自分のブログログアウトねむねこ幻想郷ネムネコ・ファミリーのために、大昔に書いたファンタジー小説を公開。数学のサイトではありません。関数f(x)が点x=x0においてとる値f(x0)がx0の近傍(x0を含む十分小さな開区間)で、x≠x0ならばf(x0)>f(x)(f(x0)<f(x))であるとき、f(x)はx=x0で極大(極小)といい、f(x0)を極大値(極小値)という。極大値、極小値をあわせて極値という。定義域をa≦x≦b(a<b)とする定数関数f(x)=cがある(cは定数)。(おしまい)x0≠xならばf(x0)>f(x)=c(f(x0)<f(x)=c)である点x0がx0∈[a,b]に存在しない――そのような点x0が存在するとすれば、f(x0)>c(f(x0)<c)になってしまい、f(x0)=cに矛盾する――。実数全域で定義された次の関数f(x)がある。f(x)の極値を求めよ。【答】f(x)はこの関数の概形は次の通り。x=−1の十分に近いところにおいて、x≠−1ならばf(x)>f(−1)=0が成立するので、x=−1で極小。x=1の十分に近いところにおいて、x=1ならばf(x)>f(1)=0が成立するので、x=1で極小。x=0の十分に近いところにおいて、f(x)<f(0)=1だから、f(x)はx=0で極大。(x=0)(おしまい)関数が微分可能であるとき、極値をとる点aでは、かならず、f'(a)=0でなければならない。問2の関数は、x=±1以外では微分可能で、その導関数f'(x)はだからx=0でf'(0)=0となり、この条件を満たしている。x=±1で、f(x)は微分可能でないから、この条件を満たしていない。そもそも、導関数f'(x)はx=±1で定義されていない。f(x)=x3は実数全域で微分可能であるけれど、f'(x)=3x2=0となる点x=0で極値をとらない。このことから、f'(a)=0という条件は、微分可能な関数f(x)がx=aで極値をもつための十分な条件でないことがわかる。f'(x)=0という条件は、微分可能な関数f(x)が極値を持つために満たさなければならない、必要な条件にすぎない!!ひとつ質問をするが、のx=±1における接線の方程式は?赤と青で示されている直線がこの曲線の接線?それとも、これとは違う他の直線。3次方程式x3+px+q=0が重複解をもつとき、なる関係があることを証明せよ。【解】f(x)=x3+px+qとおき、3次方程式f(x)=x3+px+q=0の重複解をαとすると、であり、f(x)を微分するとしたがって、3より1より4と5より(解答終わり)2の微分のところでは、次の微分公式を使っている。3次方程式x3+px2+q=0が重複解をもつとき、pとqにはどのような関係があるか。α=0のとき、1よりq=0。とき、これを1に代入するとよって、4p3+27q=0、または、q=0。(解答終わり)ちなみに、p=q=0のときは、3重解でx=0が解。a、b、cが相異なる実数で、のとき、ab+bc+caの取りうる範囲を求めよ。一見すると、3次方程式とは関係なさそうな問題ですが・・・。【解】とすると、これが成立するのは、次の3次方程式が相異なる3つの実数解をもつということ。3次方程式の解と係数の関係より、1はx=0を解に持たないので、1は2と同値。f(x)のグラフは次のようになる。f(x)=kの実数解の個数とy=kとy=f(x)の交点の個数は等しいので、相異なる3つの実数解をもつためにはしたがって、(解答終わり)次のように、y=x3+1とy=kxとの交点の数を調べて、kの範囲を定めてもよい。記事「3次方程式」の問題4の別解を紹介する。こちらのほうが素直な解答。3次関数y=x3+4x2+kx−18のグラフがx軸に接するように定数kの値を定めよ。【解】f(x)=x3+4x2+kx−18とおくと、f'(x)=3x2+8x+k。f(x)がx軸と接するから、接点のx座標をαとすると、f(α)=0、f'(α)=0でなければならない。2よりこれを1に代入するとg(α)=α3+2α2+9とすると、g(−3)=0。よって、g(α)はα−(−3)=α+3を因数に持つ(註・因数定理)。f(x)がx−aを因数にもつ必要十分な条件はf(a)=0である。g(−3)=0だから、因数はx−(−3)=x+3。x3+x−8=0は、ただ1つの実数解を、1と2の間にもつことを示せ。【解】f(1)=−6、f(2)=2だから、中間値の定理より、f(x)=0を満たすxが1<x<2に存在する。f(x)=x3+x−8とすると、f(x)は単調増加。したがって、f(x)=x3+x−8=0を満たす実数解は、1と2の間にただ一つである。3次方程式x3+x2−x+a=0の実数解の個数がaの値によってどう変わるか調べよ。重複解は1つと数える。【解】x3+x2−x+a=0の実数解はとy=aとの共有点のx座標である。3次方程式2x3+3x2−12x+a=0が重複解をもつようにaの値を定めよ。