代入、式を整理すると(図1)のニュートンの公式が得られる、たぶん。<参考リンク>知っておきたい撮影レンズの基礎〜レンズ選定編〜東芝テリーhttp://www.toshiba-teli.co.jp/products/industrial/info/t/files/t0005_Lens_Terminology_j.pdf産業用デジタルカメラの技術資料です。普通のデジカメとは異なることがあるかもしれません。「レンズの公式」あたりでWeb検索するとたくさんヒットするでしょう。慣例でしょう、レンズを挟んで、被写体側を左、像(フィルムやイメージセンサー)側を右に配置します。光は被写体から像へ、左からレンズを通って右に向かいます。本格的な光路図は、レンズに入る光、レンズから出る光、その屈折をちゃんと描いた図ですが、ここでは超簡略化、レンズは厚みがないと仮定して、レンズ位置でいきなり屈折することにします。「薄肉レンズ」「レンズの主点」と呼ぶこともあるようです。本格的な光路図は、縮尺(図での距離)や屈折の角度なども意識して描くようですが、課題の理解に差し障りがなければ適当で済ませます。被写体とその像のつもりで上または下向きの「矢印みたいなの」を描くことがあります。像面を(正面でなく)側面から見たような図では、本当は矢印の形は見えません。本格的な光路図では描かれないモノかもしれません。被写体のあらゆるところから四方八方へ光は出ます。それらの光は空気中では一直線に進むかのようなので、その光の直線を光線と呼びます。写真に写るのは四方八方へ広がる無数の光線の中の、レンズへ届き、レンズで屈折して像まで届いた光線です。これらの光線をひとまとめにして光束と呼びます。像に達した光線はフィルムやイメージセンサーに遮られてそこまでですが、図では通り抜けているように描くことがあります。レンズに届く光線の中でも、光軸と一致した光線、光軸に平行な光線、レンズの有効径(直径)の端を通る光線などを特に選んで図に描きます。それらもすべてでなく、図の目的に応じてさらに選んで描きます。レンズの有効径の上端と下端を通る光線だけを描くことが多いですが、光束としてレンズの有効径内のすべての部分を通る光線を含みます。被写体のあらゆるところから発する光線も、被写体の上端や下端、光軸の所など、図の目的に応じて選んで描きます。被写体の一点から発した光束はレンズへ向かって発散し、レンズで屈折し、合焦点で収束(集束)し、合焦点を過ぎるとまた発散します。写真の慣例では「無限遠」と呼ぶ、超とっても遠くにある被写体からの光を想定した光線、複数本の平行な光線として描くことがあります。実際には写真に撮れる被写体、遠くにある月でも恒星でも距離は有限です。できるだけ「無限遠」は避けて有限の距離として扱いたいですが、図に描こうにも横幅に限りがあるパソコン画面やプリンタ用紙に収まりきれません、たいていは。状況に応じては「平行な光線」で間に合わせます。図中に点や距離・長さを示すのに英字も使います。「焦点距離は"f"」など慣例もあるようですが、"f"は「F値の"F"」と紛らわしいので"L"にしたり、自分の都合で勝手に決めています。[被写体は"H"]、ピントのあった[像上の点は"Z"]、いずれも光軸上の点です。点を示すとともに距離を、この場合は[被写体距離]や[像距離]を示すこともあります。"Hf"や"Hn"、それぞれ[ピントの合った被写体より遠くの点・被写体側遠点(距離)][近くの点・被写体側近点(距離)]、"far"や"near"からのつもりで使ってます。"Zf"や"Zn"は対応する"Hf"や"Hn"からのソレで、"Zf"は"Zn"よりレンズからの距離は小さく、逆になります。光路図まがい?】たとえば、像倍率の式を導き出すのに[(1)像倍率?]の左の図で良いのだろうかって疑問。レンズの公式と像倍率】ではいろいろ書き込んであるけど、像倍率には焦点距離は関係ないからそんなのは省いちゃえ。三角形の相似から導き出すには、これ以上はない簡潔な図。何か足りないような、これでも良いような、よくわからん。被写体の上端と下端から出てレンズの中央を通る光線、屈折はしないとの前提で対応する像の点に届く。レンズは省いてあるけど、仮にレンズでなくただの平板ガラスでも「被写体の上端と下端から出て平板ガラスの中央を通る光線」だけを選択して描けば同じ図になる。これと同じような図、<参考リンク>のニコンのWebにも、像倍率ではなくて「焦点距離と画角」の解説に。違うのは像側のイメージセンサーの四角を被写体側に投影してる点。「像倍率」では被写体を像側に投影。似てても違うモノ、かな。針穴写真機(ピンホールカメラ)の図も思い浮かびます。針穴を描かない針穴写真機の図はおかしい。考えると、小さな針穴でも、大きさはある。