r=1\end{aligned}$$でなければならない。確率密度関数となるようにできる。習った学生は、上式がベクトルをそのノルムで割って規格化することに対応しているのを理解せよ。r\end{aligned}$$として求められる。この期待値にあまり意味はない。波束として空間中を飛ぶ電子では、この値が電子の位置の時間変化を表わすことになる。座標の標準偏差を求めるようなことも意味を持つ。量子力学によれば運動量も確率的にしか決定されない。成り立つことを利用した。\end{aligned}$$として求めることができる。\end{aligned}$$とを見比べると、なんとなく納得できないこともないはず。\end{aligned}$$という雰囲気だ。計算から予想される値は実験結果を良く再現する。解析力学の授業では、1つの粒子の運動は座標と運動量によって完全に記述されることを学んだ。\end{aligned}$$とすればよい。期待値も現実的な条件の下で実数になることを後に学ぶ。は系のエネルギーを一般座標と一般運動量で書き表したものであった。置き換えたものになっている。\end{aligned}$$となる。対応する固有定常状態のエネルギーの期待値は固有値と一致することを確かめられる。上記では、「どうすれば期待値を求められるか」を説明したが、「なぜそれでいいのか」は説明していない。実は後者は今後も説明されない。理由を付けるならば、そう考えると実験結果と合うから、そしてなによりもいろいろとつじつまが合うから、ということになる。実のところ量子力学のような複雑な理論が「つじつまが合う」ように組み立てられているというのはすごいことで、「いくらほじくり返しても矛盾が生じない」という条件を付けるだけで理論の形は相当程度絞られるのである。極微の世界で起きている物理現象を学んでいく。1つ、古典論との対比をしておく。古典論ではある時刻における粒子の位置と運動量(=2つの初期値)を決めると、その後の粒子の運動はニュートン方程式によりただ一通りに決定されるのであった。量子力学においてはある時刻の波動関数を与えるだけでその後の時間発展がシュレーディンガー方程式により決定される。これは波動関数がその絶対値に位置に関する情報を、位相に運動量に関する情報を含んでいるためである。全確率密度が増えたり減ったりしてはおかしなことになる。ある点での確率密度が時間と共に変化するとしても、それは確率密度の移動(流れ)によるものであり、全密度は保存されていなければならない。全確率の時間微分を計算する。$$最後の等式はガウスの定理を用いて体積積分を面積積分に直した。それより大きな範囲を取ると考えれば問題ない。r=0\end{aligned}$$シュレーディンガー方程式に従った時間発展では全確率密度が保存されることが分かった*3全確率密度が保存されることは、線形代数学的にはハミルトニアンがエルミートであり、時間発展演算子がユニタリであることにに対応する。線形代数を用いた証明(https://dora.bk.tsukuba.ac.jp:...)。これは上で述べた「つじつまが合う」の一例になっている。ゼロでないとき、最後の表面積分はこの面から外から流れ込む確率密度を表す。\end{aligned}$$が得られる。局所的な確率密度の流れを表わす(単位面積当たり、単位時間当たりの流量)これがピンと来なければ電磁気学で学んだ電荷の保存則を復習せよ。確率密度の流れが速度演算子で書けるのは納得がいくところである。物理的な意味も大きい。全確率密度が保存されることは、線形代数学的にはハミルトニアンがエルミートであり、時間発展演算子がユニタリであることにに対応する。