[空間図形]左図は、27個の部屋に分かれた立方体型の無人マンションを表しています。バクダンをしかけたところ、赤く塗られた部屋(全部で7部屋)が破壊されました。このように、このタイプの無人マンションにバクダンをしかけて爆発させると、タテ、ヨコ、高さの3方向に爆風がひろがることが分かっています。爆風は何部屋も通過できます。最低何個のバクダンがいるでしょうか?(2)7×7×7=343個の部屋に分かれた立方体型の無人マンションの全部屋を破壊するには最低何個のバクダンが必要でしょうか。他多数)[設問1]まず、3×3の平面で考えることにしましょう。各行、各列を爆破するのに、それぞれバクダン1個は必要です。図1−1のように、同一の行・列には並ばないように配置すると3個のバクダンで平面を爆破することが可能です。従って、各階には、上下の方向にも重ならないように配置すれば、合計9個のバクダンで爆破できます。最上階(階1)に図1−1の配置、真ん中の階(階2)には図1−2のような配置、最下階(階3)には図1−3のような配置でOKです。これを図1−4のように各階に配置するバクダンに番号を付けて表すとわかりやすくなるでしょう。この方法を完全配置と呼ぶことにします。完全配置では、n×n×n個の部屋の場合、n2個のバクダンで爆破することができます。1個のバクダンでは3方向に爆破することができるので、合計3n−2≒3n個の部屋を爆破できるので、もう少し効率的に配置することはできないでしょうか。そこで、2×2×2個の部屋の場合を考えてみると、図2−1のように2個のバクダンを対角線上の2部屋に配置するとOKです。そこで、これを3×3×3の場合に応用して、図2−2(図2−3)のように配置すれば合計5個で爆破可能です。4個以下では可能でしょうか。1個も配置しない階があると、その階の9個の部屋を爆破するため、それ以外の階で合計9個のバクダンが必要ですので不適。各階2個以上配置すると合計6個以上になるのでこれも不適。よって、1個だけ配置する階が必ずあります。すると、その階では(図2−2の階1のように)5個の部屋を爆破できますが、残り4個の部屋を爆破するためにあと4個は必要ですので、どうしても5個は最低なければなりません。[設問2]7×7×7の場合も、下図のように配置すれば合計25個のバクダンで爆破可能です。一般にn×n×n個の場合は、1/2×n2(割り切れないときは切り上げ)で爆破可能のようです。24個以下では可能でしょうか。2個以下の階があると、その階では2行・2列は爆破できても、5×5=25個の部屋は残りますので、あと25個は別の階に必要となり不適。すべての階が4個以上だと4×7=28個以上となり不適。よって、3個の階が必ずあります。3個の階では3行・3列は爆破できても4×4=16個は残ります。これを4×4の完全配置にすると、結局上図と同様になり25個必要です。4×4の完全配置でなく、この部分には3個しかない階があると、1行・1列は残ってしまうので、25個でもダメになり不適。