自分のブログログアウトねむねこ幻想郷ネムネコ・ファミリーのために、大昔に書いたファンタジー小説を公開。数学のサイトではありません。復習をかねて、y=f(x)、x=g(y)が整関数である場合についての基本問題を解くことにする。次の図形の面積を求めよ。y2=2x+5とy=x+1をxについて解くとよって、放物線と直線の交点のy座標はしたがって、面積は(解答終了)(2)は、前回証明した公式に対して、a=−1/2、α=−1、β=3とおくことによって、と計算することもできる。放物線y2=2x+5をと考えるならば(上図参照)、次のように計算することができる。xの関数と考えて面積を求めようとすると、計算が大変になる。次の図形の面積を求めよ。次の不等式を同時に満足する領域の面積を求めよ。x2+y2=2とx=y2の交点のx座標を求めるとx=−2は解として不適なのでx=1。放物線y=−(x−1)(x−3)とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ。放物線y=−(x−1)(x−3)とx軸の交点のx座標はx=1、x=3。したがって、面積Sは(解答終了)すこし計算に工夫をするならば、次のように計算することもできる。【別解】したがって、(別解終了)大袈裟だけれど、t=x−1とおいて次のように置換積分を用いて計算することもできる。【別解2】x−1=tとおくと、x=t+1。x=1はt=0、x=3はt=2に対応し、dx=dtだから(別解2終了)なのですが、実は、次のような便利な公式が存在する。この公式を使うと、問題1の答えは、α=1、β=3とおき、と簡単に求めることができる。公式(1)の証明は、問題1の解答のように真面目に計算すると、計算が大変なので、別解の手法を用いて証明することにする。二次方程式ax2+bx+c=0の解がα、βだから、になるから、公式(1)より(2)を容易に導ける。(2)に絶対値がついているのは、α<βとすると、x軸と放物線yとの位置関係より、a>0のとき、面積はa<0のときになるから。次の部分の面積を求めよ。2つの曲線y=2x2−5x、y=−x2+x+12の交点を求める。α=1−√5、β=1+√5とおくとβ−α=2√5だから、(解答終了)問題2の(1)はと真面目に計算してもいいけれど、それでも、やはり計算が大変だ。(2)は根号を含む計算だからなおのこと大変。公式(1)の有り難みを理解できるのではないか。(2)では、実際に、交点のx座標を求めているけれど、2次方程式1の解と係数の関係より、α+β=2、αβ=4となるので、α<βとすると、と計算することもできる。次の等式が成り立つことを証明せよ。x>0のとき、次の不等式が成立することを証明せよ。微分を使って証明するならば、たとえば、次のような証明になるだろう。【証明】f(x)はx>0で微分可能。そこで、f(x)の変化を調べるために、f(x)を微分するとしたがって、f(x)はx≧0で単調増加。すると、したがって、y''>0で、この関数yは下つに凸。x=0におけるこの曲線の接線の方程式は下に凸の関数の性質(曲線は接線の上側にある)より、x>0ならばである。(右図参照)この他にも、微分を用いた証明法はいくつかあるだろう。積分を使うと、次のように簡単に証明できてしまう。【積分を用いた証明】したがって、x>0ならば、(証明終わり)実は、これだけでなくて、だから、x>0のとき同様に、順次計算することによってを証明することができる。正確な証明をするならば、数学的帰納法を使って。積分を使って次の不等式を証明せよ。x>1とすると、t∈(1,x)の任意のtに対してよって、0<x<1とすると、t∈(x,1)の任意のtに対してよって、x=1のとき、となり、等号が成立。よって、(証明終わり)問題2の(2)より、x>0のときこの両辺にxをかけるとこれは、定積分と不等式1の問題3の(1)の不等式であり、積分を使ってこの不等式を証明したことになる。