a、bがともに零ベクトルでないとき、(1)式より、内積はθが鋭角ならば正、直角ならば0、鈍角ならば負である。a、bのいずれかが零ベクトル0であるとき、内積は0である。ベクトルの内積に関しては、交換、結合法則が成り立つ。mをスカラーとすると、さらに、が成り立つ。先に述べたように、ベクトルaとベクトルbのなす角θが直角のときa・b=0である。a=0またはb=0である。基本ベクトルi、j、kに対してはである。=–2i–2j+2kが垂直であることを示せ。【解】よって、垂直である。a=2i–3j+kとb=3i–j–2kのなす角を求めよ。a=2i–3j+kのb=3j–4k上への正射影を求めよ。【解】aのb上への正射影はである。向きは、この平行四辺形のある平面に垂直で、aからbへ右ネジをまわすときネジの進む方向と同じであるベクトルを作る。このようにaとbから作ったベクトルをaとbの外積、または、ベクトル積といい、記号a×bであらわす。aとbのなす角をθとすると、外積の大きさはである。aとbが平行のとき、およびaまたはbが零ベクトルであるとき、と定義する。a×b≠0のとき、a×bはb×aと大きさが等しく向きが反対だからすなわち、ベクトルの外積は交換法則が成立しない。分配法則は成り立ち、さらに、i、j、kを基本ベクトルとすると、ベクトルaとベクトルbの成分をそれぞれ(a1,a2,a3)、(b1,b2,b3)とすると、外積は、分配法則が成り立つので、これを行列式で書くとである。[ネコ騙し数学]ディラックのデルタ関数ディラックのデルタ関数δ(x)とは、次の性質をもつ超関数のことである。このディラックのデルタ関数の性質を調べるためには、通常の微分積分の範囲を超える数学の知識が必要になるので、物理の本を参考にして、デルタ関数の性質をいくつか紹介することにする。x≠0ではδ(x)=0だから、x≠0のf(x)の値は積分の値に無関係で寄与しない。したがって、また、である。(1)からt=0のときのf(t+a)の値。f(x)を任意の関数とする。f(x)を任意の関数にすると、t=−xとおくと、x=−tだから、x=−∞はt=∞、x=∞はt=−∞に対応する。dx=−dtだからしたがって、である。f(x)を任意の関数とする。ax=tとおくと、dx=dt/aだからよって、である。最後に、デルタ関数の微分f(x)を任意の関数とし、次の積分を考える。−x=tとおくと、これに部分積分を施すと、また、したがって、任意の関数f(x)について以上のことをまとめると、ディラックのデルタ関数には次のような性質がある。(i)はデルタ関数δ(x)が偶関数であることを表し、デルタ関数の導関数δ'(x)が奇関数であることを表している。ディラックのデルタ関数は、正規分布の密度関数の極限で与えられることが知られている。したがって、デルタ関数は正規分布の密度関数の一種と考えることができる。y=f(x)上の点P(x0,y0)においてで定まる円を曲率円(接触円)という。放物線y=x2上の点x=0とx=1における曲率円。双曲線y=1/x上の点x=1における曲率円。曲線y=logx上の点x=1における曲率円。y=f(x)=x2だから、f’(x)=2x、f''(x)=2。x=0ではf(0)=0、f'(0)=0、f''(0)=2。したがって、曲率円はである。x=1では、f(1)=1、f'(1)=2、f''(1)=2。よって、x=1における曲率円はである。y=f(x)=1/xだから、x=1では、f’(1)=−1、f''(1)=2よって、x=1における曲率円はである。y=f(x)=logxとおくと、である。x=1では、f(1)=0、f'(1)=1、f''(1)=−1。曲率とは曲線や曲面の曲がり具合をあらわすもので、曲率半径は曲率の逆数である。半径rの任意の円の微分方程式を作れ。円の中心を(a,b)とすると、半径rの円の方程式は1の両辺をxで微分すると、2の両辺をxで微分すると2と3より3と4を1に代入して、a、bを消去するとよって、(解答終)もし、x=x0の近傍で曲線y=f(x)を局所的に円に近似できるとすれば、5式からこの近似した円(曲率円)の半径(曲率半径)を求めることができる。2と3式より、円の中心(a,b)はと求められる。試しに、6式を用いて、放物線y=x2/2の点xにおける曲率円の半径を求めてみると、だから、よって、x=0のとき曲率半径r=1、x=0のとき曲率半径r=2√2になる。図を見ると、x=0、ならびに、x=1の近傍の放物線を曲率円が表していることがわかるであろう。以上のことをまとめると、次のようになる。曲線y=f(x)上の点P(x0,y0)においてで定まる円を曲率円(接触円)という。曲線上の点P(x,y)における接線とx軸のなす角をθ、曲線上でPに近い点Qにおける接線'がx軸となす角をθ+Δθとし、弧PQの長さをΔsとするとき、を2点P、Q間の平均曲率といい、(の絶対値)を曲率、この逆数を曲率半径という。半径rの円があり、円周上の2点P、Qとこの円の中心のなす角、すなわち中心角をΔθとすると、弧PQの長さΔs=rΔθだから、となるので、何故、曲率の逆数が曲率半径になるのかが分かるのではないか。この両辺をxで微分すると、左辺はだから、また、だから、したがって、曲率と曲率半径κはである。