数学Tweetおはようございますまたはこんにちはまたはこんばんは。今日は久しぶりに測度論ゼミのまとめを書こうと思います。測度論ゼミ:サークルの有志による測度論と積分論のゼミ。世間的に見て平易と思われる本を読んでいる。Lebesgue測度の構成と基本性質の網羅が終わり、今日のゼミから可測函数についてでした。ここでは前回のゼミまでの内容、Lebesugue測度の構成までの流れをまとめようと思います。前回までの時点で完了していたのは完備化まででした。測度空間の完備化とは、測度0の集合の部分集合も可測集合となりかつ測度0であるようにすることでした。することで「ゴミより小さいモノ」も「ゴミ」として扱えるようになるわけです。どれだけ小さな集合のせいなのかと言えばほとんど至る所等しいという非常によく用いられる同値関係で無視される存在です。こんなやつのために理論の邪魔をされたくはないので、ちゃんと扱えるようにします。その意味で完備なのでしょう。そのあとは測度の構成の準備段階として外測度を定義していました。これを使って測度を構成したりするのが今回の記事です。外測度Xを集合とします。measure)という:この外測度を使って測度を構成するのですが、これは便利な概念に過ぎず、構成にあたって必要な物はむしろ有限加法的測度です。有限加法的測度は集合体の上で定義される集合函数で、測度の加法性が有限個でしか成立しないものでした。この子から実は外測度を作ることができます。]を集合体上の有限加法的測度とする。このときと定めるとこの集合函数は外測度となる。よる誘導外測度という。して有限加法的測度から外測度が作れました。この外測度から測度を作りたいのですが、現状集合体しかありません。σ集合体であって作る測度の定義域になってくれるような子が欲しいわけです。外測度が与えられたとき、そのようなものはどうやって作るのでしょうか。それがカラテオドリ可測集合です。-可測集合あるいはカラテオドリ可測集合とはが成立することをいう。-可測集合族あるいはカラテオドリ可測集合族という。外測度の劣加法性から実際はであればよいです。カラテオドリ可測集合族は実はσ集合体になります。この上に外測度を制限すると測度、それも完備化された測度が出来上がるのです。