[1])を部屋で見ることができます。学院に再入学して勉強したそうです。面白かったんだ」という趣旨のことばがありました。これはまさしく同感だと思ったしだいです。くといったところでしょうか。/ヒントとして関連づけられるものです。」というように感じるようになります。する知識/知恵」になるのではないかと思います。心極限定理など)がいっぱいあるな」と思いました。体系のなかに収斂(しゅうれん)していったわけです。した(それはそれで相当な苦しみだったわけですが...)。周波数ミキサによる周波数変換は希望波だけを捉えられない前編の「周波数ミキサによる周波数変換では」という節で、ふたつの周波数を乗算すると「f1,f2の引き算の周波数と足し算の周波数に、大きさ1/2、つまり元々の信号から-6dBとなったスペクトルが現れる」とお話しました。RF信号と呼びます)を「取り扱い易い」低い周波数に周波数変換して、復調などの情報信号処理をすることが一般的です。いっても、最近のアナログ・デバイセズの製品などではRF信号を直接、情報信号に変換する方式がさかんに用いられていますが...。希望波を低い周波数に変換する際に、前編で取り上げたような周波数ミキサが用いられます。周波数ミキサにより、として周波数変換をすることができます。LOと呼ばれます)です。希望波以外のイメージ周波数の信号も変換してしまうしかし周波数ミキサを用いると、図3のように本来の希望波であるfRF以外に、「イメージ(影像)周波数の信号fIM」もfIFとして得られてしまいます。前編、また上記に「f1,f2の引き算の周波数と足し算の周波数に、大きさ1/2、つまり元々の信号から-6dBとなったスペクトルが現れる」とご説明したように、この式(2)は「曇りなく/曖昧さなく」正しいのですが、「捉えたい希望波」以外の周波数も情報信号処理をする低い周波数に周波数変換されてしまっては、復調などの情報信号処理で適切な性能が期待できません。信号も周波数変換されるイメージ除去ミキサとはこの問題は複素ミキシングという方法を用いることにより解決できます。Mixer)」というほうが一般的です。後編で高速ADCの複素ミキシングについて示しますので、一応ここでもその用語を使用してみました。Mixerは各種製品があり、ひとつにHMC520Aがあります。24端子、RoHS準拠のLCCパッケージ品です。このICはイメージ除去ミキサにもシングル・サイドバンドのアップ・コンバータのどちらにも活用できます。このミキサではGaAsプロセスでのMESFET半導体の上にダブルバランスド・ミキサと90°ハイブリッド回路が形成されています。HMC520Aは一般的なハイブリッド型イメージ除去ミキサやシングル・サイドバンドのアップ・コンバータと比較して小型化を実現できます。表面実装技術によりワイヤボンディングの加工が不要となっています。イメージ除去ミキサは、それこそ前編の式(11)の応用としてと、得られる周波数が片一方(fRF−fLOのみ)、つまり希望波のみを周波数変換できるものです。これを実回路でどのように実現するのでしょうか。ウエーバー(Weaver)構造これには基本的にふたつの方法、図4のハートレー(Hartley)構造と、図5のウエーバー(Weaver)構造というものがあります。それぞれ発明者の名前が冠されています。ハートレー(Hartley)構造を式で追ってみるそれではハートレー(Hartley)構造について、ごちゃごちゃと式で追ってみたいと思います。前編からご説明しているように、現実世界で信号は、sinθとcosθで表されるわけですが、ここでは折角なので「ごちゃごちゃ」と極座標表現でやってみます。ハートレー回路に加わる希望波ですがとします。この式ではfRFではなく、ωRF=2πfRFで表記しています。以降も角周波数ωを用いていきます。下側の経路)図4の下側のミキサ経路に加わる局部(ローカル)発振信号は、式(4)と同じように(ωRFをωLOに変えただけ)です。希望波の式(4)と式(5)が乗算されるととなりますが、式だけだと「わけわかんないよ」となりかねませんので、周波数軸上で図示してみると図6のようになります。ωRF>ωLOと仮定して表記してあります。次段のローパス・フィルタ(LPF)で高い周波数成分(式の斜線の部分)が除去されると(第3項がプラスの周波数成分なので第2項と第3項を入れ替えて)、が得られます(図6にも示してあります)。