n)\)である時、不等式$$(1-a_{1})(1-a_{2})\cdots(1-a_{n})>1-\left(a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{2^{n-1}}\right)$$が成立することを示せ。いう\(n\)個の文字の計算が出てきたら、帰納法でできたらいいなぁ、って考えちゃうけどね。う〜ん、いいんじゃない。帰納法でやってみようよ。帰納法はまず初期条件が大事だから。a_{2}\)の条件から、これは正だね。初期条件が正しいことがわかったら、いつもの通り、\(n=k\)の場合で正しいことを仮定して、\(k+1\)の場合でも正しいことを示せばいいね。それ、やってみようか。2\)のとき不等式が成り立つとすると、\(\frac{1}{2}<a_{k+1}<1\)として\((1-a_{1})(1-a_{2})\cdots(1-a_{k})(1-a_{k+1})\)\(>\left(1-\left(a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{k}}{2^{k-1}}\right)\right)(1-a_{k+1})\)\(=1-\left(a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{k}}{2^{k-1}}\right)-a_{k+1}\left(1-\left(a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{k}}{2^{k-1}}\right)\right)\)さて、ここまではいったけど。ここから、右辺が証明したい不等式の\(k+1\)バージョンになってくれればいいんだけどね。う〜ん、ちょっとバカなことかもしれないけど、もう一度仮定を使って、二項目の\(\left(1-\left(a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{k}}{2^{k-1}}\right)\right)\)を元に戻してみるのはどうだろう。二項目の符号はマイナスだから、不等号の向きは変わらなくて済むし。