正方行列\[A=\begin{bmatrix}2&2&3\\2&3&4\\1&1&2\end{bmatrix}\tag{2}\]を使って、LU分解の具体的な手順を見ていきます。作り出すことを目指します。とおいて操作を止めます。}A=U\tag{6}\]と表せます。(基本行列の記事で説明したように、三角行列の逆行列や三角行列同士の積は三角行列です)。}E_{3,1,1/2}=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\\frac{1}{2}&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\\frac{1}{2}&0&1\end{bmatrix}\tag{8}\]となります。次のように分解できます。LU分解する手順を示したもので、数値計算ではより効率的なアルゴリズムを使います。対角成分は揃っていません。揃えた上三角行列が現れます。方法で分解して、\[\begin{bmatrix}2&2&3\\2&3&4\\1&1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\\frac{1}{2}&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&\frac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&\frac{3}{2}\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\tag{12}\]と表すことができます。LDU分解の間に本質的な違いはありません。乗じるだけで上三角行列を作り出せるとは限りません。分解できることが知られています。