辺\(CD\)を\(3:1\)に内分する点を\(G\)とする。線分\(CE\)と線分\(FG\)の交点を\(P\)とし、線分\(AP\)を延長した直線と辺\(BC\)の交点を\(Q\)とするとき、比\(AP:PQ\)を求めよ。最初は初等幾何からやろうか。初等幾何で解くための生命線は「辺の比をうまく扱うこと」だから、こんな図を書いてみるよ。ポイントは、辺の比を合成する、ってことかな。辺\(AB\)と辺\(CD\)は同じ長さだから、比の和が同じになるように調節してあげることで、比べられるようになるからね。色を分けて、比較できる辺の比を見やすくしているんだね。比べられる辺の比を区別することは重要だよ。平行四辺形の時にしょっちゅう現れる補助線を引いてみるよ。こんな感じで補助線を引くんだ。途切れている三角形を作り出す感じかな。すると相似な関係が使いやすくなるからね。9:1\)だということがわかるよね。1:10\)になるよね。\(BT\)は青の6になるのかな。