この式が主張していることは何だろう?左辺の方が大きいってことでしょ。それか、右辺の方が小さい。いう場合に大きくなったり、小さくなるのかってこと。小さいもの同士、大きいもの同士をくっつけた時に、より小さくなるのかな。そのことを頭に入れて(2)に進むといいと思うんだ。n))\)っていうのは、\(1\)から\(n\)までのどれか1つずつに対応している、ってことだよね。ちなみに、シグマの\(k\)も1から\(n\)まで動くってことだね。問題は、\(x_{k}\)の並び順だね。いう風に並んでいるのかってことだけど。ポイントは、左辺の式を下から抑えるような形で評価できればいいなぁ、ってことだよ。あ、それで、(1)なのかな。小さいものは小さいもの同士で固めれば、より小さくなるっていう。k^{2}\)にしちゃえば、左辺より小さくなるんじゃないかな。それ、ちゃんと証明できる?証明かぁ。感覚的には当たり前なんだけど、数学だから証明しなきゃダメだよね。シグマの中の各項、\(\frac{x_{k}}{k^{2}+1}\)について考えよう。n\)があったとする。n)\)となる\(j\)が必ず存在する。i\)と置き換えた方が、値は小さくなる。これをすべての\(k\)についてやれば、$$\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{k^{2}+1}$$が最も小さくなることを示せる。簡潔にまとまっていていいね。\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{k^{2}+1}$$まではわかったけど、さぁ、このあとどうする?う〜ん。\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}+1}$$でも、これって計算できないよね。\frac{\pi^{2}}{6}$$ってことは示せるけどね。凸性を利用するって、ここで利用するんだね。\(n\)乗の分数和の評価をするときには、凸性が輝くもんね。ようこちゃんが絵に描いてくれたじゃん。