この問題、かなり巧妙で、どんな\(r\)でもいいってわけじゃないんだ。問題文にも”\(r\)を問題の条件を動かしながら変化するとき”としか書いてないから、\(r\)の範囲にまで頭が回らないかもしれない。実際、\(0<r<\frac{1}{2}\)だったらなんでもいいってわけでもないんだよ。確かに、少なくとも斜辺の長さは円の直径、\(2r\)よりは大きいもんね。さぁ、ここが勝負所だね。京大に合格するか否かの分かれ道。\(r\)の範囲を決定づける条件はなんだろう?\(r\)の範囲か。問題文の条件、が存在すればいいんだよね。b\)の値がそれぞれ正の値で存在すればいいってことなんだけど。2つの値が正の値で存在する条件、、、。あ、ようこちゃん、なんかいいことに気づいたっぽいね。r-r^{2}\)なんだよ。これは実数解の存在条件が使えるんじゃないかな。0$$という二次方程式が2つの正の解を持つような\(r\)が、問題の条件を満たす\(r\)の条件なんだ。お見事、ようこちゃん。この条件の確認が難関大でよく”隠れて”出題されるものなんだ。自分でパラメータを設定して問題を解くとき、この確認を怠って失敗することがあるから、注意しないと。見事と言っても、最初私は気づかなかったんだけどね。実際にこの条件を調べてみるよ。>0$$とするのが簡単かな。0\)だから$$0<r<1$$だね。\frac{1}{2}\)だ。$$を満たせばいいってことだね。\(r\)はこの条件を満たしながら動く。すると面積の最大値は何かな?う〜んと、一応図を書くとこうなってる。\frac{4-\sqrt{14}}{4}\)のときに最大だね。これを\(S\)に代入するかぁ。ようこちゃん、”計算能力”の見せ所だよ。この意味は?わかってるよ。計算能力とは、複雑な計算を正確に計算することだけじゃなくて、”いかに計算ミスが減る道筋を発見できるか”のことである。\(r\)の満たす方程式から次数を減らすって計算方法があったね。代入する必要なかったんだ。この計算方法が大事だよ。問題集でも次数下げで計算する問題は載っているけど、そういう問題が出たときだけこのテクニックを使うんじゃなくて、使える場面を自分で察知して計算する力を身につけないとね。