[時計算]図1図2時計の時針・分針・秒針の3本の針が左図のように360度を3等分するような位置関係になることが、1日に何回あるでしょうか?2.解答例1午前と午後は、全く同じなので半日の12時間を考えればよい。3本の針が図1のような位置関係にあるものの時刻をhとすると、(12−h)は、ちょうど左右対称に折り返したものとなるので、図2の位置関係のものになる。従って、図1、図2のタイプのものは個数が同じなので、図1のタイプのもののみを考えることとする。0時から時刻t(h時m分s秒)まで時針・分針・秒針が回転する角度をx、y、zとする。(0≦h<12)ただし、1時間分(30度)を単位として、小数部も含めて考えることとする。時針と分針の角度が120度となる場合を考えます。最初に120度の間隔になるのは、y−x=11h=12n+4、従ってh=(12n+4)/11のときになります。0≦h<12より、n=0、1、・・・、10の11回あります。m、sは、60h、60×60hをそれぞれ12で割った余りとして求められます。従って、分針と秒針の角度が120度、すなわちs−m=20となるときは、この11回のうち1度もないことが分かります。答:0回(参考)y=12h=12/11×(12n+4)、z=60yより、z−y=59y=59×12/11×(12n+4)を12で割ったあまりが4となるには、12n+4が11の倍数となることが必要。ところが、このときyもzも12の倍数となるので、分針・秒針とも0時の位置にある。実際、12n+4が11の倍数となるのは、n=7のときでちょうど8時のときである。