問題[空間図形]左図のように、1辺が1cmの小立方体を積み上げて、一辺の長さが6cmの立方体を作りました。次に、この立方体から計28個の小立方体を取り除きました。この立体を、A点およびB点を通るような平面で切断して、体積がちょうど2等分されるようにします。このとき、小立方体は何個切断されるでしょうか。他(補題)点対称の空間図形の中心を通る平面は、この図形を2等分する。逆に、この図形を2等分する平面は中心を通る。(証明)前半は明らか。後半は次のように背理法で考えましょう。ある平面2が、この図形を2等分し、かつ図形の中心Oを通らないとします。ここで、平面2に平行で中心Oを通る平面を平面1とします。すると、平面1は補題の前半より図形を2等分することになりますが、これは仮定と矛盾します。よって、補題の後半部分も成り立つことが分かります。問題の平面(Pとします)は対角線ABを含むので、最初の立方体(C0とします)の中心Oを通ります。小立方体も2等分します。従って補題後半より立方体C2の中心O2も通ります。ところで、OはC2の底面に含まれる辺上の点で、頂点F2から1cmの距離にあります。よって、O2に関してOと対称な点T2も平面Pに含まれます。T2は、C2の頂点D2から1cm、従ってC0の頂点Dから2cmの距離にあります。よって、Oに関してからT2と対称な点Tも平面Pに含まれます。以上から、平面Pは平行四辺形BT2ATを含むことになるので、立方体C0を上から1cmごとに区切って考えると下図のようになります。上の段から、4、5、5、10、10、10個、よって、合計44個を切断することが分かります。M.Hossieさん、DrKさん。