ここまでの変換によって、elはz軸に一致する。点R(x,y,z)は、�@、�Aの変換によってまとめればで点R'(x',y',z')へ移される。ここで、行列Tは、ベクトルelを(0,0,1)へ移す変換の一つ(変換�@�A)を表す。この変換で得られた点R'をz軸に関してθ回転させた点R''(x'',y'',z'')は次のように表される。�C、�Dの変換も同様に考えて行えば、elを軸としたθ回転後の点R位置点R"(x''',y''',z''')は次のように表される。変換�C�Dが、変換�@�Aの逆変換であることを考えると、上の表現は行列Tの逆行列によって、とも与えられる。なっているはずである。(x,y,z)→(x''',y''',z''')の変換は次のように表される。次の行列Uによって、elの周りのθ回転が記述されることが分かる。μ=1−cosθとおいた。(単位ベクトルであるから、lx2+ly2+lz2=1)を軸としたθ回転(elの終点から起点を見たとき左回りの回転を正の方向とする)は、回転前の点をr、回転後の点をr'とすれば、r'=Urで与えられる。rで何かの形を与える点の集合が代表されていれば、r'の点の集合で与えられる形はrの点の集合の与える形と合同となる。(点をelに関して同じだけ回転するのであるからあたりまえ)例えば、(1,1,1)軸を中心とした2π/3回転を表す行列は、(lx,ly,lz)=(1/31/2,1/31/2,1/31/2)、θ=2π/3であるから、であたえられる。実際、この変換を行うとex(=(1,0,0))→ey(=(0,1,0))、ey→ez(=(0,0,1))、ez→exになることが分かる。