自分のブログログアウトねむねこ幻想郷ネムネコ・ファミリーのために、大昔に書いたファンタジー小説を公開。数学のサイトではありません。がと与えられることと同等である。接線ベクトルはで与えられる。この曲線Cが滑らかなとき、位置ベクトルr(a)からr(t)までの弧の長さs(t)はとなり、となりよって、となる。sはtの関数であるが、逆にtもsの関数と考えられるので、曲線は、曲線の長さを用いてr=r(s)とあらわすことが可能。曲線に接しsの増加する方向に向かうベクトルである。ベクトルtの向きは接線ベクトルdr/dtと同じだから。すればだから、tは単位接線ベクトルである。Qにおける接線ベクトルとPにおける接線ベクトルのなす角度をΔθとすれば、は、曲線の長さに対する接線の向きの変化率をあらわし、を点Pにおける曲率という。この定義から明らかなように曲率は正または0であり、曲線上の各点でκ=0である時は、この曲線は直線である。同じ向きの単位ベクトルをnとすれば、このnをPにおける(単位)主法線ベクトルといい、となる。曲率は曲率の逆数を曲率半径といい、曲線上のPから引かれたベクトルρnの終点を曲率半径の中心という。曲線上の点Pにおける接線ベクトルと主法線ベクトルの外積b=t×nを、点Pにおける曲線の(単位)従法線ベクトルという。したがって、t、n、bは互いに直交する単位ベクトルで、右手系をなす。成立し、τを捩率(れいりつ)という。t・b=0をsで微分すれば、となる。第2項はκn・b=0である。bとtに垂直であり、nと同じ方向である。t、n、bの3つの単位ベクトルは右手系を構成するので、n=b×t=−t×bとなる。これをsで微分すると、となる。3つの公式を合せてフルネ・セレの公式と呼ぶ。[ネコ騙し数学]空間曲線のベクトル方程式と接線ベクトル空間曲線は、スカラー変数tを用いてであらわすことができる。おけば、rはtの関数だから、と書き、これを曲線ベクトル方程式という。したがって、は、曲線の接線ベクトルと平行であり、これを曲線の接線ベクトルという。単位接線ベクトルという。曲線r(t)の法線ベクトルといい、を主法線ベクトルという。曲線上の点における単位接線ベクトルtと単位主法線ベクトルnとの外積ベクトルを(単位)従法線ベクトルという。曲線r=r(t)は、r'(t)が連続で常にr'(t)≠0であるとき、滑らかな曲線という。滑らかな曲線r=r(t)のa≦t≦bの部分の長さを弧長といい、弧長sはで与えられる。単位接線ベクトルと、単位法線ベクトルを求めよ。t=π/4のときの接線の方程式を求めよ。【解】よって、単位接線ベクトルtはまた、よって、単位法線ベクトルnはである。t=π/4の接線ベクトルはよって、接線の方程式はtを消去し(解答終)t=π/4のときの、接線の法線ベクトルnは(-1/√2,1/√2)だから、接線の方程式をと求めることもできる。0≦t≦2πの曲線の長さを求めよ。実数Rの部分集合Dに属する点tに対して、実関数x(t)、y(t)、z(t)が与えられているとき、ベクトル(x(t),y(t),z(t))を考えることができ、このベクトルF(t)=(x(t),y(t),g(t))をDからR3への1変数ベクトル値関数、または、ベクトル関数という。Lを定ベクトル、t0を一定の値とするとき、ならば、tがt0に限りなく近づくとき、F(t)はLに限りなく近づくといい、また、LはF(t)の極限といい、であらわす。任意のε>0に対して、あるδ>0があってが成り立つとき、とあらわす。成り立つとき、F(t)はt=t0で連続であるという。区間Iのすべての点でtで連続であるとき、F(t)はIで連続であるという。イプシロン・デルタ論法による、ベクトル関数F(t)のt=t0における連続の定義は次の通り。任意のε>0に対して、あるδ>0があってが成り立つとき、F(t)はt=t0において連続であるという。ベクトル関数F(t)に関して、次の極限が存在するとき、F(t)はt=t0で微分可能という。この極限値Aをt=t0における微分係数といい、であらわす。定理とすると、次が成立する。この定理はほとんど明らかだと思うので、(i)だけを証明することにする。逆に、ならば(証明終)ベクトル関数の微分については、実関数の微分と同様に次の公式が成り立つ。A=A(t)、B=B(t)をtのベクトル関数m=m(t)をtのスカラー関数とすると、である。Aをtのベクトル関数とするとき、次のことを示せ。ここで、A2=A・Aとする。|A|は一定だから、A2=A・A=|A|2も一定。Aの方向とこれに垂直な方向とに分解せよ。直交するので、である。(解答終)A(t+Δt)とA(t)のなす角をΔθ、単位ベクトルaの増分をΔaとすると、と同じ方向の単位ベクトルをbとすると、だから、問題3の(1)はである。ベクトルの内積(ベクトルのスカラー積)ベクトルa、bの大きさをa、b、そのなす角をθとするときをaとbの内積といい、記号a・bや(a,b)などであらわす。