2018.06.23目次2重根号とは足して、かけてを考える2を作る終わりに2重根号とは2重根号とは次のようなものをいいます。$$\sqrt{6+2\sqrt{5}}$$ルートの中にルートが入っているものですね。実はこれはもっと簡単にできるときとそうでないときがあります。これは以下のように変形出来ます。$$\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1})^2}$$確かに一つ目のルートの中を展開すると元に戻ります。この形にできたということは、ルートの中身はプラスですから、$$\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1})^2}=\sqrt{5}+1$$とできます。これで2重についていた根号が一つになってくれました。これを「2重根号」を外すといいます。今回は2重根号を外すにはどうすればいいのか、どう考えればいいのかを説明していきます。足して、かけてを考える先ほどの例でもあった通り、2重根号が外せるためにはルートの中が2乗の形になる必要があります。一般的に$$\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}$$の形にならなければ2重根号は外せません。いうことは逆にルートの中身が$$\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}=\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$$になっていないと2乗の形に戻らないのでこの\(a\)と\(b\)を探すことになるのです。先ほどの例だと$$\sqrt{6+2\sqrt{5}}$$でしたので、かけて5、足して6になる様な\(a\)と\(b\)を探すと確かに1と5ですので、式は$$\sqrt{6+2\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{1})^2}$$とでき、2重根号が外せたわけです。よって2重根号の問題が出てきたときは、一般的な形と同じであることを確認したら、かけて・足してを意識しましょう。1問例題をやりましょう。$$\sqrt{8+2\sqrt{15}}$$これの2重根号を外してみましょう。かけて15、足して8である数字を見つけるのです。見つけましたか?答えは$$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$$となります。途中でちゃんと2乗の形になることは意識しましょう。違うパターンでもう1問。$$\sqrt{7-2\sqrt{12}}$$少し立ち止まりましょう。今までと違うところが一つあります。それはマイナスになっていることです。いう場合は先ほどと何か違うのでしょうか?これはどうして2重根号が外せるかをわかっていれば何も変わらないとこがわかるでしょう。$$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$となるだけであるからです。やることは今までと同じですね。それは2乗を外すときに\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)の符号がどうなっているかを判断する必要があります。マイナスなら「マイナスをつけて外す」ことが必要になりますよね。こんなことが起こるので、意識としては中身がプラスになる様に順番を考えましょう。$$\sqrt{7-2\sqrt{12}}$$は足して7、かけて12の数字を見つければいいので、3と4ですね。いうことは候補として$$\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{4})^2}$$と$$\sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{3})^2}$$が考えられます。どちらも正しいのですが、下の方がすんなりいきます。2乗の中がプラスなのでそのまま外せるからです。上だと$$\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{4})^2}=-(\sqrt{3}-\sqrt{4})=\sqrt{4}-\sqrt{3}$$と考えなくてはならないため少し面倒です。どちらにしても答えは$$\sqrt{7-2\sqrt{12}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$です。2を作るではこんな問題はどうでしょう。$$\sqrt{3-\sqrt{5}}$$ん?なんかないですね。\(\sqrt{5}\)の前に2がないので今までの話が使えないではありませんか。