物理・数学の問題に少しでも近寄れるようになるために。(C)$$という関係式を用いてその定義域を拡張(解析接続)できる。0\)のとき、\(\Gamma(\nu+1)=\nu\Gamma(\nu)\)を示し、正整数nに対して\(\Gamma(\nu)\)を計算せよ。0\)のとき、\(\epsilon\)のどのような関数で近似的に表されるか、それぞれ示せ。(D)$$という積分で表される。ここで、ガンマ関数\(\Gamma(\nu)\)の定義と性質については、(2)の問題文を参照し、解答の際には式(B)および式(C)を用いてもよい。1\)のとき、式(D)の右辺が\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\nu}}\)に一致することを示せ。A_{1}\)を求めよ。1\)の領域で、以下のようにあらわされることを示せ。-2\)の領域でも成り立つ関係式である。\(\nu=-1\)のとき、式(F)の右辺の第1項の(ガンマ関数の因子を除く)積分全体が有限になることを示し、\(\zeta(-1)\)を計算せよ。問題文が長いですが、それだけ丁寧な誘導がついているということですね。それでは長き道のりですが頑張ります。(2)(a)部分積分を使っていけば、自然と導けます。\int_{0}^{\infty}dte^{-t}t^{\nu}$$$$=[t^{\nu}e^{-t}]_{0}^{\infty}+\nu\int_{0}^{\infty}dtt^{\nu-1}e^{-t}$$$$=\nu\Gamma(\nu)$$(2)(b)式(C)を用いて解析接続します。0}\Gamma(-1+\epsilon)=\frac{1}{(-1+\epsilon)\epsilon}=-\frac{1}{\epsilon}$$となります。これが発散するということが後の布石となります。ここまでは難しくはない、しかし大切な準備です。(3)(a)これは統計力学という大学物理の中の量子統計という分野でよく使うテクニックで知らないと思いつかないでしょうが等比数列の和の公式を逆向きに利用するという面白い技巧です。dt=\frac{dk}{n}\)の変数変換と、\(\int_{0}^{\infty}dkk^{\nu-1}e^{-k}=\Gamma(\nu)\)の定義式を利用しました。(3)(b)ローラン展開とありますが、テーラー展開の要領で進めていきます。\frac{1}{z(1-\frac{z}{2}+\frac{z^{2}}{6}+......)}$$$$\frac{1}{z(1-X(z))}$$ここで、$$X(z)=\frac{z}{2}-\frac{z^{2}}{6}+......$$としました。\frac{1}{z}×(1+\frac{1}{2}z+\frac{1}{12}z^{2}+......)$$$$\frac{1}{z}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12}z+......$$となります。A_{1}=\frac{1}{12}$$です。これらの値が求まればクライマックスです。(3)(c)ここはただの式変形と\(\Gamma\)関数の積分です。n=1までの差をとるのかについては無視せずに計算を進めていきましょう。1\)のときに\(\Gamma\)関数の定義式より導かれる$$\frac{1}{\Gamma(\nu)}\int_{0}^{\infty}dte^{-t}t^{\nu-2}=\frac{1}{\Gamma(\nu)}\Gamma(\nu-1)=\frac{1}{\nu-1}$$$$\frac{1}{\Gamma(\nu)}\int_{0}^{\infty}dte^{-t}t^{\nu-1}=\frac{1}{\Gamma(\nu)}\Gamma(\nu)=1$$$$\frac{1}{\Gamma(\nu)}\int_{0}^{\infty}dte^{-t}t^{\nu}=\frac{1}{\Gamma(\nu)}\Gamma(\nu)\nu=\nu$$を用いています。ここで、ローラン展開のtの2次以上の次数を減じなかったのは、\(\nu=-1\)を代入することが視野にあったからだと考えればよいでしょう。その場合、\(\Gamma\)関数で書きなおすとき、tの2次以上の部分にはファクター\((\nu+1)\)が加わりますので結局0となり、寄与しません。(3)(d)さて、とうとうここまで来ました。長い道のりでありましたがいよいよ最後の一本道です。(2)の(b)で\(\Gamma(-1)\)が発散することは確認していますから、問題文の通り積分部分が有限であれば第1項は消えます。それを狙っているわけです。これは被積分関数を計算してみればよいでしょう。A_{2}t^{2}+A_{3}t^{3}+......$$となっています。=\sum_{m=0}^{\infty}A_{m+2}\Gamma(\nu+m+2)$$となります。\frac{1}{3}$$よってこの積分は有限となることがわかります。-\frac{1}{12}$$が導かれます。-\frac{1}{12}$$を主張していることになります。これは解析接続の結果だということはわかっておいた方がよいでしょう。23年度II-(2)の第5問です。1分間にコンビニに来店する客の人数がランダムであれば、実はこの確率分布はある仮定で、ポワッソン分布に従うことが証明できます。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメント名前メールアドレスサイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。最近のコメントカーティスの定理を高校数学の範疇で証明する。指導経験:塾講師として4年間。中学1年生から高校3年生まで経歴:文系の私立大学を卒業後、1年間予備校で勉強して、理系の国公立大学に進学。そのまま学部・修士を卒業、博士に進学。死ぬ前に食べたいもの:日○屋の担々麺コメント:眠らないウサギになれたらなぁ。質問・悩みお待ちしています。