}U\tag{18}\]となります。}E_{3,2,-1}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\2&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\2&-1&1\end{bmatrix}\tag{19}\]を得るので、\[\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&1\\1&3&3\\2&5&8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\2&-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&3&3\\0&1&1\\0&0&3\end{bmatrix}\tag{20}\]のように分解されます。適当な行列をつくって分解を試してみます。表現するピボットインデックスを返します。渡せば連立方程式を解くことができます。行列の要素に記号を設定すると、一般的な分解の形を確認できます。解くために編み出されました。おけば、方程式は\[LU\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}\tag{21}\]と表せます。\[U\boldsymbol{x}=\boldsymbol{c}\tag{22}\]とおけば、\[L\boldsymbol{c}=\boldsymbol{b}\tag{23}\]となります。方程式を解く手順を二段階に分けたことで、一見するとかえって煩わしくなったと考えるかもしれません。数値計算的には非常に巧妙な仕掛けがほどこされています。三角行列をベクトルに乗じた形の方程式は簡単に解けます。具体的に書き表せば\[\begin{bmatrix}l_{11}&0&0\\l_{21}&l_{22}&0\\l_{31}&l_{32}&l_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}\tag{24}\]のような形になります。