の問題はどうしよっかな。オーソドックスな問題、典型的な不等式の証明問題をやろっか。\frac{\pi}{4}\right)\)に対し、次の不等式の成り立つことを示せ。$$\sqrt{\tan{a}\cdot\tan{b}}\leq\tan{\left(\frac{a+b}{2}\right)}\leq\frac{1}{2}(\tan{a}+\tan{b})$$ようこちゃん、これを見て、最初に何を思う?何をって、、、。タンジェントがいっぱいあるなぁ、ってことかな。他にも色々気づくでしょ。さっき確認したばかりっていうのもあるけど、右辺側は、なんか凸性が使える気がするけど。この問題、左辺側も右辺側も両方とも引き算でやろうと思ったら、結構大変だよ。右辺はこの形がとても綺麗に「凸性」の性質を表しているんだから、その通りに計算してあげたいよね。先に右辺側から示そっか。\tan{x}\)とおくね。凸性があるかを調べよう。$$だから、\(y=f(x)\)は、下に凸だね。\frac{1}{2}(f(a)+f(b))$$となって、右辺側は証明できたね。凸性を知っていると、それを示すだけで、あっさり不等式が証明できることがあるから、とても重要だよ。左辺側はどうする?う〜ん、どうだろ。相加・相乗平均が使えるような気もしたけど、無理かな。\frac{b}{2}\)に統一してみよっかな。なんか知ってる風な言い方だね。\frac{\tan{\frac{a}{2}}+\tan{\frac{b}{2}}}{1-\tan{\frac{a}{2}}\tan{\frac{b}{2}}}$$で、え〜とどうしよう。このやり方はちょっと大変かもね。