方向への変化量を与えるものである。作用素の記法では、括弧に入れた要素は一つの一貫した単位と考えられ、この規約は流体力学では(流体の「動く」微分としての)流体微分の言葉で縦横に用いられている。ラプラス作用素[編集]ラプラス作用素はベクトル場にもスカラー場にも施せるスカラー作用素である。^{2}}で与えられ、より一般の座標系に対してはベクトルラプラス作用素(英語版)によって定義することができる。シュレーディンガー方程式などにおいて現れる。テンソル微分[編集]∇をベクトル場に施して、結果がテンソルとなることもある。{v}}}と書くことができる。この量は空間に対するベクトル場のヤコビ行列の転置に等しい。{r}}}で与えられる。二階微分に関する全ての規則を記した簡易チャート。存在しないことを意味する。スカラーやベクトルに∇を施すと一般にスカラーやベクトルが返ってくるのだが、ベクトルの乗法は多様(スカラー倍、スカラー積、ベクトル積)だから、∇の施し方ですでに勾配(スカラー倍)・発散(スカラー積)・回転(ベクトル積)の三種類の微分が生じている。そこでこの三種類の微分に、再び各種微分を施すと可能なものが五種類出てきて、これにラプラス作用素とベクトルラプラス作用素を加えると、以下のようになる。{v}}}これらは常に一意と言うわけでも互いに独立と言うわけでもないという意味でそれ自体興味深い。{v}})}が成り立つ。注意点[編集]上で述べたベクトルの性質の大部分は(∇の微分的性質に陽に依存する部分、例えば積の法則などを除いて)記号の再配置のみに依っていて、∇を他のベクトルで置き換えても必然的に成り立たなければならない。これは∇をそれ自身ベクトルとして表すことで得られた莫大な価値の一部である。∇をベクトルで置き換えてベクトルの恒等式をしばしば得ることができるが、恒等式を直観的に作ることに関して、逆は必ずしも信用できない。∇はしばしば可換でないことが理由である。)f}であることを挙げよう。