点Pにおいて曲線に接し、接線に関して曲線と同じ側にあって、半径が|κ|に等しい円を曲率円といい、その中心)を曲率円の中心という。y=x3の曲率を求めよ。[ネコ騙し数学]直交曲線群パラメータc、1個の平面曲線群のすべての曲線に一定の角度αで交わる曲線を等角直線といい、とくにα=±π/2(α=±90°)のとき直交曲線という。微分方程式で与えられる曲線群に対する直交曲線群の微分方程式はである。曲線y=φ(x)に点P(x,y)でy=ψ(x)で直交するとすると、すなわち、点Pにおけるy=φ(x)とy=ψ(x)の接線が直交するとすると、この曲線の接線の傾きφ'(x)とψ'(x)の積は−1。したがって、(1)に代入すると、ここで、改めてとおくと、(1’)は(2)になるというわけ。放物線y=ax2(a≠0の任意実数)に直交する曲線群の方程式を求めよ。すると、xy≠0のとき、したがって、xy=0のとき、y=ax2はx軸に接するからy=0は直交する曲線になる(特異解)。y=0が直交曲線群である。(解答終)y=ax2を、x≠0のときと変形し、さらに、この両辺をxで微分しとして、aを消去することもできる。次の曲線群と直交する曲線群を求めよ。【解】(1)の両辺をxで微分すると、P(x,y)においてxy=kに直交する曲線の勾配をdy/dxとすると、(2)の両辺をxで微分すると、y–1≠0のときP(x,y)においてxy=kに直交する曲線の勾配をdy/dxとすると、を変数分離法で解くと、y=1は円群x2+y2+2x–2y+C=0に直交し、これは1のa=0の場合(特殊解)(※)。x=−1も円群x2+y2+2x–2y+C=0に直交する(特異解)。αをパラメータとして含む曲線群の各曲線と1点だけで接する曲線を、この曲線族の包絡線という。f(x,y,α)をC1級とする。曲線群と包絡線の接点を(x,y)とすると、xとyはαの関数である。(1)と(2)は接するのだから、また、φ(α)、ψ(α)はf(x,y,α)=0上の点だからこれをαで微分すると、よって、包絡線は、2曲線の交点(φ(α),ψ(α))=0の軌跡であり、この2式からαを消去した方程式の曲線Cに含まれる。曲線Cは曲線群の特異点を含むことがある。よって、x=αのときy4–y2=0となりy=0、±1となるが、点(α,0)は特異点(結節点)なので、直線y=0は特異点(α,0)の軌跡。したがって、包絡線はy=±1である。次の曲線群の包絡線を求めよ。【解】(1)1の両辺をαで偏微分すると1の両辺を2乗すると、よって、包絡線は放物線y2=4x(2)1の両辺をαで偏微分すると、1と2を2乗して足すとよって、包絡線は原点を中心とする半径pの円である。(3)をαで偏微分すると、したがって、x=−1は包絡線であり、x=0は特異点の軌跡。(解答終了)とすると、したがって、(0,α)は特異点である。よって、(x,y)=(0,α)においてよって、(0,α)は結節点で接線は2本引ける。弦の両端をA、B、その中点をCとし、C(α,0)とする。直線の方程式をとすると、条件より1をαで偏微分すると、2をαで微分すると3に代入すると、とおくと、これを1に代入すると、2に代入すると、4を2乗したものと5の辺々を掛けると、よって、アステロイドになる。関数f(x,y)をC1級の関数とし、(x0,y0)を曲線f(x,y)=0上の点とする。なるとき特異点という。x=φ(x)で表される。通常点(x0,y0)では接線がただ1つ存在し、その方程式はである。0(a>0)とすると。0は特異点を持たず、通常点のみである。f(x,y)=y3–x4=0とすると、。したがって、(0,0)は特異点。同一の曲線なので、となり、φ'(0)=0で、この曲線はx=0でx軸と接している。0とすると、したがって、(0,0)は特異点である。なるので、したがって、x=0での微分係数は0となり、この曲線はx軸に接している。この曲線の特異点(0,0)のような特異点を嘴点と呼ぶ。特異点の分類f(x,y)をC2級の関数とし、(x0,y0)を曲線f(x,y)=0の特異点とする。同時に0にならないとき、(x0,y0)を2重点という。とおくと、2重点は次のように分類できる。D=0ならば通常は尖点で、(x0,y0)における接線は1本である。D<0ならば孤立点で、その近傍内にある曲線の部分は(x0,y0)だけである。例2、例3の特異点は、D=0になるので、尖点である。曲線y2=x2(x+a)の特異点を調べよ。【解】f(x,y)=y2–x2(x+a)とおくと、を解くと、になる。a≠0のときしたがって、特異点は(0,0)のみである。特異点の判別をするために、f(x,y)の2次偏導関数を求めると、したがって、だから、a>0のときは結節点、a=0のときは尖点、a<0のときは孤立点(解答終了)参考までに、a=3、a=−3のときの、曲線y2=x2(x+a)の概形を以下に示す。今,確..コメント、ありがとうございます。..Cもお願いしますベートーヴェンについて。ベートーヴェン..ルートヴィヒ・ヴァン・ベートーヴェ..コメントありがとうございます。ソネットポイントこの広告は前回の更新から一定期間経過したブログに表示されています。更新すると自動で解除されます。