カーティスの定理を高校数学の範疇で証明する。物理・数学の問題に少しでも近寄れるようになるために。【質問・悩みに回答します】ブログの趣旨ホームサイトマップお問い合わせカーティスの定理を高校数学の範疇で証明する。2019.07.17知り合いの塾の講師に、面白い問題を聞きました。その講師の生徒がわからないと言って質問した問題でした。私も見たことがなく、パッと見ただけでは証明が思いつきませんでした。そこで家に帰りじっくり考えた結果、一つの証明方法を思いつきました。調べてみるとその問題はカーティスの定理と呼ばれる有名な問題であることが判明したわけですが、この定理の裏にはシルベスター数列という数列も関わっています。定理はn=4程度までなら、大学の入試問題にも出てくるようなものです。一般のnに関する証明はなかなか味わい深いものかなぁと思います。同じ証明方法は掲載されていません(間違いだからかもしれませんが)ので、今回は、定理の主張を確認し、その証明方法を紹介します。\mathbb{N}$$として$$p=\frac{m-1}{m}、n=m+1$$とかける。b(a<b)を用いてp=a/bと書ける。]を用いて$$n=\left[\frac{b}{b-a}\right]+1$$となれば良い。c-1を満たす整数)を用いると$$I=1-\frac{c}{b}+\frac{1}{k+\left[\frac{r}{c}\right]+1}$$$$I=1-\frac{c}{ck+r}+\frac{1}{k+1}$$Iを最大化するためには、rを最大化すればよいからr=c-1と選ぶ。cに取ることができるのでIを書きなおすと$$I=1-\frac{c}{a+c}+\frac{c}{a+c+1}$$他の文字を定数としてaで微分する(偏微分の記号を用いているが、実質、2変数以上の微分で高校数学の教科書にも載っている)。0$$よって、Iはaに関して増加関数なのでIを最大化するにはaを最大にすれば良い。n=m+1$$以上より、補題1が示された。\mathbb{N}$$で定まるIはmに関する制約の下で(m-1)/mが最大となるときに最大となる。示すべきことがらはIがmについて単調増加であることを示せばよい。$$\frac{d}{dm}I=\frac{(m+1)^{2}-m^{2}}{m^{2}(m+1)^{2}}>0$$より、Iはmについて単調増加関数であるからIが最大となるのはmについての制約の下で(m-1)/mが最大となるときである。自然数nに関する数学的帰納法により示す。n=2のとき、a_{1}=2として、a_{2}=3となるので成立。n=k(n≧2)のとき、定理が成り立つと仮定する。(1≦i≦k)について$$\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{a_{i}}$$を最大にするa_{i}はa_{1}=2としてi≧2について$$a_{i}=\prod_{j=1}^{i-1}a_{j}+1$$であり、その最大値は$$\frac{\prod_{i=1}^{k}a_{i}-1}{\prod_{i=1}^{k}a_{i}}$$であると仮定する。$$I(k+1)=\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{a_{i}}+\frac{1}{a_{k+1}}$$について考える。$$\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{a_{i}}$$は有理数。1/a_{k+1}はある自然数n’を用いて1/n’を用いて書けるので補題1を用いてI(k+1)が最大となるのはある自然数mを用いて$$\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{a_{i}}=\frac{m-1}{m}$$と書けるときである。ところで仮定より$$\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{a_{i}}=\frac{\prod_{i=1}^{k}a_{i}-1}{\prod_{i=1}^{k}a_{i}}$$と書けるので、$$\prod_{i=1}^{k}a_{i}=m$$とおけば、$$\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{a_{i}}=\frac{m-1}{m}$$と書くことができる。補題2よりこの部分が最大となるとき、I(k+1)も最大となる。この時のa_{k+1}は補題1より$$a_{k+1}=m+1=\prod_{i=1}^{k}a_{i}+1$$である。このa_{k+1}は明らかにa_{k}≦a_{k+1}を満たす。\frac{\prod_{i=1}^{k+1}a_{i}-1}{\prod_{i=1}^{k+1}a_{i}}$$ゆえに、n=k+1のときも定理は成り立つ。以上より数学的帰納法により、n≧2以上の自然数について定理が成り立つことが示された。上の論理が正しいことは誰にも確認していないので、誤りを発見した方は指摘していただけると幸いです。最後までご覧いただき、ありがとうございます。知恵袋の質問にお答えします。文字を含む定積分の最小値を求める問題です。高校数学の質問に回答します。3次関数とその接線とに囲まれる部分の面積に関する問題です。整数の剰余に着目した自作問題を考えました難関国公立大学の入試問題では、ユニークな整数問題がよく出題されます。剰余の性質を使って整数の存在条件を与える問題をたまに見かけます。その類題となるような問題となれば良いと思い、自作問題を考えました。よろしければ解いてみてください。高校数学の問題に挑戦します。方程式の解を不等式で評価する問題です。(定数分離法)知恵袋の質問にお答えします。方程式の解の個数を定数分離法で解く問題です。高校数学の質問に回答します。文字を含む4次方程式と実数解の個数を求める問題です。PM補題1の証明の途中に間違いがあることに気づいて、修正しました。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメント名前メールアドレスサイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。最近のコメントカーティスの定理を高校数学の範疇で証明する。指導経験:塾講師として4年間。中学1年生から高校3年生まで経歴:文系の私立大学を卒業後、1年間予備校で勉強して、理系の国公立大学に進学。そのまま学部・修士を卒業、博士に進学。死ぬ前に食べたいもの:日○屋の担々麺コメント:眠らないウサギになれたらなぁ。質問・悩みお待ちしています。