物理・数学の問題に少しでも近寄れるようになるために。短時間で済ますことのできる数学の自由研究の課題は何だろう。部活動が多く、数学の自由研究に時間を割くことができない、とか、夏休みも終わり、いよいよ学校が始まるという所になって、残しておいた自由研究の課題を突如思い出して慌ててしまう、ということもあると思います。この記事はそんな中学生・高校生のために、短時間で仕上げることのできる、それなりに有意義な題材を考えてみました。高校3年生は流石に自由研究が課題になることはないと思いますので、他の学年に対応して考えました。気に入ったものがあれば、ぜひ採用して役に立てていただければ幸いです。題材は主に、中学生・高校生が必ず持っているはずの数学の教科書からとってきています。正負の数の概念を日常生活に置き換えて表現する中学1年生の前半の目玉と言えば、「負の数の導入」に尽きると思います。小学生では、(学習指導要領の範囲内では)マイナスの数というのは扱いません。そこで、大抵の方々は中学生になって初めてマイナスという概念を学校で学びます。その時に次のような計算規則を学ぶはずです。4は最初は戸惑うこともあると思います。4に当てはまる事例を探すというのはどうでしょうか。以下のような例があります。2または3の例1年ごとに知識が増えていく。昔はものを知らなかったなぁ。-50$$だけ少ないという意味。4の例1年ごとに記憶力が落ちていく。昔はなんでも覚えられたのになぁ。1年ごとに記憶力が10だけ落ちていくとする。50$$だけ高いという意味。こんな感じで、正負の数の概念をなじみやすくするような語録を作っていくと、面白いかもしれません。小学生の「なんとか算」の原理を方程式を使って暴き出す小学生の時に中学受験を経験した人は通称「なんとか算」をひたすら叩き込まれたのではないでしょうか。なんとか算”でググれば結構色々見つかります。それで、これらの手法は「方程式という概念を学んでいない」小学生でも解けるものです。方程式や連立方程式を学んだ中学生2年生なら、この新しい知識を使ってこれらの問題を解くことができるのです。上にあげた1~5まではだいたい、連立方程式を立てることができれば、解くことができるものです。中学二年生のこの時期は連立方程式を学んだ頃合いでしょうし、小学生流の解き方と中学生の「大人の方法」を比較していくというのは面白い試みではないでしょうか。「なんとか算」を知らない方は、小学生がどのような苦労(工夫)をして、方程式を使わずにこれらの問題を解くかを知ることができますし、方程式の破壊力を知ることにもなります。つるかめ算なら次のように比較できますね。つるかめ算の問題ツルとカメがいます。足の合計の数は56本です。ツルは何羽でカメは何頭でしょうか。つるかめ算による解答ツルの足は2本、カメの足は4本です。どちらも頭は1つなので、もしすべてツルだとすると足の数は40本です。実際には56本の足があるので16本足りません。カメとツルを入れ替えると足の数は2本増えるので、16本増やすにはカメとツルを8だけ入れ替えれば良いです。ゆえに、ツルは12羽でカメは8頭いることがわかりました。カメの数を\(y\)とします。y=8\)となります。このように、連立方程式は式さえ立てられればまどろっこしい考え方はいらないわけです。他の算法も同じように比較できますので、連立方程式の練習・方程式の練習と思ってやってみると良いと思います。中学三年生に自由研究の課題を出すところは多くないと思いますが、もし出されたとしたら受験勉強に時間を使うために、なるべく短時間で済ませたいと思いますよね。いずれの分野においても「2次数への拡張」が大きなテーマです。そこで、例えば以下のような題材はいかがでしょうか。日常生活”と調べると「なんで根号が必要なのかわからない」「根号なんて日常生活で使わない」という質問やそれに回答する記事がたくさん見つかります。理系に興味のない中学生の大半の生徒が同じようなことを考えているのではないでしょうか。そこで、根号の味を少しでも知っておくために、根号の概念が欠かせない事象について調べてみるというのは良いと思います。マンホールの形マンホールは、なぜ丸いのでしょうか。正方形や正三角形じゃダメなのでしょうか。これを正確に理解しようと思ったら根号が必要です。簡単のため1辺が1の正方形、正三角形と半径が1の円を比べてみます。正三角形の高さが\(\frac{3}{2}\)となることがわかります。マンホールを正方形に設計するとなにが起こるでしょうか。