それを意識して描いたのが[(2)針穴写真機]の図。被写体の上端と下端から出て針穴の上端と下端を通る光線、だから像?はピンボケになる。針穴の中央を通る光線だけなら、ピンボケの説明はできないし、上の平板ガラスの例と同じにも。教科書にどんな図が載っていたか、今となっては知らないけど、[(1)像倍率]の図と同じような針穴の中央を通る光線だけの図は、像?は上下が逆さまに映ることの説明の図だったかも。純粋な幼心にはあまりにもインパクトが強くて、針穴写真機の図と思い込んでしまったのかも、と思わなくもない。現象の本質を表す式、まずこれが頭にあって、この現象を示す最低限の選択をしたもっとも簡略な図。本当は、図から式を導き出すのだけど、逆に式から図を描いた、そんなことかも。光路図に描く光線が最適な過不足ないソレか、思考が逆向きに働いた図ではないか、気を付けて描かねば。似たようなことをボケの説明の図でやるつもりなので、あらかじめ・・・。簡単な式では"×"や"÷"を使うことがあります。割り算を含む複雑な式では、パッと見の視認性は「分数」で表した方が優れていると感じますが、価格コムの縁側の本文には「分数」や「累乗」の記述は難しいようなので図に記述することがあります。「VBS」と呼ぶ簡易プログラミング機能が備わってます。複雑な式は(普通の数学のソレとは少し違いますが)VBSの規則で記述することがあります。"×"は"*"、"÷"と"分数の横棒"は"/"、"AのB乗"は"A^B"、"Aの平方根(√ルート)"は"Sqr(A)"あるいは"A^(1/2)"または"A^0.5"などとなります。数式をVBSで実行できる形で書くと、数値シミュレーション、数値を設定して計算実行、結果の数値を得ることができます。<式の導出>など、数式に別の数式を代入したりして複雑にこんがらがった式から整理した式を得る時、途中の経過は省くことがあります。数値シミュレーションを利用すると式の整理が間違っていないか確かめながら進むことができます。VBSの式は、他のプログラム言語や表計算ソフトのMS-ExcelなどのVBAとも似ているので、MS-Excelでも流用しやすいかと思います。VBSの使い方などは"Script56.CHM"を。MicrosoftのWebにも同様の情報はあります。Microsoftは既に「VBSは過去のモノ」の扱いのようです。無理して学ぶ必要はないモノかもしれません。計算の順序やパッと見をわかりやすくするのに、括弧"()"やスペースを加えることがあります。VBS形式での括弧は"()"だけを使います。計算できないとか、被写体距離や像点距離は焦点距離以下にはならないとか制約がありますが、明示しないこともあります。負の距離や長さは、これを許すと便利な場合があるので使うことがあります。「無限遠はない」ですが、「超とっても遠くの距離」を「無限遠に近付く」みたいに本文中に記述することはあります。"相似の三角形"で対象にするのは"辺の長さ"ですが、底辺に対する"高さ"も対象にしてます。間違いではないでしょう、たぶん。一応、中学程度の数学で理解できるように三角関数を使わないで済むなら使いません。してもって場合があるかもしれません。等幅フォントのエディターで本文は書いてます。プロポーショナルフォント表示のWebブラウザでは表示が崩れるかもしれません。行頭から同じ文字が続くと価格コム側で削除する仕様があったような気もします。...(式2)=======================================ボケ量は、背景の点状のモノがボケて円盤状に写る、その円盤の直径を"ピント位置の被写体(主被写体)"の所、ポートレートなら顔の所に置いたモノサシの目盛で読み取ったとした値。レンズの有効径は、レンズを正面から覗き込んだ時の光の通る穴、絞り穴の直径。被写体側レンズ主点からの距離、一眼レフなどの撮影距離は像面からの距離ですが、ある程度離れると、両者の違い、計算への影響は少なくなります、と思います。...(式3)=======================================(式1)からわかることは、(a)背景ボケ量はレンズ有効径に比例(b)被写体距離が長くなると、分数の項が大きく、分数の項は引き算だから括弧の中は小さくなって、背景ボケ量は小さくなる。(c)背景距離が長くなると、分数の項は小さく括弧の中は大きくなって、背景ボケ量は大きくなる。(d)背景距離がどんどん遠く無限遠に近付くと、背景ボケ量はレンズ有効径に限りなく近づく。「無限遠」を許せば「背景ボケの最大値はレンズ有効径」。(式2)からわかることは、(e)背景と被写体が近付けば背景ボケ量は小さくなるそして大事なのは(f)焦点距離もセンサーサイズ・画素ピッチも関係ない!!!