上側の経路)つづいて図4の上側のミキサ経路に加わる局部(ローカル)発振信号は、式(5)と同じようにです。希望波の式(4)と式(9)が乗算されるとここでも次段のローパス・フィルタ(LPF)で高い周波数成分(斜線の部分)が除去されると(第3項がプラスの周波数成分なので第2項と第3項を入れ替えて)、が得られます。ここでも式だけだと「わけわかんないよ」となりかねませんので、周波数軸上で図示してみると図7のようになります。ここで特に注意していただきたいことが「極性」と「位相」です(結局、「極性」も「位相」なのですが)。そのため図7では3次元的に表記してあります。上方向が実数軸で、右に(後ろに)回転すると位相がプラスになるとしています。式(10)の第1項は1/jなので「マイナス90°の位相」となります。足し算合成の部分)さらに図4の右側のように、この2信号、つまり式(8)と式(12)とが合成されます。図4では、上側の系統の位相を45°遅らせ、下側の系統の位相を45°進ませ、都合、相互の関係を90°ずらして合成させています。ちなみにこの「45°遅らせ/45°進ませ」というのは、図4において抵抗とコンデンサで出来るローパス・フィルタやハイパス・フィルタで伝達特性が-3dB変化する周波数、つまり抵抗値とコンデンサのリアクタンスの絶対値が等しくなる周波数において、位相が45°変化することを用いています。この回路では、「ある特定の周波数」でしか「45°遅らせ/45°進ませ」というのを実現できないことになります。この90°の位相シフトを広帯域で実現しようとするなら、アナログ回路であれば「RCポリフェーズ・フィルタ」、デジタル回路であれば「ヒルベルト変換(ヒルベルト・フィルタ)」というもので構成することが一般的です。図4の下側の信号を基準位相として考えれば、上側の信号の位相が90°遅れたかたちで足し算されます。図4の上側の信号、つまり式(12)の位相をマイナス90°シフトしたものはとなりますが、これは式(11)においては、ちなみにを使ってもいいのですが、少しこだわって複素数をもちいて計算してみました(笑)。』倍すればいいだろう」と思うかもしれません。めでたくωRF−ωLOの信号が得られるこうなると式(14)は式(8)と全く同じだということが分かります。IF信号として得られることになります。ハートレー(Hartley)構造をSPICEシミュレーションで追ってみるここまで式で数学的にハートレー構造での周波数変換動作を考えてきましたが、SPICEシミュレーションを用いてグラフィカルにこの周波数変換動作を見てみましょう。使用したSPICEツールはアナログ・デバイセズのADIsimPEです。図8は図4のハートレー構造をシミュレーション回路で置き換えてみたものです。入力には希望波信号として6kHzを加えています。局部(ローカル)発振は5kHzで、サインとコサインが上下の経路それぞれの乗算器に加わっています。Function」という数学モデルに接続されています。このモデルを使ってローパス・フィルタを構成しています。最初はこのモデルでラプラス演算子を用いてフィルタ係数を作ってみようと思いましたが、ヘルプを見るとなんとベッセル、バタワース、チェビシェフの各フィルタ形状を関数として入れれば、簡単に目的のフィルタが実現できる機能があることに気がつき、さっそくそれ(位相変化・群遅延の少ないベッセル・フィルタ)を利用してみました!上記のラプラス伝達関数モデルの出力は45°位相を遅らせる/進ませるCR位相シフト回路に接続され、その位相シフト回路の出力が加算されるという構成になっています。確かにωRF−ωLOの信号が得られているシミュレーション結果を図9に示します。下の「中間周波数1kHz出力」のように、入力された希望波6kHzが周波数変換され、1kHzとして出力に現れていることが分かります。fLO=5kHz)イメージ周波数が除去されるようすを式で追ってみるつづいてハートレー回路に加わるイメージ周波数ωIMの信号をとします。下側の経路)式(17)のイメージ周波数の信号が、図4の下側のミキサ経路に加わる局部(ローカル)発振信号の式(5)と乗算されるととなります。ここでωIM<ωLOと仮定しています。この式(18)の周波数関係は周波数軸上で図6と(ωIM、ωLOの位置が逆な以外は)同じなります。