【解】(1)したがって、よって、y=xは漸近線。したがって、漸近線はy=x、x=0。(2)よって、y=x+3が漸近線。したがって、漸近線はy=x、x=0である。(解答終わり)だが、上の問題は、必ずしもこのように解く必要はなく、(1)であれば、x→±∞のとき、1/x→0になるので、y=x+1/xがy=xに限りなく近づいてゆくことから、y=xが漸近線であることが分かる。同様に、(2)の場合、x→±∞のとき、カッコの中が限りなく0に近づくので、y=x+3が漸近線になることがすぐにわかる。関数f(x)は、開区間Iで2回微分可能、かつ、f''(x)>0とする。曲線y=f(x)は、Iで常に接線の上側にあることを証明せよ。[解]aを開区間Iの任意の点とすると、(a,f(a))における接線の方程式はである。平均値の定理より、であるcがaとxの間に存在する。よって、Iでf''>0だからf'は単調増加。したがって、x<aのとき、x>aのときx=aのときF(a)=0。よって、曲線y=f(x)は接線の上側にある。(解答終了)[別解」f''(x)>0だから、f'(x)は(単調)増加関数。よって、x<aのときf'(x)<f'(a)よりF'(x)<0で減少、x>aならばf'(x)>f'(a)でF'(x)>0で増加。したがって、F(x)はx=aのときに極小で最小となり、よって、曲線y=f(x)は接線の上側にある。「関数のグラフ上の点Pの近くで、そのグラフが点Pの上側にあるとき、グラフは点Pで下に凸、グラフが下側にあるとき、グラフは点Pで上に凸であるという」といった関数の凹凸の定義を採用しているものもあるようです。関数fを区間Iで定義された二回微分可能な凸関数とする。f'(x)>0(x∈I)ならば逆関数f−1は上に凸(凹)であり、f'(x)<0ならば下に凸であることを証明せよ。[解]x=f−1(y)とすると、y=f(x)。f(x)=ax2+bx+c(a>0)について、次の不等式が成り立つことを証明せよ。f(x)は狭義凸関数。A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))、C(x3,f(x3))とすると、f(x)は狭義凸関数なので、線分AB、BC、ACは曲線y=f(x)のグラフの上側にある。すると、これは△ABCの重心で、△ABCの内部にある(図を参照)。したがって、(解答終了)何でも数式を使って証明すればいいというものではないだろう。このように図形を利用した解法もありではないか。問題2では、f(x)=ax2+bx+c(a>0)と2次の項が正である二次関数ですが、これはf''(x)>0であれば、狭義凸関数ならば成り立つ不等式。2次関数に限定せず、より一般的に解いたというわけ。した図的な解答は数学的でないという批判が出るかもしれないので、別解を。[別解]f(x)は狭義凸関数。あるとき、f(x)を凸関数という。このとき、f(x)は下に凸という。あるとき、f(x)を狭義の凸関数という。–f(x)が凸関数であるとき、f(x)を凹関数という。すると、(1)式はと変形され、さらに、とおくととなる。したがって、f(x)が凸関数のとき、曲線y=f(x)上の任意の2点(x1,f(x1)と(x2,f(x2))を結ぶ線分は、曲線y=f(x)の下側にはくることがない。直線AC勾配≦直線ABの勾配≦直線CBの勾配である。aを区間Iの内部の点とする。関数f(x)が点aの左近傍で狭義凸(狭義凹)、点aの右近傍で狭義凹(狭義凸)、つまり、点aの前後で凹凸が入れ替わるとき、曲線y=f(x)上の点(a,f(a))を曲線の変曲点という。点(0,0)は曲線y=x3の変曲点である。(凸関数と2次導関数)関数f(x)が区間Iで連続、区間Iの内部で2回微分可能とする。f(x)がIで凸関数である必要十分な条件は、Iの内部でf''(x)>0であることである。[証明]区間Iの内部の任意の点をa、b(a<b)、a<x<bとする。十分)f(x)はIの凸関数だからf(x)は微分可能だからf'(x)はIの内部で(広義)単調増加であり、よって、f''(x)≧0である。必要)Iの内部でf''(x)≧0とすると、f'(x)はIで(広義)単調増加。区間Iの任意の2点a,bをとり、a<x<bとすると、平均値の定理よりであるξとηが存在する。ξ<ηだから、よって、f(x)はIで凸関数である。関数f(x)が区間Iで連続、区間Iの内部で2回微分可能とする。Iの内部でf''(x)>0ならば、狭義凸関数である。[証明]Iの内部でf''(x)>0とすると、f'(x)はIで(狭義)単調増加。区間Iの任意の2点a,bをとり、a<x<bとすると、平均値の定理よりであるξとηが存在する。ξ<ηだから、よって、f(x)はIで狭義凸関数である。(証明終)次の定理は変曲点の定義より明らかだろう。関数f(x)が区間Iで連続、Iの内部で2回微分可能とする。aがIの内部の点で点(a,f(a))が変曲点であるならば、f''(a)=0である。