問題\(n\)を自然数とする。\frac{1}{2}+\frac{1}{4n}\)であることを示せ。確率の問題が絡んでくるのね。京大は、確率を使って式を出させて、”極限試行”で極限の計算能力を試してきたり、こんな感じで不等式を評価させたりしてくるよ。この問題は、確率を出すだけなら、簡単だと思うけど。確かに、サイコロを使うくせに、偶数と奇数しか考えないんだったら、結局コインを使っているのと変わらないからね。どっちも1回のサイコロ投げで、\(\frac{1}{2}\)の確率なんだから、簡単か。偶数が\(n\)回出るってことは、奇数が\(n\)回出るってことだけど、確率は$$_{2n}C_{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}$$って感じで計算できるね。_{2n}C_{n+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}+\cdots+_{2n}C_{2n}\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}$$かな。ようこちゃんなら、この式をどうまとめていく?どうするかなぁ。_{2n}C_{2n}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}$$二項係数の和ときたら、あれかな?うん、きっとそうだよ。_{2n}C_{2n-k}$$の関係を使えばいいのかな?ちょうど\(_{2n}C_{n}\)以外は1組ずつペアができるよね。\frac{1}{2}+\frac{_{2n}C_{n}}{2^{2n+1}}$$だよね。ここまでまとまったか。\frac{1}{4n}$$が示せるかどうかってところだ。\(_{2n}C_{n}\)はバラしてみるのがいいかな。\frac{1}{2^{2n+1}}$$さて、どうしたらいいだろう。目的の式をみると、分母と分子がほとんどキャンセルしていくと都合がいいよね。n!$$みたいになって、分母と消える気がする。奇数をいじればいいと思うんだけど。