「望遠レンズの方がボケやすい」「センサーサイズが大きい方がボケやすい」みたいな俗説も、レンズ有効径の違いで説明できます。(焦点距離とF値から計算せずとも、レンズを覗き込めばわかるでしょう)たとえば焦点距離の違うレンズ、たとえば同じ有効径25mmの50mm/F2.0と100mm/F4.0では、同じ所から撮影するとボケ量は同じになります。100mmはボケの大きさが画面に占める割合は倍になりますが、モノサシの目盛も倍になるのでボケ量の値は同じです。画面に占める被写体・人物の大きさを同じに撮る場合、[被写体距離]が変わります、100mmは50mmの倍、50mmで2mなら100mmでは4m。カメラを前後させて[被写体距離]を変えると[背景距離]も変わります。そこで(式2)を適用すると[背景と被写体との距離]は変わらず変わるのは[背景距離]だけ。有効径が同じなら望遠になるほど背景が遠くなるので、ボケ量も小さくなります、感覚的には馴染めないかもしれませんが。>>>50mmの背景距離を10m(10000mm)とすると、100mmの背景距離は1.2倍(=12000mm÷10000mm)ですから、有効径も1.2倍あるいはF値なら"1.2分の1"で同じボケ量です。有効径30mm(=25×1.2)、F値3.3(=4.0÷1.2)になります。焦点距離もF値も中途半端に違うレンズ間では、(式3)から計算、評価します。使い分け、(式1)(式2)は理解のために、(式3)は実際に計算する時にってことでどうでしょう。式の項数を増やしてわざわざ面倒に、焦点距離とF値を使いたいなら式(式3)を。ボケ量の評価は二通りあります。ボケ量を測るモノサシを置く場所の違い。ひとつは像面、フィルムやイメージセンサー上でのボケ量を、コンマゼロ何ミリとか、何画素ピッチとか、極めて小さな値を脳内で膨らませます。四角形のイメージセンサーの対角線長の何千分の一みたいにも。導出した式には焦点距離が含まれますし、画素ピッチやセンサーサイズが必要になることも。Zb=D*L*(1-H/Hf)/(H-L)もうひとつはピントの合った主被写体の所、上の(式1)〜(式3)。パソコン画面の縮小表示でもピクセル等倍拡大表示でも、Lサイズプリントでも特大サイズプリントでも、値は同じになります。拡大縮小の度合いに応じて画面やプリントに当てたモノサシで測る大きさは変わりますが、主被写体の所のモノサシの目盛りも拡大縮小に応じて拡大縮小されるのでボケ量の値は同じです。(式1)Hb=D*(1-H/Hf)かたや顕微鏡レベルで式も複雑、かたやmmやcmの実社会レベルで式の項数も少なく簡単。ふたつのどちらが実用的は明白、「ピントの合った主被写体の所」の方。後述の<式の導出>の手順では、[像面でのボケ量]を像倍率で割って[被写体面のボケ量]を得ています。<式の導出>が済んで結果の式(1)〜(3)がわかれば、「被写体面のボケ量」に像倍率を掛ければ[像面でのボケ量]得られます。[(1)背景ボケの図]と[(式2)]をじっくり見て、焦点距離も像の部分もいらないならレンズより右側をバッサリ切り捨て、緑色の主被写体から発する光線も消して、レンズと左側をちょっと修正して描くと[(2)背景ボケ簡略図]。左端のHfで頂点が重なった二つの横向き三角形、大きいのと小さいの。大きいのは底辺はレンズ有効径、小さいのの底辺が求めたいボケ量とすると、まさに[式(2)]そのもの。「こんな簡単なことだったのか」で納得できればソレで良し。光路図】で触れたように被写体から発せられる光線、ここでは主被写体でなく背景のボケになる点状のソレからの光線、レンズに届く無数の光線をまとめて光束と呼びます。[(1)背景ボケの図]で光束をたどると、レンズで屈折、背景面に対応する合焦点Zfで収束し、像面ではレンズ有効径の上端の光線は下に、レンズ有効径の下端の光線は像面では上に届き、この像面での下と上に挟まれた光束が"像面でのボケ"になります。光線は慣例では左の被写体から右の像へと進みますが、逆に右から左へ、像から被写体の方へたどりましょう。像面ボケの上端下端から左に進んでレンズを通って被写体面まで来ると、その位置の光束の広がりが、像面ボケの円盤を被写体面に投影したモノ、求める背景ボケです。左から右への流れに戻して、背景ボケの元の点からレンズに向かう光束を、被写体面でぶった切った、その断面が背景ボケ、納得、できるかな。[(2)背景ボケ簡略図]が頭に残っていると、直感でボケ量を評価できます、式もすぐに浮かびます、覚えるのが難しいほどの式ではないけど、まぁ便利かと。<式の導出>1.H・Hfに対応するZ・Zfをレンズの結像公式で求める。2.レンズの右側、赤色斜線の二つの相似の三角形でZbを求める。これは像面でのボケ量です。Zbを割るとHbが得られる。