y=f(x)=x4のとき、f'(x)'=4x3、f''(x)=12x2だからf''(0)=0になるが、y=x4は凸関数。したがって、上の定理の逆、「f''(a)=0ならば(a,f(a))は変曲点である」は一般に成立しない。点aを除くaの近傍の全てのxにおいてf(x)<f(a)であるとき、f(x)はx=aで極大であるといい、f(a)を極大値という。点aを除くaの近傍の全てのxにおいてf(x)>f(a)であるとき、f(x)はx=aで極小であるといい、f(a)を極小値という。極大値、極小値を合せて極値という。関数f(x)が点aで微分可能で、かつ、この点で極値をとれば、f'(a)=0である。[証明]f(x)が点aで極大であるとする。f(x)が点aで極大だからf(x)<f(a)。x<aのとき、x>aのとき、よって、f'(a)=0である。f(a)が極小値のときも同様。(証明終)f(x)が開区間Iで微分可能、点a∈Iでf(x)が極値をとるとき、f'(a)=0である。f(x)=x3(x∈R)とすると、f'(x)=3x2でf'(0)=0であるが、f(x)はx=0で極値を取らない。上の定理の逆、「f'(a)=0ならばx=aでf(x)は極値をとる」は、一般に成立しない。関数f(x)は点aの近傍で連続、aを除く点aの近傍で微分可能とする。x=aの前後で、f'(x)>0からf'(x)<0に変化するときf(x)はx=aで極大、f'(x)<0からf'(x)>0に変化するときx=aで極小である。[証明]x<aでf'(x)>0ならばf(x)は単調に増加し、x>aでf'(x)<0ならば単調に減少するから、x=aのとき極大でなる。x<aでf'(x)<0ならばf(x)は単調に減少し、x>af'(x)>0ならば単調に増加するから、x=aのとき極小である。(証明終)f(x)=|x|はx=0で極小であるが、x=0で微分可能でないので、f'(0)は存在しない。x=0の前後でf'(x)の符号が−から+に変じており、上の定理が成り立っていることがわかるだろう。したがって、f''(a)>0、x<aのときf''(a)>0、x>aのときよって、x=aの前後でf'(a)の符号が負から正に変わっていて、f(a)は極小値である。f''(a)<0のときも同様。(証明終)f(x)が点aを含むある開区間Iで2回微分可能でf''(x)が連続であるとき、上の定理はテーラーの定理(n=2)となるcがaとxの間にすくなくとも1つあるを使うと次のように証明できる。xをx∈Iかつx≠aである任意の点とする。テーラーの定理とf'(a)=0よりとなるcがaとxの間にある。f''(x)はIで連続だから、点xと点aが十分近いとき、f''(c)とf''(a)は同符号。したがって、f''(c)>0のとき、x≠aだからよって、f(a)は極小値である。同様に、f''(c)<0のときf(x)<f(a)となり、f(a)は極大値である。先にあげたf(x)=x3の場合、f'(x)=2x2、f''(x)=6xだから、f'(0)=0、f''(0)=0だから、2次導関数の符号をを用いた極値の判定は出来ない。f(x)=x3の時のx=0のようにf'(a)=0、f''(a)=0である場合、f(a)をx=aで3次でテーラー展開して判定すればよい。なることから、になる。3次導関数f'''(x)が点aで連続でxとaが十分に近いとき、f'''(c)とf'''(a)は同符号。よって、f'''(a)>0のとき、x<aならばf(x)<f(a)、x>aならばf(x)>f(a)。したがって、f(x)はx=aで極値を取らない。f'''(a)<0のときも同様に、f(x)はx=aで極値を取らない。このように2次より高次の導関数を用いて極値の判定を行うことが可能である。(a,b)でn回微分可能ならばとなるcが少なくとも1つ存在する。[証明]となるようにKを定め、とおくと、F(a)=F(b)となる。なるcがa<c<bに少なくとも1つ存在する。F(x)を微分すると、したがって、(証明終了)n=1とすると、平均値の定理が得られる。極値の判定などで重要なn=2のときは以下のようになる。Lagrange(ラグランジュ)の剰余項という。級ならばすべての非負の正数nについて(1)は成り立ち、である点xではとなり、この級数をx=aまわりのテーラー級数という。a=0のときに得られるx=0まわりのテーラー級数をマクローリン級数という。以下に代表的なマクローリン級数を示す。関数f(x)がとべき関数の級数として展開されるとき、これはテーラー展開(マクローリン展開)に他ならない(テーラー展開の一意性)ことが知られている。マクローリン級数をと求めることができる。マクローリン級数を簡単に求めることができる。今,確..コメント、ありがとうございます。..Cもお願いしますベートーヴェンについて。ベートーヴェン..ルートヴィヒ・ヴァン・ベートーヴェ..コメントありがとうございます。ソネットポイントこの広告は前回の更新から一定期間経過したブログに表示されています。更新すると自動で解除されます。