JSTに更新されました。中部大学’が作成しています。連絡は、後藤@電気システム工学科へお願いします。原点を中心としてθ回転させた点の座標Ruv(Ruv=(ru,rv))を考える。点Rxyの原点からの距離をr、線分ORxyのx軸からy軸に向かって測ったx軸とのなす角をαとおけば、rx=rcosα、ry=rsinαで与えられる。座標に対応する単位ベクトルで表せば、xy座標に対応する単位ベクトルをex、eyとおいて、Rxy=rxex+ryeyと表される。(eu、ev、ex、eyは(座標の方向を表す単位ベクトルというだけでなく)座標で表されるという意味で、ベクトルの変換に対してRxyと同じに扱ってよいので、)ex、eyをRxyと同様にθ回転させたベクトルをeu、evとおけば、Rxy、ex、eyと同様の関係があるので、Ruv=rxeu+ryevと表される。図を参考にして、eu、evをex、eyで表せば、eu=cosθex+sinθey、ev=−sinθex+cosθeyであることが分かる。図より、Ruv=rxeu+ryev=rx(cosθex+sinθey)+ry(−sinθex+cosθey)=ruex+rveyex、eyにかかる係数を比較すれば、ru=cosθrx−sinθry=r(cosθcosα−sinθsinα)rv=sinθrx+cosθry=r(cosθsinα+sinθcosα)変換行列Uによって、xy座標で表現される(ru,rv)と(rx,ry)の関係はのように表現される。図より、ru=rcos(α+θ)、rv=rsin(α+θ)と表すことが可能である。ゆえに、ru=r(cosθcosα−sinθsinα)=rcos(α+θ)rv=r(cosθsinα+sinθcosα)=rsin(α+θ)なる関係があることが分かる。次のような三角関数の和積の関係(公式)が導かれる。cos(α+θ)=cosθcosα−sinθsinαsin(α+θ)=cosθsinα+sinθcosαeuは、ex(=(1,0))をθ回転、evは、ey(=(0,1))をθ回転させて得られることから点を表すベクトル表現において、位置を表すベクトルの係数は変えずに、座標に対応するベクトルだけ変換すれば、点の回転が得られることが分かる。(メリーゴーランドの木馬に乗っている人はメリーゴーランドの回転(座標に対応するベクトルの回転)とともに移動する。木馬との位置関係(座標に対応するベクトルにかかる'位置を表すための係数')は変わらない。)euの方向にu軸を、evの方向にv軸を設定したことに相当する。(u軸はx軸をθ回転、v軸はy軸をθ回転させて得られる。(xy平面をz軸の周りでθ回転させたのがuv座標)uv座標では、xy座標の場合と同じ成分として点が与えられる。)すべての点が、原点に対して同じだけ(θだけ)回転されるので、点の集合がある図形を与えていれば、回転後の図形は回転前と合同である。複数のベクトルを回転させても、ベクトル相互の関係は不変である。(メリーゴーランドに乗って眺めれば、木馬の位置は不変である。)三次元空間での回転xyz空間における原点を通る直線を軸にした回転について考える。先に考えたxy平面における回転を三次元に拡張すると、xy平面における回転は、z軸の正の方向から原点を眺めたときのxy平面に射影される点の回転に相当する。z軸の正の方向から原点を眺めたとき、z軸を回転軸として左回りに回転させる(原点からz軸の正の方向を眺めたとき右回りに回転させる)ことになる。同様にx軸、y軸の周りの回転を考えると、x軸周りのθ回転を表す行列y軸周りのθ回転を表す行列これらの変換は、回転であるのでベクトル相互の関係は変わらない。(単位ベクトルであるから、lx2+ly2+lz2=1)の軸の周りのθ回転を考える場合には、elをどれかの座標軸に一致させれば、回転を記述することができる。次の手順で回転を表す行列を求める。�@z軸で回転させて、elをyz平面に移動させる。(回転角をγとする)�Ax軸で回転させて、elをz軸と一致させる。(回転角をαとする)�Bz軸(elと一致している)で任意の点R(x,y,z)をθ回転させる。�Cx軸で点Rを−α回転させる。�Dz軸で点Rを−γ回転させる。z軸の周りで回転させても、z軸とelのなす角は変わらないので、z軸とelのなす角はαである。elのxy平面への射影がy軸とのなす角がγであるから、αとγを用いれば、lx=sinαsinγly=sinαcosγlz=cosαで与えられる。