円Oに内接する△ABCがある。動点Pが円O上を動くとき、を満たす点Qの軌跡は、△ABCの各辺の中点を通る円であることを示せ。は△ABCの外接円の半径Rであり、点QはDを中心とする半径R/2の円周上の点である。点Aと点Pが一致するとき、つまり、のときで、点Qは辺BCの中点と一致し、したがって、点QはBCの中点を通過する。同様に、点Pが点Bに一致するときはCAの中点、点Cと一致するときはABの中点を通る。以上のことより、点Qの軌跡は、△ABCの各辺の中点を通る円である。(解答終わり)△ABCの重心をGとすると、だから、である。決まった平行四辺形ABCDがある。任意の点Pに対して、が一定であることを証明せよ。四角形ABCDは平行四辺形だからよって、したがって、この値は、任意の点Pによらず、一定である。(証明終わり)この問題の結果を使うと、次の問題を簡単に解くことができる。位置ベクトルとする4点A、B、C、Dはどんな位置関係にあるか。【解】よって四角形ABCDは平行四辺形。して問題1の結果に代入するとよって、AB⊥AD。以上のことから、四角形ABCDは長方形。(解答終わり)そして、平行四辺形の面積を与える公式の証明。