微分形式とベクトル解析について書く。テーマは経路に依らない線積分である。ポテンシャル場における線積分について説明する。おいて、経路Cに沿った線積分を行うことを考える。Cの始点は点P、終点は点Qであるとする。存在するとき、この線積分は以下のように経路に依らない値を取る。実はこれに対応する定理が微分形式の世界にも存在する。例によって「多様体の基礎」を見てみると、以下のように記載されている。ここで、閉じた微分形式、または閉形式とは、外微分を計算すると0になるような微分形式のことである。前回の記事でgradは0次微分形式、つまり関数に対する外微分に相当するということを述べた。結果として、ポテンシャル場における線積分は閉形式の線積分によって一般化されるのである。本当に微分形式さえあればベクトル解析は不要なのではないかと思うほど、微分形式はベクトル解析をうまく取り込んでいる。今日一番言いたかったことは以上であるが、上で引用した定理について一点だけ補足する。対する引き戻しによって定義される。合成写像の積分を考えるのである。引き戻すことができ、見事に線積分が定義できるのである。大晦日ということで今年一年を振り返ってみると、後半にこれまで学んできたことの復習に重点を置いたことで、より数学に対する深い理解が得られたのではないかと思う。ガロア理論の基本的な部分に対して定性的な理解を得られたことは至上の喜びであった。来年は仕事がちょっと忙しくなりそうだが、うまく時間を見つけて数学の勉強を続けていきたい。確率・統計の分野における定理と言えばいろいろあるが、中でも...2017-11-03「リーマン積分<ルベーグ積分」という感覚を味わうルベーグ積分について調べていると、ルベーグ積分はリーマン積...2017-10-15被積分関数、下から見るか、横から見るか積分には大きく分けて2通りの方法がある。~微分幾何学的な双対平坦空間の導入~月別アーカイブはてなブログをはじめよう!peng225さんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。