次の等式を数学的帰納法を用いて証明しなさい。ときも1式は成立します[1][2]より、1式は全ての自然数nにおいて成立すると言えます<解説>やや冗長ですが、数学の答案に丁寧語を使ってしまうとは、優くて、おしとやかな、姫路さんらしい解答ではないでしょうか。それは、高等学校で習う数学Bにおいて、「数列」の項目の最後の方、漸化式の次ぐらいにおまけのようにくっついている証明法ですが、ええ、そりゃもう重要な証明法ですとも。迷走すると大変なことになるので、その証明法に誘導してあげている。その問題には複数の解法が考えられるが、色んな解法で答案が書かれると、後で採点するのが面倒くさいので、その証明法に無理やり誘導している。東大がよくやるのはコッチ。京大は誘導自体ほとんどしない。どちらかのパターンが考えられます。普通は、証明問題で「こんな風に証明してねー」なんて指示が付くわけありませんもんねー。自分自身の力で論理的に証明していくことに意味があるのですから。そんなわけで、大学入試においては「〜〜を証明せよ」とだけ書かれた問題文を前に、途方に暮れるわけですが、もしもその問題の変数が自然数(と0)であったならば、最終手段として数学的帰納法を使えば、無理やり解ける、場合があります。(もちろん、明らかに数学的帰納法を使うパターンの問題のときは、どんどん使ってくださいね!)概して数学的帰納法は面倒くさい証明法であるので、他にもっといい証明法が思いつけばいいのですが、どうしても証明法が思いつかないときには、取りあえず部分点狙い、あわよくば完答を狙うことができる、場合があります。※先程から「場合があります」と連呼しているのは、数学の証明方法に万能なものなどないからです。変数が自然数(と0)でなかった場合は、背理法か何かを疑ってみてはいかがでしょう。数学的帰納法は、しばしばドミノ倒しに例えられる証明法(?)です。順序良くドミノが並んでいるあるドミノが倒れたとき、次のドミノが倒れる最初のドミノは倒れるこの3つの事実があれば、ドミノはすべて倒れることは明らかですね。条件Aは、数学的帰納法を使うための前提条件です。数学的帰納法の核にあたる部分です。ここが完成すれば、数学的帰納法はほぼ完成です。いわゆる初期条件です。B→Cの順番に並べたのは私のこだわりです。数学的帰納法において、この条件を忘れると、ドミノが倒れません!(そりゃそうだ!)ちゃんと答案が書き終わったら、ドミノが倒れるかシミュレーションしてくださいね!さてさてさて、上に挙げたのは典型的な数学的帰納法でしたが、これの亜種として、上の条件B、Cをあるドミノとその次のドミノが倒れたとき、そのまた次のドミノが倒れる最初のドミノとその次のドミノは倒れるに変えたバージョンも存在します。ドミノが少し肉厚で、倒れにくかったんでしょうかね。あるドミノを倒すために、1つ前のドミノ(昨日)だけでなく、2つ前のドミノ(一昨日、おととい)も倒しておく必要があることから、「帰納(=昨日)法」に対して、「おととい帰納法」と俗に呼ばれています。上の条件B、Cをあるドミノと、それまでのすべてのドミノが倒れれば、その次のドミノが倒れる最初のドミノは倒れるに変えたバージョンも存在します。あるドミノを倒すために、1つ前のドミノ(昨日)、2つ前のドミノ(おととい)、3つ前のドミノ(一昨々日)、......7つ前のドミノ(一週間前の自分)、......365個前のドミノ(一年前の自分)、..................そして、一番最初のドミノ(この世に生を受けた瞬間)さえも倒しておく必要があることから、俗に「人生帰納法」と呼ばれています。数学の一つの証明法にすぎない数学的帰納法で、人生を表現してしまうんですから、なかなか数学も侮れませんね。