標準凸関数になるのだろうか?以下で確かめてみよう。それぞれ以下のようになる。値はそれぞれ以下のようになる。標準凸関数であることが分かった。正測度空間ここで、後の議論のために必要な正測度空間*5に言及しておく。外すことで得られる空間であり、以下のように表すことができる。正測度空間にも確率分布の空間と同様にfダイバージェンスを定義できる。ダイバージェンスは以下のように定義できる。標準凸関数であることが必要らしい。標準凸関数でないとダイバージェンスの定義を満たさなくなるようである。双対平坦空間を導く不変で分解可能なダイバージェンスここまでで確率分布の空間や正測度空間に導入される不変なダイバージェンスとしてfダイバージェンスについて説明した。幾何学的構造が不変性を持っていると望ましいと思う一方で、情報幾何学的な議論を展開する上でやはり双対平坦性は欠かせない。不変性を持ち、かつ双対平坦空間を導くような良いとこ取りなダイバージェンスは存在しないのだろうか?この疑問の答えを与えるのが以下の定理である[1]。それ以外にはない.この事実こそがKLダイバージェンスを唯一無二の特別なダイバージェンス足らしめるのである。正測度空間の場合ここで話を正測度空間にまで広げると、他にも双対平坦性を導く不変で分解可能なダイバージェンスが存在する。それを説明するために、以下のような関数を考える。各座標を以下のように変換する。この時、以下の定理が成立する[1]。ダイバージェンスが両立することの雰囲気だけ説明しておく。以下のように定義する*6。以下のように定義する。ダイバージェンスになる*7。確率分布の空間が正測度空間の部分集合であることに着目すると、KLダイバージェンスの特徴付けについては正測度空間の特別な場合として説明できる。