遊園地の入場者数はどうやって数えているのでしょうか。入ってくる人を1人1人見ながらカウントするのでしょうか。そんなのは面倒なので,代わりに回収した入場券を数えるはずです。全員が1枚ずつ入場券を出して入れば,入場者数と入場券の数は同じだからです。ここで利用されているのが1対1の対応という考え方です。これは,ある集合の1つ1つの要素を,別の集合の1つ1つの要素と過不足や重複なく対応させることができるとき,その2つの集合の要素の個数は同じ,というものです。これを利用すれば,個数の数えにくいものでも,別の数えやすい世界に移し変えて数えることができるというわけです。こんなシンプルな原理も,算数や数学の問題を解くときに意外な威力を発揮することがあります。次のトーナメントの問題は有名です。[問題1]ある野球大会で48チームがトーナメント戦を行いました。この野球大会で行われる試合は何試合ですか。(ただし引き分け試合はなかったものとします)そんなことは試合の組み合わせを見なければ分からないと思うかもしれませんが,組み合わせに関係なく試合数は決まってしまいます。どの試合でも1チームの負けが決まり,優勝が決まれば,全48チームから優勝した1チームを除く47チームが負けているわけですから,行われる試合は47試合です。これはトーナメントの試合の集合を,負けチームの集合に1対1に対応させて数えたことになります。[問題2]下の図のように,ある規則にしたがって1番目,2番目,3番目,...と図形をかいていきます。どの図形でも1辺の長さは1cmです。1番目の図形の長さは3cm,2番目の図形の長さは15cmです。このとき,5番目の図形の長さは何cmですか。1番目2番目3番目4番目これはヒルベルト曲線という有名なフラクタル図形ですが,そういう知識はなくても大丈夫です。これを小学生に出すと,正解する生徒は大体次のような解き方をします。どの図形も1つ前の図形を4つ含んでいて,それらをつなぐために3本の辺が加えられているから,その長さは前の図形の長さを4倍して3を足したものになっている。$1023\,\text{cm}$これで正解です。ところで,このように1番目から5番目までの長さを並べてみると,ある特別な数が並んでいることに気付きます。どれも1を足すと4の累乗の数になっています。求めることができそうです。これにはどういう意味があるのでしょうか。これは,図形の始点,終点,曲がり角のすべてに点を打ってみれば分かります。求めることができます。一方で,この図形の各辺は,これらの格子点とほぼ1対1に対応がつきます。正確には点の方が1つ余るので,「辺の数$=$点の数$-1$」となります。(この考え方を植木算といいます)この考え方を使うと,次のようにも解けます。