特定の作用素を意味するのではなくて、いま挙げたような演算に対する簡便記法と考えるべきであって、これにより様々な等式が覚え易く書き易いものとなる。形式的に取ったものと見做すことができる。これらの形式的な積が、必ずしも他の作用素や積と可換であることは要求されない。z}}}で与えられる。方向の単位ベクトルである。x_{i}}}で与えられる。_{i}}と書くこともできる。表示に関しては円柱および球座標系におけるナブラ(英語版)などを参照。ラプラス作用素などであろう。{z}}}}と表せる。増加の大きい方向を指し、その点における最大増加率に等しい大きさを持つ(通常の微分と同様)。xy-平面上のベクトルとなり、勾配の大きさは、この最も急な傾きの値になる。f}が成り立つことにある。{v}}}で表されるスカラー場である。発散はベクトル場の指す方向にそれがどれくらい増加するかを大まかに測るものであるが、より精確にはその点での場の発散あるいは反発の傾向を測るものである。f)}によって示される。{v}})}とせねばならない。{v}}}で表すことができるベクトル場である。各点における回転の値は、その点に中心を持つ小さな風車の軸周りのトルク(回転力)に比例する。z\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}}として視覚化することができる。