物理・数学の問題に少しでも近寄れるようになるために。2019.08.10以前、夏休みの自由研究の題材を考えた時に「拡張版マルバツゲーム」を提案しました。この問題を少し考えてみました。拡張版マルバツゲームとは何か。その必勝法は存在するか。拡張版マルバツゲームとは5×5のマルバツゲーム\(m=3\)を勝利条件とする場合\(m=4\)を勝利条件とする場合まとめスポンサーリンク拡張版マルバツゲームとはマルバツゲームといえば、3×3のマス目で◯か×を3連続で揃えた方の勝ち、というゲームです。このゲームには必勝法が存在しないことがわかっています。9×9というようにマス目を大きくしていったものを「拡張版マルバツゲーム」と呼ぶことにします。n×nのマス目においては、◯か×の記号をmだけ連続させた方が勝ちであるというルールにします。m\)以外の可能性も考えるということです。\(n=3\)のとき、仮に\(m=2\)とすれば当然先手が必勝となります。5×5でも\(n=4\)とすれば先手が必勝なのでしょうか。\(m=5\)ではやはり、先手・後手ともに必勝法は存在しないのでしょうか。この記事では特に5×5のマス目における考察を行っていきたいと思います。5\)の5つの候補があります。2\)に関しては3×3の時と同様の並べ方で先手必勝であることがわかります。5\)に関して先手に必勝法が存在するかどうかを考察します。先手・後手の手をわかりやすくするため、以下のような記法を導入します。初手に先手が真ん中をとした場合は、3-三○のように書きます。上のように先手がバツのない所に◯を重ねただけで「詰めろ」をかけられます。詰めろ相手が何もしなければ、次に「詰み」となる手が存在する状況ゆえに、この条件では先手必勝となります。\(m=4\)を勝利条件とする場合さて、この場合は少し考える組み合わせが多くなります。考える方針は決まっていて、先手に必勝法が存在するならば、「ダブルの詰めろ」をかけることができます。二方向で詰めろがかかる状況を作れば良い、ということです。中央がもっとも価値が高いので、先手は初手中央に限定します。すると後手の指す可能性は次の3通りです。先手の○と隣合わない所に指す。先手の○と横か縦に隣り合う所に指す。先手の○と斜めに隣り合う所に指す。順を追って考えていきます。先手の○と隣合わない所に指す後手が先手の○と隣合わない所に指した場合(4手目までの局面)この状況では、次に先手に必殺の手があります。ダブルの詰めろがかかる手があります。ダブルの詰めろ(5手目までの局面)上の図のように、赤いところ二箇所に○が入れば先手が詰めろをかけられるので、この状況をダブルの詰めろと呼びます。これを同時に防ぐ手が後手にはないため、先手の勝ちとなります。実は、この場合も先ほどと同じ形に帰着します。ゆえにダブルの詰めろがかかり、そこで先手の勝ちとなります。後手が2手目に中央の○と斜めに隣り合う所に指した局面この局面から先手の有効手は、7通りあります。有効手とは先手の中央の○と重なる位置に配置する方法のことです。それぞれの手を調べていきます。3手目4-三○、4手目2-三×、5手目2-二○この時は上図のように進行し、これ以上先手・後手にダブルの詰めろをかける手がないため、必勝法が存在しない。3手目4-三○、4手目2-三×、5手目3-二○この場合も同様に、先手・後手にダブルの詰めろをかける手が存在しないので、必勝法は存在しない。3手目4-四○この場合は、6手目まで上図のように一直線に進行。この配置では必勝法は存在しない。以下、3手目に3-四○、2-四○、2-三○、2-二○とした場合、以下の図のように一直線に進行するがいずれも必勝法は存在しない。3手目3-二○3手目3-二○からの分岐13手目3-二◯からの分岐2いずれの場合においても、やはり必勝法はありません。まとめこのように5×5のマス目では、4連続にしても必勝法はありませんでした。ゆえに、5連続での必勝法が存在しないことがわかります。そこで新たに次のような疑問が生まれます。一般に(2n-1)×(2n-1)のマス目ではmをどのようにしたら必勝法は存在するのか。解かれているかもしれませんが、この夏、この問題を数学的に解く、ということに挑戦してみたいと思っています。皆さんも数学の自由研究のテーマでこの題材を選んでみてはいかがでしょうか。その場合、その結果をぜひ教えていただきたいと思っています。高校数学の質問に回答します。3次関数とその接線とに囲まれる部分の面積に関する問題です。〜3点が一直線上に並ぶことを証明せよ〜知恵袋に掲載されていた自作問題に挑戦します。2円と、それに関する垂直二等分線から得られる3点が一直線上に並ぶことを証明します。高校数学の質問に回答していきます。高校数学のコーシー・シュワルツの不等式(3次ver)の証明に関する質問です。わからないことを、質問形式で募集しています。質問はコメント欄によろしくお願いします。高校数学の質問に回答します。文字を含む4次方程式と実数解の個数を求める問題です。高校数学の質問に回答します。放物線と直線に囲まれた部分の面積の最小値を求めます。スポンサーリンク二進法が隠された奇妙な整数問題(数学オリンピック日本本戦2016年第3問)を解いてみた。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメント名前メールアドレスサイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。最近のコメントカーティスの定理を高校数学の範疇で証明する。指導経験:塾講師として4年間。中学1年生から高校3年生まで経歴:文系の私立大学を卒業後、1年間予備校で勉強して、理系の国公立大学に進学。そのまま学部・修士を卒業、博士に進学。死ぬ前に食べたいもの:日○屋の担々麺コメント:眠らないウサギになれたらなぁ。質問・悩みお待ちしています。