小さいものから順に並べることができます。これが整列集合という名前の所以です。通常の大小関係を考えたものは整列集合です。実際、任意の空でない部分集合について、それに属する最小の自然数が存在します。通常の大小関係を考えたものは整列集合ではありません。ように順序を定めれば、整列集合とすることができます。なってくるとさすがにうまい方法がわかりません。選択公理と同値な命題である整列可能定理は、たとえ具体的に求めることができなくても、任意の集合は整列集合とすることができると言っています。(整列可能定理)任意の集合は、適当な順序によって整列集合とすることができる。当ページでも何度か用いていますが、数学の命題の証明手法として数学的帰納法というものがあります。成り立つという、あたかも帰納的に見える立派な演繹法です。成り立つという性質がドミノ倒しのように伝播していき、すべての自然数について成り立つことがわかるというわけです。2.の部分は次の2’.に置き換えることができます。仮定として使えるので、より強力なものになります。数学的帰納法でポイントになるのは2.(または2’.)から3.が言えるということで、このことは自然数というものの性質に根差しています。くるといったように帰納的に定義されており、実は定義そのものに数学的帰納法の手法を内包しています。自然数の定義を公理として認めるならば数学的帰納法の正しさが保証され、逆に数学的帰納法を公理として認めるならば自然数の定義が可能であるという表裏一体の関係になっています。ところで、2.から3.が言える(直観的な)ポイントは、自然数のどの元にもすぐ次の元があって、順番にドミノ倒しが起きるということです。実はこの性質は、まさに自然数全体の集合が整列集合であるということに他なりません。対しても、数学的帰納法と同様の手法を考えることができます。これを超限帰納法と言います。超限帰納法は数学的帰納法の一般化になっています。