19:35:49)追加された行はこの色です。削除された行はこの色です。代数方程式f(x)=0において、係数がすべて実数ならば、いくつかの特別な性質を持つ。#divid(s,thorem)[定理]実係数の代数方程式f(x)=0において、もし&mimetex("\alpha");が1つの解であるならば、&mimetex("\bar{\alpha}");も解である。\bar{\alpha}")となる。\bar{\alpha}");となる。#divid(e,thorem)#divid(s,thorem)[定義]&mimetex("\alpha,\bar{\alpha}");がf(x)=0の解であるとき、&mimetex("\alpha");と&mimetex("\bar{\alpha}");は''共役解''であるという。#divid(e,thorem)#divid(s,thorem)[定理]実係数の代数方程式f(x)=0の解は、複素数平面上で実軸対称に分布する。~それらすべてを含む最小凸領域は、実軸に関して対称である。すると、任意の複素数αに対して、次が成り立つ。̄αは同時に解になるか、あるいはどちらも解にならないかのどちらかである。□#divid(e,proof)#divid(s,thorem)[定理]実係数のn次方程式f(x)=0において、解の個数は重複度も数えるものとすれば、次が成り立つ。~(1)虚数解の個数は偶数(0個を含む)である。~(2)nが偶数ならば、実数解の個数は偶数(0個を含む)である。~(3)nが奇数ならば、実数解の個数は個数である。この場合、少なくとも1つの実数解を持つ。[#d7604569]#divid(s,thorem)[定理]2次方程式の解と係数の関係~2次方程式axSUP{2};+bx+c=0に2つの解をα、βとすれば、次が成り立つ。n次方程式にもこれと同様の結果が成り立つ。\alpha_n");とすれば、次が成り立つ。[#n4efd1fc]#divid(s,thorem)[定理]代数方程式f(x)=0の解の重心は、f'(x)=0の解の重心と一致する。~もしf(x)が実係数ならば、その回の重心は実軸上にある。#divid(e,thorem)#divid(s,proof)[証明]f(x)の解をαSUB{1};,...,αSUB{n};とすると、解と係数の関係より、次が成り立つ。-\frac{a_1}{a_0}");両辺をnで割ると、左辺は解の重心となる。\frac{a_1}{a_0}");また、f'(x)=0の解をβSUB{1};,...,βSUB{n-1};とすると、解と係数の関係より、次が成り立つ。←(*)両辺をn-1で割ると、左辺は解の重心となる。←(**)(*)の右辺と(**)の右辺は同じ値なので、両者は一致する。f(x)が実係数ならば、αSUB{1};,...,αSUB{n};は実軸対称に分布しているから、その重心は実軸上にある。