そのときの解を求めよ。問題2と同じように、y=−2x3−3x2+12xとy=aの共有点の個数を調べてもいいが、次のように解くこともできる。【解】f(x)=2x3+3x2−12x+aとすると、よって、f'(x)=0の解はx=−2、x=1。したがって、f(x)=0とf'(x)=0が共通解をもつならば、x=−2またはx=1でなければならない。x=−2が重複解の場合このとき、よって、x=−2(重複解)、x=−5/2である。x=1が重複解のときこのときよって、x=1(重複解)、x=−7/2(解答終わり)【別解1】f(x)=2x3+3x2−12x+a=0の重複解をα、もうひとつの解をβとすると、これを微分すると、したがって、でなければならない。α=1のとき、(別解1終わり)微分を使わずに、次のように解くこともできる。αを重複解、βをもうひとつの解とする。3次関数y=x3+4x2+kx−18のグラフがx軸に接するように定数kの値を定めよ。【解】y=x3+4x2+kx−18がx軸に接するということは、3次方程式x3+4x2+kx−18=0が重複解をもつということ。解と係数の関係より1よりこれを3に代入するとよって、α=−3。f(x)を2次以上の整式とする。f(x)を(x−a)2で割ったときの余りがであることを証明せよ。f(x)がf(x)を(x−a)2で割り切れるための必要十分条件がf(a)=f'(a)=0であることを証明せよ。x7−2x+4を(x−1)2で割った余りを求めよ。f(x)をf(x)を(x−a)2で割った商をQ(x)、余りをpx+qとするとxで微分すると、1、2にx=aを代入すると、4よりp=f'(a)、これを3に代入すると、よって、余りはである。(2)【⇒の証明】(1)より、f(x)を(x−a)2で割ったときの余りは仮定より、f(x)を(x−a)2で割り切れるので、f(x)を(x−a)2で割ったときの余りは0である。したがって、でなければならない。これが任意のxについて成り立つので、5より、f'(a)=0。6よりしたがって、f(a)=0、f'(a)=0である。【逆の証明】f(x)を(x−a)2で割ったときの余りは仮定より、f(a)=0、f'(a)=0。以上のことより、f(x)がf(x)を(x−a)2で割り切れるための必要十分条件がf(a)=f'(a)=0である。(3)よって、(1)より、余りは(解答終わり)をxで微分するとき、次の微分公式を使っている。この公式を使うと、(x−a)2の微分で、もう一度、微分公式を用いると、したがって、となる。問題より、f(x)が整式であるとき、f(x)=0が重複解(重根)を持つための必要十分な条件はが共通解を持つことである。x2−3x+4をx−1、x−2で割った余りを求めよ。【解】f(x)=x2−3x+4とおく。xについてある整式をx−2で割ると5余り、x−3で割ると8余るという。この整式を(x−2)(x−3)で割った余りを求めよ。【解】xについての整式をf(x)、(x−2)(x−3)で割った商をg(x)、余りをax+bとする(※)。題意よりx−2で割った余りが5だから、1よりx−3で割った余りが8だから、1より2、3を解いてa=3、b=−1。よって、余りは3x−1である。整式f(x)を2次式(x−2)(x−3)で割った余りは、高々1次式なので、その余りをax+bと置くことができる。f(x)がx−aを因数にもつ必要十分な条件はf(a)=0である。【証明】f(x)をx−aで割った商をQ(x)、余りをRとする。(必要条件の証明)f(x)はx−aを因数にもつので、R=0。仮定よりf(a)=0だから、R=0。よって、f(x)はx−aで割り切れ、f(x)はx−aを因数にもつ。【解】f(x)=x3−3x2−4x+12とおくと、よって、x3−3x2−4x+12はx−2を因数にもつ。x−2でf(x)を割ると、商はx2−x−6。よって、この方程式の解はx=±2、3である。2次方程式と3次方程式の解と係数の関係。2次方程式の解と係数の関係2次方程式の一般形はこの解をα、βとすると、因数定理よりとなる。したがって、となり、この恒等式が成立する条件からこれを2次方程式の解と係数の関係という。2次方程式x2−10x+c=0の2つの実根αとβの間にβ=α3の関係が成立するとき、cの値を求めよ。解と係数の関係より問題の条件よりβ=α3だから、f(α)=α3+α−10とするとf(2)=0。よって、したがって、α=2。3次方程式の解と係数の関係3次方程式の一般形はこの解をα、β、γとするとよって、この恒等式の右辺と左辺を比較するとという3次方程式の解と係数の関係が得られる。方程式x3+ax2+bx−12=0が根3および3と異なる実根をもつとき、重根およびa、bの値を求めよ。[ネコ騙し数学]一つ質問するけれど、をどうやって計算する?真面目に展開して、と計算するかい?それとも、という公式を使って、と計算するかい?