次段のローパス・フィルタ(LPF)で高い周波数成分(式の斜線の部分)が除去されます。つづいて「プラスの周波数成分(式(18)の第2項)」、「マイナスの周波数成分(同じく第3項)」を式(18)そのままの順序で並べてみると(ωIM<ωLOなので、べき級数部のカッコの中は入れ替えて)この式は、ωRFが周波数変換される場合の式(8)と(ωLO,ωIMの順序は逆ですが)同じになります。理由はコサインなのでであってもコサインの符号は同じ(変わらない)だからです。上側の経路)つづいて、式(17)のイメージ周波数ωIMの信号が、図4の上側のミキサ経路に加わる局部(ローカル)発振信号の式(9)と乗算されるとこの式(20)の周波数関係を周波数軸上で図示してみると、図10のようになります。式(10)、式(11)では「第2項はマイナスの周波数成分で第3項がプラスの周波数成分」でした(そのため第2項と第3項を入れ替えしていた)。式(20)では「第2項はプラスの周波数成分で第3項がマイナスの周波数成分」となります。これがイメージ除去のポイントです。次段のローパス・フィルタ(LPF)で高い周波数成分(式の斜線の部分)が除去されるとωIM<ωLOなので、項の順序はこのままで、べき級数部のカッコ内のωIMとωLOの順序「だけ」を入れ替えると式(12)ではマイナス符号が付いていましたが、ここではそれがありません...。式(10)、式(11)では第2項と第3項が入れ替えられ、その結果、式(12)がマイナスになっていたのですが、この式(22)では式全体がプラスになっているわけですね...。足し算合成の部分)希望波と同じように、図4の下側を基準位相として考えれば、上側の位相が90°遅れたかたちで足し算されます。図4の上側の経路、つまり式(22)の位相をマイナス90°シフトしたものは、式(15)を使ってショートカットしてしまえばななんと!下側の経路の式(19)と、上側の経路の式(23)は「符号が反対なだけで全く同じ」だということが分かります。式(20)の周波数関係(ωLO>ωIMと仮定している)イメージ周波数は数学的に現れないだけで現実は回路のアンバランスで漏れ出してしまうこのように目出度(めでた)く、イメージ周波数の信号はキャンセルされ、出力には現れないことが分かりました。これは数学的な話しであり、回路に「誤差」があることによるアンバランスで、実際の回路の場合には、出力にこのイメージ周波数が漏れ出してしまいます。たとえは1%精度の抵抗なんて「高精度」というイメージがあります。-40dBであり、単純計算でも「1%誤差」の抵抗であっても-40dB程度の抑圧しかできないことになります。ハートレー回路では上下それぞれの経路に、RCで45°位相をずらす回路が用いられています。上記のような1%精度の抵抗であっても、上下それぞれ目的の周波数で「ぴったり」と45°の位相シフトが出来ないことになりますから、「限界がありそうだな」と直感的にも気がつくと思います。希望波が帯域幅を持っていれば、中心周波数から外れていく(これを「離調」といいます)にしたがって、上下それぞれの経路で45°の位相シフトから位相がずれていくことも気がつくと思います。結局これらが誤差となり、抑圧度の限界が出てきます。イメージ周波数が除去されるようすをSPICEシミュレーションで追ってみる図8のシミュレーション回路に、入力に希望波fRFを加えていたものを、イメージ周波数の信号fIM(4kHz)を加えたものとして修正してシミュレーションをおこなってみました。シミュレーション結果を図11に示します。下の「中間周波数出力なし」のように、イメージ周波数の信号はキャンセルされて出力に現れてこないことが分かります。それにしても面白い回路です...。fLO=5kHz)三部作の最後の後編では今回はアナログ信号における複素ミキシングとして、イメージ除去ミキサの動作について説明しました。次の三部作の最後となる後編TNJ-034では、ここまで説明した複素ミキシングについて、AD変換された離散信号でのデジタル信号処理でどのようになるかを説明します。Converter)というものに関する質問に答えるかたちで話しを進めていきます。聡1963年千葉県生まれ。メーカ入社、長く電子回路設計業務に従事。1994年技術士(電気・電子部門)合格。