マンホールとは、下水管の掃除などをする時には一時的に外しておくものですが、もし正方形に作ってしまうと事故で地下にマンホールが落ちてしまうことがあります。1.414\)だと知っているので、対角線が辺の長さよりも長いことがわかります。すると、マンホールを対角線に向けて立ててしまうと落ちてしまいます。正三角形の場合も同様です。高さが\(\frac{3}{2}\)で、これは辺の長さよりも小さいので、やっぱり正三角形を立てると落ちてしまいます。円の場合は大丈夫です。どのように立てても地下に落ちてしまうことはありません。このように、根号を知らない人がマンホールを設計すると大変な事故に繋がる危険があります。研究課題としては「円よりも良い」形を設計するのも面白いと思います。なにを持って良い、とするかは難しいですが、例えば材料コストを抑えるために「円よりも必要な面積が小さく穴に落ちない設計」を考えてみると面白いと思います。典型的な高校生の「起床」から「登校」の様子を綴ります。2m離れた場所にある目覚し時計を止め、ゆっくりと着替えを始める。途中、机の携帯電話をフローリングの床に落としてしまい、鈍い音がした。着替えを終えたA君は、眠いまなこをこすりながらそれを拾い上げ、一階に降りていく。目玉焼きと味噌汁、それと一杯のご飯を腹に入れ、身支度を整えてから家を出た。太陽の日差しが眩しい。電車の時間に間に合うように少し小走りで駅に向かった。途中の交差点で車が飛び出してきたので、慌てて立ち止まる。運転手も急ブレーキをかけ、窓越しに「気をつけろ!」と言いながら走り去った。気分が悪いなぁ、と思いながらともかく駅につき、電車に乗る。加速したり、減速する電車のなかで揺られながら、単語帳を広げて今日のテストに備える。窓から公園のブランコで小さく揺れている少年を見ながら、少し羨ましく思った。いつもの駅で降り、通学路を歩いていると後ろから友達に声をかけられた。そいつはA4のプリント用紙を持ちながら、「今日のテストどうだい?」と聞いてくる。「まぁ、大丈夫じゃない」と適当に返事をしながら二人で学校に向かう。駅から学校までは一本道で、最初は数cmほどの大きさだった学校がどんどん大きくなっていく。今日もいいことがあるといいな。この文章中に、”根号または2次式”と関わりの深い現象はいくつあるでしょう?実は少なくとも僕の理解の中では、”X個”あります。それぞれあげてみましょう。目覚し時計のような等方的に音を鳴らすものの場合、音の強度と距離は2乗に反比例しています。\sqrt{\frac{k}{D}}$$となっています。その時の運動エネルギーを\(E\)とすると次の関係があります。=\frac{1}{2}mv^{2}$$運動エネルギーとは、運動するときに発生するエネルギーと考えれば良いです。太陽の日差しが眩しいこれは音の話と似ていますが、太陽からでる光の強度と太陽からの距離は2乗に反比例するという法則があり、その1と同じような式が出てきます。車の急ブレーキ車が急ブレーキをかけたとき、ブレーキをかける前の速度\(v\)と止まるまでの距離\(D\)とにはある定数\(k\)を用いて次の関係があります。電車が加速したり、減速したりするとき、電車の速度と進む距離は2次式の関係があります。高校物理の話になるので、詳しくは割愛します。公園のブランコは小さく揺れていれば、およそ振り子と考えることができます。k\sqrt{l}$$と表せます。A4のプリント用紙A4のプリント用紙は白銀比と呼ばれる比で横と縦の長さが決まっています。白銀比とは横の長さと縦の長さの比が\(1:\sqrt{2}\)となっているもののことです。このようにすると面白いメリットがあります。学校の見かけの大きさは、音や光の強度の話と似ていて、距離の2乗に反比例しています。このように、普通の高校生の日常生活の本の一部を切り取っただけでも、根号や2次数にまつわる話にありふれています。エネルギーの関係など根号や2次式の概念を使わないと理解できないことがたくさんあります。それらを見つけてみるのは、夏休みの課題に適していると思います。上の関係性をもっと詳しく調べてみるだけでも十分な自由研究ではないでしょうか。高校1年生用ラングレーの問題を解いてみるラングレーの問題は本ブログでも紹介していますが、”ラングレーの問題”と検索すれば、たくさんの記事が見つかります。いくらでも解法パターンがあるので、一度挑戦してみると面白いかもしれません。数学マジックを説き明かせ高校生では整数の問題を取り扱うことが増えてきます。