この場合は、1の方が楽だけれど、今日のワンポイントゼミ3にでてきただと、どうですかね?あなたは、これを真面目に展開して計算しますか。オレは、頭の中で、2を使って、と、頭の中で計算したけれど――頭の中でこんな丁寧な計算しない。「コレとこれが消えて、アッチはアレが消えて」という漠然としたイメージで計算処理――1の結果、は、半ば公式のようなもので、3を覚えている人はとすぐに計算できますがね。半径rの円の体積Vはこのことを定積分を使って求めることにする。原点Oを中心とする半径rの半円はこれをx軸のまわりに回転して得られる立体は球で、この体積Vとすると(おしまい)は偶関数だから、偶関数の定積分の性質からである。途中計算でこれを使っている。円(の円周とその内部)である。この断面の面積S(t)はしたがって、球の体積Vは(おしまい)方法2の定積分は、方法1の計算のxがtに変わっているだけなので、計算しないけれど、このように計算することもできる。x=±rにおける球の断面(?)を半径0の円とみなしている。厳密にはとすべきところなのだろうが・・・。半径rの円をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。【解】より、そこでとする。求める体積は、薄い水色で示されている、y1とx軸とで囲まれている領域を回転してできる立体の体積から、斜線部で示されているy1とx軸とで囲まれている領域を回転してできる立体の体積を引いたもの。原点Oを中心とする半径rの半円の面積だから、これを1式に代入すると、(解答終わり)注目して欲しいのは、この結果。問題の円をとすると、πr2はCの面積、2πlはCの重心G――円なので重心と中心は同じ――をx軸を中心にしてグルリと一周させたときに描く軌跡の長さ。9より、問題で求めた円環体の体積Vは円環体の体積V=(円Cの重心が回転により描く軌跡の長さ)×(円Cの面積)になっていることがわかる。異なる2つの放物線y=x2、y=(1−a2)x2+aが交わるとき、これらで囲まれる図形をy軸のまわりに回転してできる回転体の体積は、aの値にかかわらず一定であることを証明せよ。異なる2つの放物線の交点のx座標は交点のy座標はy=1/a。a>1のときよって、体積Vはaの値にかかわらず一定で、その値はπ/2である。同じ体積になるようにmの値を定めよ。【解】y=√xとy=mxの交点のx座標は交点は(0,0)、(1/m2,m)。図のように、AC=1、BC=3とし、DEはA、Bを中心とし点Cで外接する2円の共通接線である。∠ABE=60°であることを示し、斜線をつけた部分CDEをABのまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。【解】Cを原点Oにとり、Aを(−1,0)、Bを(3,0)にとる。Aから直径BEに垂線をおろし、垂線の足をHとする。四角形ADEHは長方形。したがって、EH=AD=1。図に示すように、xy平面上に直線l:px+qy+r=0(p≠0、q≠0)があるとする。このとき、直線lとx軸の交点のx座標が(直線lの)x切片、y軸との交点のy座標をy切片という。つぎに、このときの、x切片とy切片を求めることにする。直線l上の点はすべてpx+qy+r=0を満たす。直線lとx軸、つまり、y=0との交点(のx座標)がx切片。したがって、この交点のx座標をaとおくと、この交点の座標は(a,0)になるので、1式にx=a、y=0を代入して得られる方程式を解くと同様に、直線lとy軸、つまり、x=0との交点のy座標をbとおくと、したがって、直線l:px+qy+r=0(p≠0、q≠0)のx切片、y切片はx切片a、y切片b(a≠0、b≠0)である直線の方程式を求めることにする。x切片がaだから、x=a、y=0を1に代入すると、y切片がbだから、x=0、y=bを1に打入ししたがって、直線lの方程式はr=0のとき、px+qy=0で、この直線は原点Oを通ることになり、a≠0、b≠0と矛盾する。次の直線の方程式を求めよ。実は、(1)と(2)は同じことを言っている。この答えは3より無理に覚える必要はないけれど、3式はおぼえておくと、何かと便利である。一般に、y=f(x)とx軸との交点のx座標をx切片、y=f(x)とy軸との交点をy切片という。図に示すように、曲線y=f(x)の場合、点A、B、Cのx座標が曲線y=f(x)のx切片であり、点Dのy座標が曲線y=f(x)のy切片である。この図、その定義から明らかであるけれど、曲線y=f(x)のx切片は方程式の実数解(実根)である。今,確..コメント、ありがとうございます。..Cもお願いしますベートーヴェンについて。ベートーヴェン..ルートヴィヒ・ヴァン・ベートーヴェ..コメントありがとうございます。ソネットポイントこの広告は前回の更新から一定期間経過したブログに表示されています。更新すると自動で解除されます。