JSTに更新されました。中部大学’が作成しています。連絡は、後藤@電気システム工学科へお願いします。=f(x0)+f(1)(x0)Δx−f(x0)=f(1)(x0)Δx関数の一次微分のx=x0での値にΔxをかければ、関数の変化量Δfは得られる。(一次の近似)(微分が、引き数に対する関数の変化率を与えるので、微分に引き数の変化量をかければ関数の変化量になるのはあたりまえのことである。)変化量を限りなく小さくすれば、Δ→dに変えて、df=f(1)(x0)dx多変数の関数における引き数の微小変化と関数の変化との関係x,y,zを変数とする関数f(x,y,z)を考える。変数x,y,zは互いに独立であるとする。+f(x0,y0,z0+Δz)−f(x0,y0,z0)とa)、b)、c)項の和として表される。ここで、a)項は、(x0,y0+Δy,z0+Δz)において変数xだけがΔx変化したときの変化量b)項は、(x0,y0,z0+Δz)において変数yだけがΔy変化したときの変化量c)項は、(x0,y0,z0)において変数zだけがΔz変化したときの変化量をあらわす。関数fのzに対する変化率の(x0,y0,z0)における値をあらわす。一般に、∂f/∂xは、x以外の独立変数を定数とみなしてxに関して微分すれば得られる。(∂:ラウンド、ディーと読む)多変数関数において、そのうちの一つの変数についてだけ(他の変数を定数とみなして)微分することを偏微分という。Δf→df=∂f(x0,y0,z0)/∂x*dx+∂f(x0,y0,z0)/∂y*dy+∂f(x0,y0,z0)/∂z*dz任意の点における変化dfは、df=∂f/∂x*dx+∂f/∂y*dy+∂f/∂z*dzこれが、全微分の表現である。(独立変数が増えれば、項が増えることになる。)各変数の変化に対して関数がどう変化するかを表す時、各変数に対して変化の度合を表すのが偏微分である。(gradfとdrの内積)と表せる。・・・(独立変数がn個であれば、gradfとdrは、それぞれn次元(n成分)のベクトルになる。)ここで、先程の式を考える。Δf=f(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)−f(x0,y0,z0)において、r0=(x0,y0,z0),Δr=(Δx,Δy,Δz)とおけば、f(r0+Δr)=f(r0)+Δf=f(r0)+gradf・Δrこれは、位置変数で表されるスカラ関数の点r0における位置の微小変化Δrに対する一次の近似をあらわす。xに関する全微分は、両辺をdxで割ってdf/dx=∂f/∂x+∂f/∂y*dy/dx+∂f/∂z*dz/dxとなる。変数x,y,zにある関係があれば、二項目、三項目もxに関する変化に寄与する。(x,y,zに互いに関係がなければ、xに関する全微分はxに関する偏微分だけになる。)例えば、x,yの二変数の関数hが山の形状をあらわすとすれば、x,yが地図上の位置をhがその点の高さをあらわす。この時には、�凾�が東へどれだけ、�凾凾ェ北へどれだけという距離をあらわす。x(y)に関する偏微分は東(北)方向の山の傾斜を表す。それぞれの方向への傾き(偏微分)に、それぞれの方向への水平移動距離をかけてすべてたせば、全体としてどれだけ山へ登ったかが得られる。この表現には、様々な応用がある。この表現のdy(dx)は変形されてdx(dy)の関数で与えられ、hのx(y)に関する全微分が得られる。dh=0(高度が変わらない条件)としてdxとdyの関係を求められる。この式から得られるx,yの関係はその点を含む等高線そのものを表す。(dxとdyの関係式が、高度を変えずに移動する方向すなわち、等高線の方向を示す。)また、ベクトル(∂h/∂x,∂h/∂y)は、山のある点において、最も傾斜のきつい方向とその大きさを表す。