[場合の数]左図のように、円周上に5個の点をとってそれぞれの点をすべて線で結びます。円の内部ではどの3直線も1点で交わることがないように結べば、円は16個の領域に分割されます。これと同じように円周上に8個の点を取りそれぞれを結んだ場合、円周はいくつの領域に分割されるでしょうか。2.解答例1:(ありさのお父さん他)円周上の点がn個のときの領域数をSnとします。S2・・S7は下図の通り。ここで、Snの階差を求めると、第4階差が常に1となり、ΔS7=42と見込まれるので、S8=57+42=99、一般にSnはnの4次式で表されると予想される。実際、n=8のときの図は下記のとおりである。以上3.解答例2:(B2さん、kuri他)ΔSnを求めてみよう。下図ではFBの左に点が3個、右に3個あるので3×3=9個の直線があり、これらとFBの交点は9個、増える領域数は9+1=10個となっている。同様にして、nが1増えたときの領域数の増分は、新たな点と元のn個の点を結んだときの直線との交点数+1の合計となることが分かる。3.解答例2:(あれふさん、たなかさん他)順に線を引いていくと考えて円の内部の増え方は(1)他の線分と交わる毎に1つ増える。(2)線分を引き終えると1つ増える。最初(線を引く前)円の内部は1つですから結局円の内部は1+交点の数+線分の数=1+nC4+nC2=1+n(n-1)(n-2)(n-3)/24+n(n-1)/2=(n4-6n3+23n2-18n+24)/24に分けられます。