以上の議論をまとめてみる。座標系において平坦となる。説明として、本稿のように接続係数の座標変換から直接的に平坦性を示す方法を採っている記事が全く見つからなかったため、本稿の計算は完全に私が考えたものである。先人がいないということもあり、正直あまり自信がない。本[1]から結論だけは分かっていたため、やや結論ありきで論理展開してしまっているような気がする。不備にお気づきの際はご指摘頂けるとありがたい。まとめ本稿ではBregmanダイバージェンスからRiemann計量が得られ、さらにそこから双対平坦な空間が導かれることを述べた。双対平坦性の導出には少々複雑な計算を行ったが、おかげでこれまでのもやもやが少しだけ晴れたような気がする。情報幾何学関連の記事はまだまだ書きたい事が多いが、なんとか今年中には書き終えたい。情報幾何学は日本の甘利先生という方が切り開いてきた分野で、主には確率分布のパラメータが成す空間をリーマン多様体と捉えることで、確率分布族に対して幾何学的な解釈を与えるものである。情報幾何学は情報科学の一分野でありながら、微分幾何学の理解を要する難解なものである。言って、情報系の人間で可微分多様体やらリーマン計量やら接続やらを理解している人は一握りであろう。私も情報系、それも工学部の出身であるから、甘利先生の本を初めて手に取った修士2年のときは、あまりの難しさに一瞬で心が折れたのを覚えている。時は流れ、私も今ではわずかばかり数学の心が分かるようになってきた。そこで、いよいよこの難攻不落の要塞に攻めいってみようというわけである。いうわけで、本稿から始まるいくつかの記事の中で、情報幾何学における主要なトピックについて私が理解したところを書き連ねてみようと思う。本稿ではその第一歩として、Bregmanダイバージェンスとその双対ダイバージェンスについて考えてみる。ダイバージェンス情報幾何学を語る上でダイバージェンスの存在は外せない。ダイバージェンスの定義を[1]から引用する*1*2。有限次元ベクトルである。ダイバージェンスは距離の公理を満たしていない。この醜い非対称性が後に華麗な蝶へと変貌を遂げるのであるが、それは双対ダイバージェンスのところで説明する。Bregmanダイバージェンスダイバージェンスの中でも特に重要なものの1つにBregmanダイバージェンスがある。*3を用いて以下のように定義される[1]。おける接超平面の方程式は以下のようになる。差は以下のようになる。Bregmanダイバージェンスと呼ぶ。Bregmanダイバージェンスがダイバージェンスの定義を満たすことは自明ではないため、本来であれば証明すべきである。実際、ノートで計算して確かめることは出来たのだが、それをブログに書き起こす気力と時間がなくなってしまったため、ここでは割愛する。参考までに計算の指針だけ述べておく。おける多変数のTaylor展開を計算する。1次の項も計算すると0になる。Hesse行列に等しくなる。滑らかな凸関数と仮定しているため、これは正定値対称となる。Legendre変換による双対空間Bregmanダイバージェンスを定義するために凸関数が登場した。凸関数といえば皆さん何を思い浮かべるだろうか?いろいろあると思うが、凸関数にまつわる重要な概念としてLegendre変換が挙げられる。Legendre変換を行うことで、凸関数が定義された空間の双対空間、及び双対凸関数を得ることができる。最終的には多変数の場合を考える必要があるが、まずは1変数の場合から考えてみよう。対して必ず異なる値を取る。