必要な辺の長さを加えておこう。図がごちゃごちゃしちゃうから、いらない辺の長さは消しちゃうね。\frac{1}{2}(a+b)^{2}\cos{\theta}\sin{\theta}$$だね。2(a+b)\sin{\theta}\cos{\theta}$$が成り立つ。うん、そこまではいいよ。a\sin^{2}{\theta}$$ふむふむ。ここで、さりげなく条件が適用できそうだね。45^{\circ}\)ってことだね。この場合は\(AB=AC\)になっちゃうから不適切ってことか。\frac{b}{a}$$が満たされなきゃいけない。\sqrt{\frac{b}{a}}$$で、台形はどんな形だ?それを調べるためには、台形の辺の長さを調べるのがいいかな。a+b\)で、長方形、かな?まだ、結論するには早いよ!あっ、そうか。辺の長さを比べないとね。え〜と、相加・相乗平均かな。\sqrt{ab}$$だから、うん、正方形にならない。このやり方だから大変になったんだろうな。エレガントに解ける解法があると思う。入試の本番では、エレガントに解ける解法より、25分~30分で思いついて確実に解ききれる解法であれば、なんでもいいからね。ようこちゃんの選んだ解き方は、複雑すぎることもないし、十分試験内で対応できる方法だと思うよ。私の場合は、確実に解けそうな解法に食らいついちゃうからなぁ。〜に、簡単に解ける方法も思いつくけど。計算能力が大事なんだよね。今日は、こんなところかな。平面図形の重要な問題をやっていないよ。やった気がするんだけど。”定点問題”をやってないよ。え〜と、どんなのだっけ。ある条件に従う直線が、その条件を満たす限りにおいて常に”定点”を通ることを証明する問題だよ。やっておかないと、どうやって証明するかもわからない問題で、難問になりやすいよ。あとちょっと頑張るか。A_{6}\)がある。\overrightarrow{OH}\)となるように点\(H\)を取れば、点\(H\)は\(△A_{1}A_{2}A_{3}\)の垂心であることを示せ。6)\)のうちから3点にえらぶ。えらんだ3点を頂点とする三角形の垂心と、残りの3点を頂点とする三角形の重心とを通る直線は、3点のえらびかたに無関係な一定の点を通ることを示せ。三角形の各頂点からその対辺にひいた3つの垂線は1点で交わる。この交点をその三角形の垂心という。ちなみに、文系の問題では、(i)がなくて”垂心”が”重心”になっているね。重心だと難易度が下がるし、文理の入試問題として最高の使い分けだと思うよ。(i)はすぐに解けそうなんだけど、(ii)はちょっと見当もつかないなぁ。ようこちゃん、なにはともあれ、でしょ。なにはともあれ、図を描いてみようか。え〜と、(i)はようこちゃんにとっては楽勝?多分、、、。やり方はわかる気がする。\(\overrightarrow{A_{1}H}\)が\(\overrightarrow{A_{3}A_{2}}\)と、\(\overrightarrow{A_{2}H}\)が\(\overrightarrow{A_{1}A_{3}}\)と垂直だってことを言えばいいね。垂直をいうには、2つのベクトルの内積が0だってことを言えばよくて。0$$半径が等しいからね。\(\overrightarrow{A_{2}H}\)と\(\overrightarrow{A_{1}A_{3}}\)の内積も同じように計算できるから、点\(H\)は\(△A_{1}A_{2}A_{3}\)の垂心で間違いないね。うん、そんな感じだね。攻めるかが難しいところ。ま、とにかく図を描くよ。なんか、魔法陣みたいだね。六芒星っぽくなっちゃった。それに、あんまり、図は参考にならない気がするなぁ。定点の見当がつけばいいけど、どう?真っ先に思いつくのは、中心\(O\)とかだけど、この図ですらまともに通っていないから、違うっぽい。3点が作る三角形の重心と別の3点が作る三角形の重心だったら、必ず6角形の重心を通るんだけどね。定点の問題って、予想がつけばそれを証明しにいけばいいんだけど、大抵の場合、どこが定点になるかわからないよ。文系の問題は比較的易しいってことなんだけど、この問題は、じゃあどうするってことだよね。なにを使って証明するか決める?まぁ、ベクトルを使いたいかなぁ。一応(i)を信頼するならね。\overrightarrow{OA_{6}}}{3}$$だけど、だからどうなのって感じ。良〜し、じゃあヒント。定点候補を点\(X\)とおいてみようか。文字を使ってもいいよ。