ためるね、ようこちゃん。角の二等分線と二辺の比の関係。上から下はよく使うけど、下から上にはなかなかいかないよね。BCN\)が証明できちゃうんだ。うん、まさにそういうことだったよ。他にも証明する方法はたくさんあるけど、これがスマートだよね。それにスッキリするし。うん、確かにスッキリした。このスッキリする感じが初等幾何の醍醐味でね。ベクトルとか座標平面に置いちゃうと、無味乾燥でしょ。その分計算問題に落とし込めるからいいんだけど、時間があるときは幾何で鮮やかに解いてみるのも楽しいと思うよ。いうのは楽しいかなぁ。次はこんなのどうだろう。\beta\)とする。\frac{DP}{CP}$$を証明せよ。ポイントは、必要以上に多くの情報を導かないことだよ。言ってもこれが一番難しいことかもしれないんだけどね。何が必要か、何が答えに直結するかは最初はわからないもんね。後半の証明、面積の関係と辺の長さは有名だね。\(AB\)はどちらの三角形においても底辺になっていて、それを共有しているから、高さと対応している辺同士が面積の比になっているっていう。いう補助線を引くとわかりやすいかな。\frac{DP}{CP}$$だよね。ポイントは前半をどうやって証明するかだけど。\sin{\beta}\)と表して計算したくなるんだけど、多分、違うんでしょ?いやいや、いいと思うよ。辺の長さを仮定しても、一般性は失わないからね。問題はそこからどう発展していくか、だけど。式をみると\(\tan\)があるから、こんな補助線を引いて\(\tan{\alpha}\)とかを見やすくしたいんだけど。実は、タンジェントを一旦忘れて、それぞれの三角形の面積を求めることに集中した方が近づいていくと思うよ。ようこちゃんのファインプレーのおかげで、準備はほとんど整っているんだけどなぁ。確かに片方はすぐに求められるけど。ようこちゃん、この四角形、ただの四角形じゃないよ。ん〜、円に内接する四角形だよね。180^{\circ}-(\alpha+\beta)\)なんだ。それなら、2つの三角形の面積が求められそうだよ。\tan{\alpha}\tan{\beta}$$となって、証明終了!うん、いい感じ。初等幾何で大事なのは、パワフルな計算よりも繊細な視野だからね。次はようこちゃんのお家芸、ベクトルの問題にしよう。\vec{0}\)が成立しているとする。\overrightarrow{OC}\)の関係式を求めよ。A\)の大きさを求めよ。ベクトルの問題は、計算だけで全て突破するって考えることもできるけど、時には計算からわかることを図に表して考えていくことも大事だよね。この問題はどこかで見たことあるなぁ。問題集とかに載っているかもね。ベクトルの扱い方を確認する上では役にたつ問題だからね。P\)の幾何的な意味を考える必要があるね。中心からの垂線だと、ちょうど辺の中点に位置するっていうのが重要かな。\overrightarrow{OC}\right)$$が成り立つんだね。これを問題の等式に代入すれば(1)は解決。\vec{0}$$になる。ようこちゃん、ベクトルは無双だね。(2)もどうぞ!(2)は、(1)で求めたベクトル方程式をどうやって使うかが問題だからね。この式をパッと見ると、三平方の定理が思いつくよね。係数だけ見ると有名な比になってる。それって偶然じゃなくて、ちゃんとそうなるように問題を作っているんだよね。こっちもそれを活かして解いてあげよう。3\overrightarrow{OC}$$こうやって移項するのが筋っぽい。24\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}$$ってなる。90^{\circ}\)。45^{\circ}\)だね。最後に円周角を使って求められるってところが面白い工夫だと思う。ベクトルに三平方の比が入ってきたり、やっぱり、面白い問題を作るなぁ、って気がするね。類題も含めていろんな問題集に使われているんだね。いえば、面白いっていえば、これも違う意味で面白いかも。簡単そうに見えるけど、実は奥が深いって問題。直角三角形に半径\(r\)の円が内接していて、三角形の3辺の長さの和と円の直径との和が\(2\)となっている。このとき以下の問に答えよ。この三角形の斜辺の長さを\(r\)で表せ。\(r\)の値が問題の条件を満たしながら変化するとき、この三角形の面積の最大値を求めよ。簡単そうに見えるけど、何かからくりがあるんだよね。ま、何はともあれ図を描くか。三角形の内接円といえば、面白い性質があったよね。それを使ってパラメータを決めていく?ああ、中学数学でよくやるやつだよね。円外の一点と接点を結ぶ2つの線分の長さが等しいっていう。それを使うと、こんな感じかな。ようこちゃんは、その線分の長さをパラメータにおいたんだね。すると、斜辺の長さは\(a+b\)だ。これで、問題の条件を1つ使えるようになったね。三角形の周の長さの和と直径の和が\(2\)になっているという条件だ。1-2r\)と求められるね。