p=2と5以外の素数のとき、1/pを小数で表したものは循環小数となることがわかっている。このことは、[[ユークリッドの互除法]]や[[合同式]]と深く関わっている。以下、素数pが与えられたとして考える。このとき、1/pを小数で表したとき循環小数になったとして、その循環節の長さについて考察する。0.{a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}{a_{d+1}}\cdots{d-1}{a_d}\cdots");となったとする。この式の両辺に10SUP{d};を掛けると、次が得られる。これらの差分を取ると、次が得られる。1}{p}");も整数である。これは10SUP{d};-1がpで割り切れることを意味し、次のように表記できる。以上により、1/pの循環節の長さがdであれば、(*)が成り立つことがわかった。逆に、(*)が成り立つときには、1/pが長さdの循環節を持つ循環小数として表されることを示す。1}{p}");は整数なので、それを&mimetex("{a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}");のように表す。\cdots");~&mimetex("=0.{a_1}{a_2}\cdots{a_{d-1}}{a_d}{a_{d+1}}\cdots{d-1}{a_d}\cdots");[例]p=7のときに、上記の変形を行う。142857...)。10SUP{6};-1=999999が7dで割り切れる。\frac{142857}{10^6-1}");となる。ここで、&mimetex("\frac{1}{10^6}=0.000001");であることを使うと、次が得られる。\cdots");この等式の両辺に142857を掛ければ、1/7の小数表示が得られる。◇[例]1/97の小数展開は長さ96の循環節を持つことを確かめる。そのためには、97を法とする10の位数が96であること、即ち&mimetex("ord_{97}(10)=96");であることを示せばよい。φ(97)=96より、&mimetex("ord_{97}(10)|96");であることがわかる。[命題]「(a,m)=1とし、d=ordSUB{m};(a)と置く。m)となるための必要十分条件は、d|kである。」が成り立つからである。96の約数は1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,96である。これらの数での10のべき乗を97を法として計算すれば次のようになる。|10^1||10^2|10^3|10^4|10^6|10^8|10^12|10^16|10^24|10^32|10^48|10^96||10|3|30|9|27|81|50|62|75|61|96|1|10SUP{96};以外は1に合同ではないので、10の位数は96であることがわかる。[#g75f3151]-『算数からはじめよう!。