物理・数学の問題に少しでも近寄れるようになるために。2019.07.30問題8^n+nが2^n+nで割り切れる正の整数を全て求めよ。回答に入る前に、この問題の感想を述べると、個人的には本戦の問題にしては平易であると思います。解いてみるとわかりますが、変形を一発かませれば方針は自然と見えてきますし、その変形の発想は数字をみていれば自然と生じてくると思います。いう意味では、東大や京大などの旧帝大の入試問題としても十分に使えるレベルの問題であると思います。解いていない方がいれば少し考えてみると良いかもしれません。(2^{n}+n)(4^{n}-n\cdot2^{n}+n^{2})-n^{3}+n$$題意を満たすn(n≧2)についての必要十分条件は、-n^{3}+nが2^{n}+nで割り切れることである。ここで、n≧10のとき以下の式が成り立つことを示す。1124より成立(2)n=k≧10とする。このときn=kについて$$|-k^{3}+k|<2^{k}+k$$が成り立つと仮定する。|-k^{3}+k-3k^{2}-3k|<|-k^{3}+k|+3k^{2}+3k<2^{k}+3k^{2}+4k$$ここで、n=k+1とした時の示すべき不等式の右辺と上式の最右辺の差を考える。2^{k+1}+k+1が成り立つ。(1)(2)より数学的帰納法により、n≧10を満たすすべての自然数nについて$$|-n^{3}+n|<2^{n}+n$$を示すことができた。この結果から、8^n+nが2^n+nで割り切れるためには、nが1~9のいずれかの自然数でなければならない。2^{n}+n$$であることが必要だからである。ゆえに、あとはn=1からn=9までを代入すれば良い。6が求めるものである。議論の不備・誤りを発見されましたら、ご指摘よろしくお願いします。最後まで閲覧いただきまして、誠にありがとうございます。数学オリンピック二進法が隠された奇妙な整数問題(数学オリンピック日本本戦2016年第3問)を解いてみた。数学オリンピックの日本本戦2016年第3問は、JMO王国という謎の王国が登場して、国民同士の徴税を行うという奇妙な問題です。一見すると手のつけようがないのですが、よく考えれば問題の背景に二進法が隠されていることがわかります。整数問題を解く第3回近畿大学数学コンテストの整数問題を解きます。数学コンテストのA問題は高校数学の知識で十分解くことができるように作られています。チャレンジしてみてください。数学オリンピックメネラウスの定理と補助線でオリンピック難角問題を解く。2003年数学オリンピック日本本戦第1問を解いてみました。メネラウスの定理・補助線をうまく使うと綺麗に解くことができます。スポンサーリンクカーティスの定理を高校数学の範疇で証明する。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメント名前メールアドレスサイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。最近のコメントカーティスの定理を高校数学の範疇で証明する。指導経験:塾講師として4年間。中学1年生から高校3年生まで経歴:文系の私立大学を卒業後、1年間予備校で勉強して、理系の国公立大学に進学。そのまま学部・修士を卒業、博士に進学。死ぬ前に食べたいもの:日○屋の担々麺コメント:眠らないウサギになれたらなぁ。質問・悩みお待ちしています。