新たな特性関数として利用できる。変換がルジャンドル変換である。間で1対1の相互変換が可能な場合に限られる。定義域全域にわたり上に凸あるいは下に凸であることと同義である。$$をハミルトニアンと呼ぶ。関数となっていることに注目せよ。「系のエネルギーを座標と運動量で表したものがハミルトニアンである」と言って良い。$$が成り立つことが分かる。この方程式はハミルトンの正準方程式と呼ばれる。固定した偏微分になっていることに注意せよ。偏微分を扱う際には、何で微分するかと同じくらい、何を固定した微分であるかに注意を払わなければならない。得られるため、この正準方程式はラグランジアンの運動方程式と同値であり、やはり系の運動方程式を与える。関数として表せること、を確かめられる。$$となり、第1式から運動量の定義が、第2式から運動方程式が出る。汎関数とみなして最小値を探した。それに伴い従属的に変化した。両方を自由に動かして最小値を探す問題として定式化される。このことを以下に見よう。$$を与え、これはハミルトンの正準方程式に他ならない。