tよって次のように与えられる。trを成分で表せば、先ほどの式になる。(円環の中心軸をz軸とし、円環を含む平面をz=0とする)の位置での電位φを求める。電荷の分布は、XYの座標軸を設定して、媒介変数θを使って、(X,Y,Z)=(Rcosθ,Rsinθ,0)で与えられる。(θは、XY面内でX軸からのなす角に相当する。(円環の中心軸をz軸とし、円環を含む平面をz=0とする)の位置での電界Eを求める。'で示したように、各成分それぞれの線積分を求めれば良い。Lの接線方向(drのこと。rがL上を移動する時変化drはLの接線の方向をあらわす)との内積を取りながら距離に対して積分する(Eの'rの移動方向'の成分を移動距離に対して積分する)表現を考える。積分の一般表現は、∫E・dr(;Lに沿って積分する)である。各項について一つの独立変数で積分を表現して、(第一項でXをそのまま積分変数とすれば、yとzは、xで表される従属変数)各項を別々に積分して値を求めることができる。(すべての項を共通の独立変数で表しても良い。スカラのスカラによる積分と同じになる。)(積分経路によって、ある変数について多価関数になるときには、値の重なりを考慮して積分する必要がある。重なった領域においては、それぞれの領域に分けて積分する。スカラ関数|E|cosφをスカラ|dr|で積分することになる。(もちろん、スカラ関数の変数は'積分変数(一つの変数)だけで'表現されねばならない)もし、ベクトル関数E(r)がスカラ関数U(r)によってE(r)=gradU(r)と表されれば、gradU(r)・dr=dUであるから∫E・dr(dr;r1〜r2)=∫gradU(r)・dr(dr;r1〜r2)=∫dU(dU;r1〜r2)=U(r2)-U(r1)とかける。この積分は、二点間のUの差で与えられることから、経路Lによらず一定であることが分かる。