自分のブログログアウトねむねこ幻想郷ネムネコ・ファミリーのために、大昔に書いたファンタジー小説を公開。数学のサイトではありません。関数f(x)のx=aにおける微分係数f'(a)が存在するとき、つぎの極限値をa、f(a)、f'(a)を用いて表せ。x=a+hとすると、h=x−a。よって、x→aのとき、h→0。(解答終わり)(2)は、次のように解くこともできる。関数f(x)が任意の実数x,yに対して常にを満足しているとき、次の問いに答えよ。f'(0)=0として、x=aにおける微分係数f'(a)を求めよ。【解】(1)にx=y=0を代入すると、(2)よって、(解答終わり)(2)より、問題2の関数は、x=0で微分可能ならば、任意の点aで微分可能なことが分かる。(2)より、f(x)=x2である。次の関数の連続性と微分可能性について論ぜよ。なり、f(x)はx=0で連続である。x≠0のときx→0のとき、sin(1/x)は振動し収束しないので、f(x)はx=0で微分可能でない。(2)よって、g(x)はx=0で微分可能である。x=0で微分可能だから、g(x)はx=0で連続である。(解答終わり)定理f(x)がx=aで微分可能ならば、x=aで連続である。【略称】よって、x=aで微分可能ならば、x=aで連続である。関数y=f(x)がx=aからx=bまで変化すると、それに応じてyもf(a)からf(b)に変化する。f(b)−f(a)であり、変化の割合はである。これをy=f(x)のx=aからx=bまでの平均変化率という。グラフでは直線ABの傾きをあらわす。関数y=f(x)のx=aにおける微分係数はあるいは、である。グラフでは、点(a,f(a))における接線ATの傾きをあらわす。関数y=f(x)がx=aで微分係数をもつことは極限が存在することである。このとき、f(x)はx=aで微分可能であるという。右側微分係数、を右側微分係数という。f(x)がx=aにおいて微分可能である必要十分条件は、が成り立つことである。定義に基づいて、x=aにおける微分係数f'(a)を求めよ。関数y=f(x)=x3−4xのx=aにおける微分係数が区間[−1,1]における平均変化率に等しくなるようなaの値を求めよ。次の関数f(x)はx=1で微分可能か【解】(1)h>0のとき、|h|=hだからh<0のとき、|h}=−hだからしたがって、微分可能ではない。h<0のときh>0のときよって、微分可能である。除去可能な不連続f(x)はx=a以外で連続で、x=aにおいて定まった値を持たず不連続であるが、が有限確定であるとする。このとき、x=aにおけるf(x)の値をf(x)=bと定めると、f(x)は連続になる。例この関数は、x=2で0/0で定まった値を持たず不連続。x=2におけるf(x)の値をと定義し、とすると、f(x)はx=2で連続になる。問題1は、f(0)をどのように定めたら、連続になるか。【解】x≠0でよって、またハサミ打ちの定理よりである。したがって、f(0)=0に定めればよい。(解答終わり)ハサミ打ちの定理f(x)≦g(x)≦h(x)かつならばである。問題2がxのすべての値に対して連続であるようにa、bの値を定めよ。【解】|x|>1のとき|x|<1のときx=1のときx=−1のときx=1で連続であるためにはx=−1で連続であるためにはでなければならない。1と2よりa=0、b=1である。極限の計算で、を使っている。数列とは、ある規則に従ってならべられた数の列のことくらいの定義しかないようだ。名著とされる高木貞治の『解析概論』では、次のように数列が定義されている。ように、無数の数を一定の順序でならべたものを数列という。自然数の範囲内において変動する変数nの’函数’である。文学的な表現で、定義としては不十分のように思う。その点、とある本に書いてある数列の定義は実に明快だ。自然数の全体をNであらわす。