元を選べば良いということを意味する。凸関数であり、これを双対凸関数と呼ぶ。Legendre変換の逆変換はLegendre変換そのものである。これより、双対性というのはあくまで相対的な概念に過ぎないことが分かる。双対凸関数が凸関数であることは自明ではないので、以下で証明してみよう。関数であると考えると、2階導関数は以下のようになる。代入すると以下のようになる。これを代入すると以下のようになる。上に凸なら常に負、下に凸なら常に正となる。少々くどいかもしれないが、1変数のときと同じ議論を多変数についても行ってみよう。対して必ず異なるベクトルとなる。勾配ベクトルが取り得る値の間に一対一の対応関係が得られる。成す空間のことを双対空間と呼ぶ。ことを双対空間と呼ぶ。これをLegendre変換と呼ぶ。おいては、勾配ベクトルが零ベクトルとなる必要がある。