素直にやろうとするとかなり大変。わかるだけで、図での長さは未定、それ故Hbの矢先は赤線に接しないように意図して描いてます。接するとわかるのは、<式の導出>が済んで結果の(式2)を得、上の考察が済んだ後です。[(2)背景ボケ簡略図]では接してます。[(1)背景ボケの図]の赤斜線は相似な三角形を示すためのもので、レンズを通過した光束と一致しているのはたまたまの偶然です。光束を、「有効径の上端の光線の下側」や「下端の光線の上側」と単純に理解しないでください。光束が収束して発散すると光線の上下側の関係は変わります。...(式2)==============================================================================(#5の式1)背景ボケ量=レンズ有効径×(1−被写体距離/背景距離)=======================================背景ボケ量の式に、背景距離の代わりに前景距離を入れると、負の値になります。絶対値は(式1)(式2)の前景ボケのボケ量と同じです。=======================================Hb=D*(1-H/Hf)ボケ量=レンズ有効径×(1−被写体距離/背景または前景距離)=======================================として、絶対値を取ったり負の値は前景ボケとすれば、背景ボケ量の式で前景にも対応できます。ピントの合う被写体距離はレンズ焦点距離以下にはならない制約がありますが、前景距離は焦点距離以下にもなりえます。この場合、[図(1)前景ボケ]のようには光束は収束しません、図は適用できなくなります。前景ボケはありえます。大きなボケになることは直感で想像できますが、詳しい検討はしません、面倒なので。背景ボケ】と似たような解釈と納得できればソレまで。背景ボケ】の「図を強引に解釈」以降に相当するところに問題が。光束を右から左へ、逆にたどっても、光束は前景面の所でストップ、被写体面には届きません。青色点線で強引に被写体面まで延長したものの、無理やりっぽいこじつけの感じが。したもんじゃろ・・・。背景ボケ】の1.〜4.と似たような手順です。>>><余談>普通は「前ボケ」かもしれませんが、「背景ボケ」に対して「前景ボケ」と呼んでます。ここではボケ量だけを扱ってます。ボケの品位とでも言うのか「綺麗なボケ」とか「ふんわりボケ」とかそんなことには触れません。余談の余談ですけど、「ボケの味」についてはニコンWebの記事が興味深い。F2Shttp://www.nikon-image.com/enjoy/life/historynikkor/0032/index.htmlわかりやすいのはボケの元が明るい点状の光源の時、円盤状のボケの輪郭・円形は、レンズの有効径の縁が円形なことに由来してます、光束をたどれば理解できるでしょう。三角形や星形だと、レンズの直前にそんな形の穴を切り抜いた紙でも置くと、そこを通った光束の断面も三角形や星形になり、ボケの輪郭も三角形や星形になります。光束を部分的に遮るように障害物を置けば、レンズの直前でなくても、ボケは障害物の形を(影として)反映します。ミラーレンズのドーナツボケもコレです。インターネットの記事などと較べる時は、「被写体面でのボケ量」なのか「像面でのボケ量」を扱ったモノなのか、どちらなのか注意してください。背景ボケ】の「(式1)や(式2)でわかること」みたいなことはいろんなWebページに書いてあります。Sonyのデジタル一眼カメラのサポートより「"ぼけ"の要素」https://www.sony.jp/support/ichigan/enjoy/photo/word3.htmlデジカメWatch/女子カメWatch/背景をぼかすにはhttp://dc.watch.impress.co.jp/docs/girlscamera/entry/710779.html「望遠だとボケる」「絞り値を小さくするとボケる」みたいな文面だけをどんなに理解しても「明るい広角レンズと暗い望遠レンズ(ズームレンズ)」とではどちらがどんなかは永遠にわかりません。数式で計算することでしかわからないこともあります。・・・とここまで真面目に読んでくれた特に初心者の人がいたら、ごめんなさい。式」あたりでWeb検索しても、それっぽいWebページはあまりありません。ボケ量の式、つまり数値を得る、数値を意識して実際の撮影に臨むってことはないのでしょう、たぶん。撮影現場では、手持ちの機材でできるだけ大きなボケを得るか、あるいはボケを少なくするかですから、数値なんてど〜でもイイです、たぶん。ついてNEX-C3から買い替え暗所でのAF性能が知りたいです。