まとめ2005年文系数学大問4[mathjax]\[a^3-b^3=65を満たす整数の組(a,b)をすべて求めよ。\]とてもシンプルな問題です。京都大学ときくとなんだか難問奇問のイメージが先行してしまいがちですが、この問題は実は中学生でも解けます。少なくとも難関私立を受験しようとしている人なら半数くらいは解けるんじゃないでしょうか。中学生でもわかるように丁寧に解説を書いていたらとんでもなく長くなりました。左辺の[mathjax]\[a^3-b^3\]に注目します。中学生では二次式の因数分解は習いますが、三次式に関しては学校で習いません。習わないのですが難関私立であればこの程度の因数分解は出題されます。因数分解について中学生が最低限知っておかなければいけないのは、[mathjax]\[xに関する整式Qの解の1つがx=aであれば、Qはx-aで割り切れる。ぼくは数学があまり得意でないので表現が間違っていたらご指摘ください。以下のように言い換えることもできます。[mathjax]\[Qがx-aで割り切れるのであれば、Qにx=aを代入すると式の値が0になる。\]わかりやすさのために正確性を犠牲にしましたが、これで伝わると嬉しい限りです。-3であることはすぐにわかります。そこで実際に左辺にx=-2と-3を代入してみましょう。\\(-3)^2+5\times(-3)+6&=9-15+6=0\end{alignat}このように成り立つことが確認できました。#例題では、上で学んだことを実際の問題で利用してみましょう。[mathjax]\[x^3+x^2-3x+1=0を因数分解せよ。\]例えばこのような問題がでたとき、どう考えるべきでしょうか?まず、この式が因数分解されたときの形について想像します。項は右辺のAとCの積でしかあり得ないので、それ以外の項はxがかけられているので定数になりません。[mathjax]\[AC=1\]ということが予想できます。-1)\}\]のどちらしかあり得ません。\\1^3+1^2-3\times1+1&=1+1-3+1=0\end{alignat}x=1を代入したときに式全体の値が0になったので、与えられた式が(x-1)で割り切れることがわかります。よって、[mathjax]\[x^3+x^2-3x+1=(x-1)(x^2+Bx+C)\]の形に因数分解できるはずで、あとは文字式の割り算をすればもう一方の式が求められます。[mathjax]\[x^3+x^2-3x+1=(x-1)(x^2+2x+1)\]因数分解では、実際に先程の京都大学の問題を因数分解してみましょう。[mathjax]\[a^3-b^3=0\]もし、右辺が0だとすればこのような式になります。この式がaに関する三次式だと考えます。この場合、a=bであれば式全体が0であることは明らかです。よって、この式は(a-b)で割り切れるはずで、[mathjax]\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+A+b^2)\]のような形で因数分解できるはずだと予想できます。このとき、右辺に関しては正確にどんな形になるかは予想できなくても問題ありません。大事なのは(a-b)で割り切れることに気付くかどうかです。[mathjax]\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]文字式の割り算を行えば、上のように因数分解できることが確かめられるはずです。右辺はこれ以上因数分解できません。整数問題ここまでできれば中学生としての因数分解の知識は十分だと言えます。高校生ならばこの先が解けなければいけません。与えられた式が、[mathjax]\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=65\]となるところまでは確かめました。これだけだとやはりとっかかりにくいかもしれませんね。ここで以下のように文字を置き換えます。B=a^2+ab+b^2とする。\]すると、先程の式は次のようになります。B=65\]こうすればどうでしょう、なんとなく解けそうな気がしてきませんか。Bも必ず整数になります。B=65を満たす整数の組(A,B)をすべて求めよ。\]これならばものすごく簡単ですよね。-65)のようなペアが存在します。ここまで理解できたのであれば中学生なら満点です。B)のペアが8通りあることは求められました。b)のペアなのでそれを考えなければいけません。b)のペアがつくれるわけではないということです。Bのどちらも0以下ということはあり得るか考えてみます。Bが共に負である4通りについては考えなくて良くなるので、いきなり解の候補が半分減ります。-1)の4通りのこと。ついてはなるべく早く成り立つか確かめてしまったほうが良いでしょう。\]元の式はこうだったので、Aが負の数になることは十分考えられますがBに関しては成り立つかちょっと怪しいですよね。相加相乗平均を使って確かめる方法もありますが、手っ取り早いのは平方完成を利用することです。これならば中学生でも確かめられます。\]このように全て二乗の形に変形するのがコツです。中学(実数)の範囲内では平方数は必ず0以上になるからです。\\なので、B>0である。\]よって、B<0はあり得ないので、この4通りについては考えなくて良いことがわかりました。B=65これはつまり次の問題と意味することが同じです。bの組み合わせを求めよ。\\\]まず、aとbの差が1であることを利用して次のように置き換えます。[mathjax]\[b=a-1とおく。\]このように置き換えるとa-b=1を満たしつつ、文字を1つ減らすことができます。b)のペアはありません。整数の二乗は必ず整数で、整数-整数が分数になることはないため。よって、この場合は解が存在しないことがわかりました。4であることがわかりました。-1)\}\]となります。B=5同じように置き換えて解きます。\\\]これが因数分解できるかは解の公式で確かめるしかありません。高校生であれば判別式を知っているはずなので、それを使いましょう。\sqrt{-447}\]負の数になることが見抜ければこの二次方程式を満たす解が(実数内で)ないことがわかります。B=1見るからに解がなさそうですが、ちゃんと調べなければいけません。\sqrt{-1407}\]となり、根号の中が負の数になったので解はありません。b)が求められました。これ以外に解はないのでこれが答えになります。きいていなかったのですが、ひと目簡単すぎて「本当に京都大学か?」という疑問が脳内をよぎったのですが、文系の入試問題ということでなるほど納得でした。文系ということを差し引いてもこの問題は簡単だと思います。小問4つに分けて出題すれば解き切ってしまう中学生がいてもなんら不思議ではありませんね。いうか、うちのブログの読者で数学好きな人いなさそうなのに完全に自己満足な記事になっちゃいました。自身を天才と信じて疑わないマッドサイエンティスト。十字架の疵は彼女につけられた。PM懐かしい問題です。整数論で因数分解は基本的アイデアですね。考えるのがこの問題の基本方針です。三の倍数になるものが正答です。求まるのは記事の通りです。出題者はこの程度の筋書きを考えていると思います。似たような単純な出題で東京大学の入試問題に円周率の大きさを評価させるものがかつてありました。これもよく考えたら誰でも解ける問題です。重要なのは試験時間内にどこまで思いつけるかですね。このことは灘中の算数の過去問が例えとして個人的には分かりやすいと思います。灘中の過去問はセンター数学で満点をとれる程度の能力があれば一つ三十分もあれば絶対に解けると思いますが、それでは時間がかかりすぎです。試験時間からみて問題を受験生は一つ5分程度で解きますが、出題内容は灘中受験者には誰でも解けねばならないものですから、受験生は皆早く解くための発想を磨くわけです。京都大学の場合は文理で試験時間が違った気はしますが、試験時間が短い点は中学受験と同じであり、一つ15分程度(普通は配点で案分)でないと合格点は厳しかった気がします。試験は土壇場の数理解析能力や発想を測っているわけです。AM灘中の問題は本当に難しいですよね。自分が高校生の時にチャレンジしたら六割くらいしか解けなくて愕然としたのを覚えています。東大の円周率の問題は基本アイデアを小学校のときに習っていたのでものすごく簡単に解けたのを覚えています(円に内接する正六角形を考えるアイデアだったはず)京都大学や灘の計算力だけではなく、思考力を問う問題は本当に好きです。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。