function)とは、(積分論を展開する文脈として自然なものである)可測空間の間の、構造を保つ写像である。具体的に言えば、可測空間の間の関数が可測であるとは、各可測集合に対するその原像が可測であることを言う(これは位相空間の間の連続関数の定義の仕方と似ている)。この定義は単純なようにも見えるが、σ-代数も併せて考えているということに特別な注意が払われなければならない。可測関数であることを意味する。上のボレル集合族である)。結果として、ルベーグ可測関数の合成は必ずしもルベーグ可測とはならない。慣例では、特に断りの無い限り、位相空間にはその開部分集合全体により生成されるボレル代数が与えられるものと仮定される。ある場合だと、この空間として実数全体あるいは複素数全体からなる空間をとる。実用においては、ボレル集合族に関する実数値可測関数のみを指して可測関数という語を使用するものもある[1]。代わりに無限次元ベクトル空間に取られるのであれば、弱可測性やボホナー可測性などの、可測性に関する他の定義が用いられることが普通である。確率論の分野において、σ-代数はしばしば、利用可能な情報すべてからなる集合を表し、ある関数(この文脈では確率変数)が可測であるとは、それが利用可能な情報に基づいて知ることの出来る結果(outcome)を表すことを意味する。対照的に、少なくとも解析学の分野においては、ルベーグ可測でない関数は一般に病的であると見なされる。