その時に整数の倍数の性質を知っていると便利なことが多いです。整数の扱いになれるという意味で、数学マジックを考えたり、その原理を考えていくのは面白いと思います。次のようなマジックがあります。数学マジックここに9216という数字があります。好きな4けたを思い描いてください。その4けたの数と9216をかけて整数を作ってください。それは、8けたになると思いますそのうちの7けたを、順番はデタラメで良いので僕に教えてください。3残りの数は”8′′ですね!上のマジックはとてもシンプルな原理に基づいていますので、数学の倍数性に長けていれば自然と種が見えてくると思います。実際に原理を解析して、実践してみるのも面白いですね。面白い定理や公式を示す高校2年生の夏の時期ですと、指数・対数関数や三角関数を学ぶでしょう。ここまでくると日常生活に応用する、というよりは学校で習わないが面白い公式や定理を証明してみるという方法があります。内接円の半径をrとする。このとき$$\cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=\frac{R+r}{R}$$が成り立つ。\frac{1}{8}$$など、特別の角に対する特別の値カイジに登場する金利の計算を理解せよ指数といえば、金利の処理がよくテーマに上げられます。”複利”という考え方は重要で、これを理解せずにお金を借りようものなら、地獄の底の底、一月91000ペリカで暮らす地下での強制労働が待っています。逆境無頼「カイジ」というアニメでは、借金の話がひっきりなしに出てくるので、鬼のような金利がいくつもあります。アニメの中では一瞬でその計算が行われていますが、その計算についていけてる人はほとんどいないでしょう。指数と数列の話を学んでいるのなら次の計算を手でやってみて、シリーズの話と整合性を確かめてみるのは面白いかもしれません。限定ジャンケンのゲーム時間は4時間。1000万を元手に10分1.5%の複利で増え続けるとするとき、最終的な金利の合計はいくらか。パチンコ”沼”における遠藤さんの10分3割複利1000万円を元手に10分3割複利で金利を回す。92分後にゲームが決着したら借金はいくらか。これらの金利を、通常の貸し金業者の金利と比較してみると、登場人物たちの嘆きがよくわかると思います。終わりに数学の自由研究で短時間でできそうなものを上げてきましたが、中には少し厄介なものもあったかもしれません(中には自由研究としてふさわしいのかどうか怪しいものもあると思います。その場合は学校の先生と要相談......)。今後新しく思いついたものがあれば、どんどん更新していこうと思います。ための夏休み数学自由研究の題材を考えてみた夏休みの自由研究といえば、アイデアがなかなか思いつかず大変な思いをしている人が多いと思います。中学生・高校生が自由研究をするテーマとして面白いものを考えてみました。気に入ったものがあればご自由にお使いください。いったものを出題する公立進学校や難関私立に合格したい、という方へ。問題で習得しておくべきテクニックを紹介します。数学・物理を学ぶ、教える個別塾にて数学嫌いの生徒に対し何を意識すれば効果的な指導ができるか。今回は、個別塾にて数学嫌いの生徒を指導する際に気をつけたほうが良いポイントを自分の塾講師の体験談をもとに話していきたいと思います。数学・物理を学ぶ、教える数学苦手な理系現役生が、合格を勝ち取るために夏休みに勉強すべきたった1つのこと理系の生徒と言っても、理科が大好きで数学は得意ではない、という人は多いと思います。夏休みは部活を引退した人たちにとっても絶好の勉強時間ですが、何から手をつけていいいかわからなくなることも多いのではないでしょうか。こと数学において念頭に置いておきたい、たった二つのことを紹介します。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメント名前メールアドレスサイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。最近のコメントカーティスの定理を高校数学の範疇で証明する。指導経験:塾講師として4年間。中学1年生から高校3年生まで経歴:文系の私立大学を卒業後、1年間予備校で勉強して、理系の国公立大学に進学。そのまま学部・修士を卒業、博士に進学。死ぬ前に食べたいもの:日○屋の担々麺コメント:眠らないウサギになれたらなぁ。質問・悩みお待ちしています。