[証明]マクローリン(テーラー)の定理より、関数fは、任意の点x∈Iで、であるθが存在する。よって、ここで、とおく。級だからよって、である。したがって、(証明終了)上の定理から代表的な初等関数の漸近展開が次のように求められる。ランダウの記号を用いて複雑な極限の計算をするときに必要になるので、ランダウの記号の演算規則を紹介する。(ランダウの記号の演算規則)【略証】(証明終)数値計算などでは、ビッグ・オーOを用いることが多いので、次の定理とその証明を紹介する。その前に、ランダウ記号のビッグ・オーOの定義を示す。定義(ランダウのビッグ・オーO)関数f(x)、g(x)がであるとき、で表す。