(2)の不等式にxをかけるとさらにしたがって、ハサミ打ちの定理よりである。ワンポイントゼミ22では、ロピタルの定理を使ってこの極限を求めたが、ロピタルの定理を使うことなくこの極限を求めることができた。a、bは定数で、a<bとし、f(x)とg(x)はa≦x≦bで連続な関数とする。a≦x≦bなる範囲でとおくとき、であることを証明せよ。次の不等式(シュワルツの不等式)を証明せよ。(1)より、F'(x)はa≦x≦bでF'(x)≧0であり、また、F(a)=0。よって、a≦x≦bでF(x)は増加関数で、(解答終了)シュワルツの不等式の一般の証明法は次の通り。a<b、そして、tを任意の実数とすると任意の実数tについて1が成り立つので、そして、問題1は、この別な証明である。f(x)、g(x)をx≧0で定義された正の値をとる連続関数で、g(x)は連続関数であるとする。このとき、に対して次の問に答えよ。x>0で増加関数である。ここで一般に増加関数であるとは、x1<x2ならばh(x1)≦h(x2)が成立することをいう。仮定によって0≦t≦xにおいてg(0)≦g(t)≦g(x)。定積分と不等式1で出てきた内容を補足することにする。次の不等式を証明することにする。【証明】とし、f(x)の変化を調べるために、xで微分する。したがって、0<x<π/2でf'(x)>0で、f(x)は単調増加。cosα=2/πとすると、g(x)の増減表はとなり、x=0、x=π/2のときに最小で、最小値は0よって、0<x<π/2において(証明終了)次に、の極限を求めることにする。考えると、x→0+0のとき、logx→−∞、1/x→+∞となり、1の極限はいわゆる不定形の極限になる。そこで、ロピタルの定理を使うとになる。問題3の(1)のグラフでのは、こうして求めている。x=0のところで白抜きの丸で表現されているのは、そういうわけです。a>0、b>0のとき、次の不等式を証明せよ。【解】とおくと、b=c2+2、a>0、b>0。よって、(解答終了)等号が成立するのはまた、とおくと、関数gは関数fの逆関数。は薄紫色の部分の面積S2に相当するので、S≦S1+S2となり、1が成立する。次の不等式を証明せよ。0<x<1/2でしたがって、ここで、では、x=sinθ(−π/2≦θ≦π/2)とすると、x=0のときθ=0、x=1/2のときθ=π/6。次の不等式を証明せよ。すべての正の数xに対して、不等式が成り立つことを証明せよ。[0,1]で正の値をとる連続関数f(x)が条件を満たすとき、不等式が成り立つことを証明せよ。【解】(1)とおき、xで微分すると、よって、g(x)はx=1のとき極小かつ最小。[0,1]でf(x)>0だから、(1)より[0,1]においてが成立。xの関数の極値を調べ、y=F(x)のグラフの概形をかけ。sinx=−1になるのはx=π。F(x)の増減表はよって、よって、グラフは次の通り。次の関数の最大値、最小値を求めよ。0≦x≦π/2においてと定義される関数f(x)の最小値をを求めよ。増減表を書くとよって、x=π/4のとき最小で、最小値はf(π/4)=√2−1(解答終わり)この問題3の類題は大学入試に何度も出ている。a>0のとき、を最小にするaを求めよ。ときに最小になることを証明せよ。【略証】a≦x≦bにおいてf'(x)<0だから、f(x)はa≦x≦bで単調減少。ときに極小、かつ、最小。(略証終わり)f'(x)>0の場合の証明も行っている。問題3、類題は、この問題4の特殊な場合。f(t)がt≧0において連続な関数であるとき、はx>0において増加関数であることを証明せよ。【解】f(t)はt≧0で増加関数だから、0<t<xではf(t)<f(x)したがって、よって、x>0ではで、F(x)は増加関数である。(解答終了)この問題は、さらに次のように一般化することができる。関数f(x)が[a,b]で連続な増加関数ならばはa<x<bで増加関数である。