片方の接続が平坦な場合の双対接続の式まず(1)式に接続係数0を代入すると以下の式が成立する。接続係数が不変となることが分かる。以下の式はのちほど利用するため明示的に述べておく。座標の変換は以下の式で表されるのだった。偏微分すると以下のようになる。座標におけるRiemann計量を凸関数を用いずに表すことが出来た。最後に、接続係数の座標変換について述べる。座標系への接続係数の変換式は以下のようになる[2]。座標変換式に関してはほとんど情報がない。EMANさんのサイト[3]がヒントになったので、それを参考に変換式を導出してみる。和の記号はEinsteinの規約により省略する。ここで、Riemann計量の座標変換式を利用する。これもEMANの物理学[4]から式を引用する。これを代入し、さらに左辺を添え字を下げた記号に置き換えると以下のようになる。準備が整ったので本題に入る。変換する式を考えてみる。1つ目の等号は式(6)から、2つ目の等号は式(5)から、3つ目の等号は偏微分の連鎖律から、5つ目の等号は式(2)(4)から、6つ目の等号は式(3)からそれぞれ得られる。右辺第2項と左辺が一致するため、任意の点において右辺第1項は0でなければならない。右辺第1項に式(4)を適用すると以下のようになる。