数列には、無限に続くもの(無限数列)と有限で終わるもの(有限数列)がある。有限数列においては、項の個数を項数、最後の項を末項という。例という数列があったとき、一般項はである。次の数列の空所を満たし、その第n項を求めよ。【解】(解答終わり)どうやって、この関係を見つけたって?勘(^^ゞ(1)は、nが1増えるごとに、1/2減っているようなのでらしい。7だから、2n-1と推測できる。したがって、であろう。実は、この手の問題は、一般項の式がひと通りに決まらない。複雑な式で□の部分を予想でき、その推測式によって□の値が変わる。(2)、(4)はラグランジュ補間を使ってとnの2次式の形で一般項を求めることができる。(3)は、ラグランジュ補間を使うとと2次式ので一般項を求めることができるのだ。いうn+1個の相異なる点があるとき、このすべての点を通るn次式を求めることができる。3点であるとき、2次のラグランジュ補間の式はである。上の補間式に使うとになることを確かめて欲しい。ある直線lがあるとする。点Pが直線l上にあるので、となる実数tが存在する。点Aと点Pの位置ベクトルをそれぞれとすると、よりとなる。ここで、tはすべての実数値をとる変数、媒介変数である。平行なので、と考え、上式に代入するとこの結果をまとめると、次のようになる。通る直線の方程式s+t=1とすると、上の式は次のように書き換えることができる。2点A(−2,3)、B(2,−4)を通る直線上の任意の点の座標を、媒介変数tを使ってあらわせ。【解】さらに、直線上の任意の点Pの位置ベクトルをとする。したがって、(解答終わり)を使って計算してもいいけれど、上のように解いたほうが、計算は楽でしょう。平面上に異なる3点A、B、Cがある。s、tは、s≧0、t≧0であるような実数値をとる変数でとする。s+t=1のとき、Pの軌跡を求めよ。s+t=k(kは正の定数)のとき、Pの軌跡を求めよ。s+t≦1のとき、Pの存在範囲を求めよ。s+t=1よりs=1−t。s≧0とt≧0より、0≦t≦1。t=0のときP=A、t=1のときP=B。点Pは線分AB上を動くので、点Pの軌跡は線分AB(両端を含む)である。l=sk、m=tkとおくと、l≧0、m≧0でさらに、とおくと、(1)より、Pの軌跡は線分CDであり、よって、Pの軌跡は原点を中心にABをk倍した線分CDである。s+t=kとおくと0≦k≦1。よって、点Pの存在範囲は、△OABの内部とその周である。∠AOBの2等分線が直線ABと交わる点をPとするとき、次のことを示せ。∠AOB≠0だから、よってs+t=1と連立して解くと、(2)よって、である。正四面体ABCDの辺AB、BC、CD、DAの中点をそれぞれP、Q、R、Sとするとき、次の問いに答えよ。PR⊥AB、PR⊥CD【解】とする。正四面体だからAB=AC=AD。正四面体の1辺の長さをaとすると、また、△ABC、△ABD、△ACDは正三角形だから、∠BAC=∠BAD=∠CAD=60°。立方体の3つの辺をOA、OB、OCとし、同一の平面上にない頂点をDとすると、ODは△ABCの平面に垂直であることを示せ。立方体の1辺の長さをaとし、O(0,0,0)、A(a,0,0)、B(0,a,0)、C(0,0,a)とする。すれば、D(a,a,a)。すると、よって、だから、ODと△ABCの平面は垂直である。よって、OD⊥AB、OD⊥AC。したがって、ODと△ABCの平面に垂直である。空間の3点A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,1)がある。△ABCの面積を求めよ。向きの単位ベクトルを求めよ。△ABCの平面と△AOCのなす角の余弦を求めよ。【解】(1)(2)とする。△ABCと△PQRの間に、次の関係がある。△ABCと△PQRの面積比を求めよ。よって、点PはABを2:1に内分する点。同様に、QはBCを、RはCAを2:1に内分する。