geometry)は、ユークリッド幾何学の平行線公準が成り立たないとして成立する幾何学の総称。非ユークリッドな幾何学の公理系を満たすモデルは様々に構成されるが、計量をもつ幾何学モデルの曲率を一つの目安としたときの両極端の場合として、至る所で負の曲率をもつ双曲幾何学と至る所で正の曲率を持つ楕円幾何学(殊に球面幾何学)が知られている。ユークリッドの幾何学は、至る所曲率0の世界の幾何であることから、双曲・楕円に対して放物幾何学と呼ぶことがある。平易な言葉で表現するならば、「平面上の幾何学」であるユークリッド幾何学に対して、「曲面上の幾何学」が非ユークリッド幾何学である。ユークリッドの著した「原論」('element')の1~4巻に於いては、今日で言うところのユークリッド幾何学に関して、古代ギリシア数学の成果がまとめられている。「原論」では最初にいくつかの公理・公準を述べているが、その中の第5公準が次の、平行線公準と呼ばれるものである。2直線に他の1直線が交わってできる同じ側の内角の和が2直角より小さいなら、この2直線を延長すると、2直角より小さい側で交わる。これは他の公理に比べて自明性は低く、また明らかに冗長であったので、いくつかの疑念を生ずることとなった。定理なのでは無いだろうか。自明で簡潔な、同値な命題が存在するのではないだろうか。ここから、平行線公準の証明の試み、あるいは平行線公準の言い換えの試みが始まった。古代ギリシア編集プロクロスは、「原論」の注釈書に於いて平行線公準が定理なのではないかと述べている。平行線公準により証明されているので主張は正しくなかった。古代ギリシャ以降も、無数の「平行線公準の証明」が生まれたが、多くはプトレマイオスと同じ過ちを犯していた。その結果として無数の「平行線公準と同値な命題」が作られた。いう互いに背反かついずれかは成立するような仮定を設定し、直角仮定から平行線公準を導けることを示した。直角よりも大きいサッケーリは、鈍角仮定および鋭角仮定は矛盾を生じると主張したが、その証明に於いてはやはり平行線公準に依存する命題を使ってしまっており、証明としては正しくなかった。つの分類はその後の非ユークリッド幾何学の構築に大きな役割を果たした。ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトも1766年執筆の論文「平行線の理論」に於いて同様の主張をしている(この論文は1786年に発見された)。カール・フリードリヒ・ガウスは、1824年11月8日の手紙に於いて、鋭角仮定のもとで整合的な幾何学が成立する可能性を示唆し、そこにはある定数があってこれが大きいほど通常の幾何学に近づくと述べた。対し、-(1/k)のことである。ガウス個人は非ユークリッド幾何の存在を確信していたと見られるが公表はしていない。「宗教論争に巻き込まれる事を恐れてか」とその理由を推察する者もいる。非ユークリッド幾何学の成立編集ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーは「幾何学の新原理並びに平行線の完全な理論」(1829年)において、「虚幾何学」と名付けられた幾何学を構成して見せた。これは、鋭角仮定を含む幾何学であった。ボーヤイ・ヤーノシュは父・ボーヤイ・ファルカシュの研究を引き継いで、1832年、「空間論」を出版した。「空間論」では、平行線公準を仮定した幾何学(Σ)、および平行線公準の否定を仮定した幾何学(S)を論じた。どちらが現実に成立するかは、如何なる論理的推論によっても決定されないと証明した。ベルンハルト・リーマンこの節の加筆が望まれています。あわせて4人が3通りの方法を発見した。その結果をまとめると以下のようになる。ここでは曲がった面上や空間内の「直線」は二点間の最短距離を指すのであって、まっすぐな線のことではない。平行線は絶対に交わらない二本の直線であって、同角度に伸びている線を意味しない。各幾何学は、互いに他を否定する存在ではなく、いわば並行に存在しうる幾何学であることを注意しておきたい。各幾何は、それぞれ他の幾何の中に(少なくとも局所的には)モデルを持ち、したがって互いに他の体系の正当性を保証することになるからである。Math&Scienceシリーズ〉、2008年10月8日。978-4-480-09163-5。1996年12月10日、42-81頁。4-320-01551-7。312〉、1977年5月25日。4-06-117912-8。B-1880〉、2014年8月20日、新装版。5〉、1993年3月1日。4-7819-0688-5。Newton別冊〉、2009年1月15日。現代数学への入門』岩波書店、2004年9月7日。複素数で視る』培風館、1996年9月。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。