k\overrightarrow{HG}$$ってことだよね。\overrightarrow{OA_{6}})$$という感じ。掴みきれていないなぁ。ここが頭の使い所だよ。定点をどう扱うかってことだよ。条件を満たすどんな直線でもその点を通るってことでしょ。定点は必ず、交点にもなっている。交点は、ベクトルの十八番じゃん。ことは、この\(X\)を別の条件で試せばいいってことかな。現時点ではまだ定点が存在することはわかっていない(それを証明しようとしている)から、\(X\)と置くのは危険だね。\(Y\)とおいておくよ。垂心と重心を考える三角形を変えればいいってことだから、いっそ、垂心と重心となる三角形を逆転させてしまおう。\(△A_{1}A_{2}A_{3}\)の重心を\(G^{\prime}\)、\(△A_{4}A_{5}A_{6}\)の垂心を\(H^{\prime}\)とする。m\)があればいいわけだね。それが両方とも同じベクトルで表せれば、定点候補になる。\frac{3}{4}\)になる。\overrightarrow{OA_{6}}}{4}$$だから、これが定点じゃん!そう、それが”定点候補”だよね。それを発見したようこちゃんはすごいけど、まだ、それは定点になってない。2つの直線の交点を見つけただけだからね。それが定点であることをどうやって示す?あっそうか。これで終わりかと思っちゃった。確かに一般性は欠いていたね。6\)に対応するとするよ。\overrightarrow{OA_{c}}\)で垂心をとり、他ので重心をとるとする。f\)がどういう風に割り当てられても、必ず同じ点になる。この\(X\)は定点だね。\(k=\frac{3}{4}\)を発見するために、2直線で交点を作ったんだね。勘のいい人はすぐにこれを予想できたかも。予想できちゃうと、時間と回答スペースを大幅に削減できるから。\overrightarrow{OA_{f}}}{6}$$を作ればいいって予想できるから、\(k=\frac{1}{2}\)とすればいいことが見えるから、比較的簡単だってことなんだね。これで、ついでに文系の問題も解いちゃったね。今、ようこちゃんが解いたように、定点問題では定点が予想できればそんなに難しくないんだ。それが定点となることを示す。2つの条件で2つの直線を作って、その交点を求める。その交点がどんな点となるのかを考える。その交点が定点となることを示す。漠然としているけど、こんな感じかな。うまい感じにまとまってると思うよ。これが定点問題か、じゃあ、もう1問。B\)があり、点\(P\)はこの円周上を動いていく。\(Q\)から直線\(AB\)に平行に引いた直線が円周とふたたび交わる点を\(S\)とする。このとき、直線\(RS\)は1つの定点を通ることを証明せよ。なんか複雑なことをしているように見える。文字を追っていると何をやっているのかよくわかんないよね。この問題、はっきり言って、難問だと思う。今日、解いてきた問題の集大成としてはふさわしいよ。ようこちゃん、頑張って解いてみてよ。頑張って、と言われてもなぁ。定点問題で、どこが定点になるかわからないから、違う条件で作図してみるよ。この図で、\(X\)が2直線の交点だね。B\)と関係ありそうなことでは、直線\(AB\)上にある気はするけど、なんとも言えないなぁ。一度引きなおしてみようかな。うん、これはやっぱり、直線\(AB\)上にあるよ。直線\(AB\)上にあるってだけじゃ、\(X\)が定点になるとは限らないか。なんか\(BX\)の長さが一意に決まってることもわかれば完璧なんだけどなぁ。\(BX\)の長さがいつも等しいという2つのことが証明できれば、\(X\)は定点になる。