チェビシェフの不等式では、平均と標準偏差が重要な役割を果たしていた。問題(1)(2)コインを$10$回投げることを考える。(1)このとき、表が出る回数の平均$\mu$を求めよ。(2)また、表が出る回数の標準偏差$\sigma$を求めよ。僕「いやいや、ミルカさんも言ってたけど、チェビシェフの不等式は《どんな分布に対しても成り立つ》ものだよね。分布を定めれば、もっと入っている可能性がある。いまは《コイン投げを$10$回行う》という決まった状況で考えるわけだから、それはありえる話だよね」テトラ「なるほどです。問題(1)コインを$10$回投げたとする。(1)このとき、表が出る回数の平均$\mu$を求めよ。......あ、ちがいます。$$僕「テトラちゃん、テトラちゃん、落ち着いて考えて。表が出る回数はぜんぶ同じ頻度で出るわけじゃないよ。表が何回出るかによって、確率は違う。僕「確率に比例した分だけ頻度が高くなるんだから、《表が出る回数》に《その回数になる確率》を掛けて足すようにしなくちゃ。僕「いや、その二つは同じだよ......テトラちゃん。表が$0$回出る確率は、表が$10$回出る確率に等しいよ。どちらも$\frac{1}{2^{10}}$で」テトラ「す、すみません。落ち着きます......はい、今度は大丈夫です。僕「うん」テトラ「コインを$10$回投げるとき、表が$0$回出る確率を$P_0$とします。表が$1$回出る確率を$P_1$とします。僕「おっと、$k$が出てきた。その場合、$k$は$0,1,2,\ldots,10$の範囲のどれかだね」テトラ「はい、そうです。0,1,2,\ldots,10$)。僕「その通り、その通り。その式、よくサクっと出てきたね」テトラ「いえ、そういえば以前、期待値を習ったのを思い出したんです。僕「うん、平均は期待値と同じことだからね。僕「そうなるね」$k$回表が出る確率$P_k$を計算する問題(1-a)コインを$10$回投げたとき、表が$k$回出る確率$P_k$を求めよ。コイン$10$回投げるすべての場合を考えて......」テトラ「お待ちください、先輩」テトラちゃんは僕の前に手のひらを広げた。テトラ「名誉挽回、今度はきちんと答えられます。僕「うん」テトラ「コインを$10$枚投げたときのすべての場合の数はぜんぶで$2^{10}$通りあります。