Minute以前のブログで説明がなかなか納得されない例として四色定理を取り上げましたが、実際にどこが納得しがたいのか知りたいと思い勉強してみることにしました。読むことから始めました。(この本はカラーの図版も美しく、四色定理をめぐる歴史も丁寧に説明しているので大変おすすめです。”四色問題”というタイトルで翻訳も出ているようです。)完全に理解できているわけではありませんが、物議を醸した最初の証明(ちなみにココとココで論文が無料で見れます)は次の2段階から構成されていたようです。ページを占めています。これは素人目にも数学の証明というより力押しと感じる量です。著者自身が、実際にはこれよりも少ない数でも足りるかもしれない、つまり、このリストについて第二段階を実行すれば四色定理は証明できるけれども、もっと短いリストを使ってもできるかもしれない、と明言しています。(実際、もっとも短いリストが後年別の研究者により発表されています。)さらに第二段階はいくつかのヒューリスティクスの組合せをコンピュータに虱潰しに実行させることで証明しています。これは「なんだかなぁ」という感じるのは素人だけではなく、本職の数学者も同じようです。こんな論文を見つけました。いう文からも、著者の「こういうのを証明って言うんだ!」という意気込みが感じられます。驚くべきことにこの論文はたった8ページで、しかもその証明を理解するのにはなんら高度な数学の知識は必要ありません。簡単にここに紹介したいと思います。5つの国だけからなる地図は4色で塗りわけることができる。地図の外周(実際の地図で言うと海に面している部分)にある国は3色で塗りわけることができる。個の国からなる地図を作ることを考える。元の地図の外周で使われていない色があるはずである。その色で追加した国を塗れば、n+1個の国全体が4色で塗り分けられる。手順を繰り返せば任意の大きさの地図を4色で塗りつぶすことができる。(証明終わり)なんというシンプルさ!こんな簡単な証明がつい最近まで気づかれずにいたというのはまったく驚きです。いうような話では残念ながらなく、この「証明」には間違いがあります。帰納法を適用しただけなのでそこに間違いがあるとも考えにくいです。どこに落とし穴があるのでしょうか?(ちなみ四色定理が成立するので、反例をあげて反証するという手は使えません。証明の論理に穴があります。AM「任意の大きさの地図を4色で塗りつぶすことができる。」からといって「任意の地図を4色で塗り分けられる」とは限らない。PMそこは問題ないはずです。AMどんな地図でも外側から一つずつ国を取り除いていけば、いずれ国の数は5つまで減ります。(4カ国以下の地図が4色で塗り分けられるのは自明なので除外してます。)取り除いたのと逆の順番に国を足していけば元の地図が復元できるので、3の手順で元の地図まで辿り着くことができます。外周を3色で塗ることができます。AM五つの国が、必ず四色でわけられるならば、無数の国の中でどの五つの国を取り出しても、四色で分けられるのでは無いでしょうか?間違っていたら、それについて教えて下さい。PMいえ、何も間違っていません。四色定理が成り立つ以上、どの5つ(というか何個でも)国を取り出しても4色で塗ることができます。PM全体を四色で塗り分けられることと外周が三色で塗り分けられかつ全体が四色で塗り分けられることは別ですよね。普通に帰納法が回ってないと思います。PM>>四色定理が成り立つ以上、どの5つ(というか何個でも)国を取り出しても4色で塗ることができますこれから証明しようとしていることを、証明の途中に使うことができるならば、どんな命題でも真ですな。コメントをキャンセルコメントを入力してください。以下に詳細を記入するか、アイコンをクリックしてログインしてください。アカウントを使ってコメントしています。アカウントを使ってコメントしています。アカウントを使ってコメントしています。アカウントを使ってコメントしています。新しいコメントがついたらメールで通知。Googleでエンジニアリングマネージャをしています。以前はNTTの研究所にいました。