は|x|≦r0で連続だから有界(*)で、となる実数Kが存在する。f(x)を原点でマクローリン展開すると、よって、|x|≦r0(x≠0)のときである。(証明終)(*)有界閉区間Iで連続な関数f(x)は、Iで最大値M、最小値mをとる。とればしたがって、有界閉区間で連続な関数は有界である。次の関数f(x)について下の問に答えなさい。次の極限を求めなさい。極限を求める際にロピタルの定理を使ってよいものとする。関数f(x)、g(x)は開区間(a,b)で微分可能な関数とする。この関数はx=0で右側微分可能でしょうか。次の右極限が存在するでしょうか。存在するならば、その値は。閉区間[0,a](a>0)で積分可能ですか。積分可能ならば、を求めてください。ロピタルの定理より(2)だから、したがって、x≠0のときだから、は存在しない。f(x)は閉区間[0,a](a>0)で連続。したがって、f(x)は[0,a]で積分可能。x=0における(右側)微分係数はx>0のときしたがって、x≧0でが成立する。よって、(y=xlogxのグラフは❍(原点)を含まない。関数の無限大、無限小aを実数または±∞とする。x→aのときf(x)は無限小であるという。x→aのときf(x)は無限大であるという。関数f(x)、g(x)が点aで無限小のとき、という。例1f(x)=x2,g(x)=xとすると、x→0のときだから、f(x)はg(x)より高位の無限小。f(x)=sinx、g(x)=xとすると、だから、f(x)とg(x)と同位の無限小。f(x)=x、g(x)=x2とすると、だから、f(x)はg(x)より低位の無限小。関数f(x)、g(x)が点aで無限大のとき、という。例2f(x)=logx、g(x)=xとすると、だから、logxはxよりも低位の無限大。xよりも高位の無限大。ランダウの記号x→aのとき、f(x)/g(x)が無限小、つまり、のとき、で表す。この記号o(g(x))をランダウ記号(oをランダウのスモール・オー)という。