空間ベクトルの問題です。回答数ランキングです。有理数の集合の測度が0であることの証明はhttp://oshiete1.goo.ne.jp/qa3714410.htmlが定石だと思うのですが、その証明の過程で起こってることがとっても不思議です「稠密な集合の1点1点を幅のある区間で覆っている」のに、Rを覆えないどころか、区間の幅の和がいくらでも小さくなっちゃうなんて。このことについて、「なるほど~」と思える解説を教えてください(集合の濃度にはあまり触れずにおねがいします)よろしくおねがいしますAベストアンサー#1です。うーん、集合和を有限で止めている覚えはないんですけど。質問の意図を読み違えていました。Rを覆っているということはないはずです。触れないように避けたのですが、Rって、実数集合のことだったんですね。Rationalかと思ったのですが、有理数は、普通Qでしたよね。たしかに、Rは、覆っていませんでした。実際、区間列の生成方法をうまく決めれば、そのような実数を探し出すことができそうな気がします。そのような実数があったとして、その実数の近くのどの有理数をとっても、その有理数を含む区間は狭すぎて、その実数を含まない状況になっていると想像できます。専門家でなく、また、結構ブランクがあるので、ちゃんとした確認までしてませんが、(と言い訳させていただきますが)たぶん、あっているのではないでしょうか?#1です。うーん、集合和を有限で止めている覚えはないんですけど。質問の意図を読み違えていました。Rを覆っているということはないはずです。触れないように避けたのですが、Rって、実数集合のことだったんですね。Rationalかと思ったのですが、有理数は、普通Qでしたよね。たしかに、Rは、覆っていませんでした。Rを覆っていないというのは、どんどん小さくなっていく加算無限の区間列の和集合に含まれないような実数が、どこかわからないけど、存在す...続きを読む他の回答も見るQルベーグ可測集合ってなんですか???ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。頭が悪いので簡単に説明して下さい。長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。いう意味なのか???ということです。面積(体積)がゼロの図形は、面積(体積)が0で確定しているので、面積(体積)を持つというそうです。体積が0の図形とは、壁の無いお家(柱、骨組み)のこととか・・・ですか???なんか的外れなことを言っていたらすみません・・・・すっごく分かりやすく教えて下さい。ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。頭が悪いので簡単に説明して下さい。長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。次元は本質的ではないです。誤解をうみやすい説明でしたね。理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。これは図ではえがけませんが集合です。集合Xの長さを考える時に、複数の細かい区間で覆っていくことを考えます。有理数の集合は可算ですから、有理数をQ1,Q2,Q3,Q3,,,と番号をふることができます。Q1を長さ1/2の区間で囲み、Q2は長さ1/2~2で囲み、Q3は1/2~3で囲み、、、、と。この場合、覆う区間の長さの合計は、等比級数の和で1になります。次に覆う区間を短くしていきます、たとえば、Q1を長さ1/2~2の区間で覆い、Q2は長さ1/2~3で覆い、Q3は1/2~4でおおいと、、、(先ほどの等比級数であらわれた長さをひとつ、ずらしたものです)、、、この区間の長さの合計は1/2になります。このように、おおう区間をどんどん細かくしていくと、区間の長さの合計は0に収束します。この収束値0を、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さとしましょうというのがルベーグの考え方です。(有理数からなる集合Xは可算ですから、こんなことは本当は必要ないのですが)、長さを決めるこのような方法を、数直線のいろいろな部分集合に適用して考えていきましょうというわけです。以上の方法で集合の長さが決まり、どんな分割の方法であれ、わけられた部分の長さの合計が、その集合の長さと一致すれば、正しく長さを定めたことになりますが、それができない場合があるというのが、ルベーグ可測でない場合です。以下のリンクにありますpauli.isc.chubu.ac.jp/~fuchino/papers/nagoya-logic-seminar-05.pdf平面(2次元)を全体集合とし、その部分集合の面積を考える場合、長方形からなる区間でおおっていくことになります。おおう区間を細かくしていって、、、おおう長方形の合計の面積の収束先を面積としましょうというわけです。次元は本質的ではないです。誤解をうみやすい説明でしたね。理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長...続きを読む他の回答も見るQ測度ゼロを持つ。L(I(n))は区間I(n)の長さを表す。測度ゼロの定義だと思います。その上で[問]次を示せ。E1,E2が測度ゼロを持つならE1∪E2が測度ゼロを持つ。測度ゼロを持つなら∪[n=1..∞]E(n)も測度ゼロを持つ。問題で四苦八苦してます。ご助言賜りますよう宜しくお願い致します。ε/2+ε/2^2+ε/2^3+...=ε未満の区間の和集合に含まれる。よって、E1∪E2∪E3∪...の測度は0である。いうような方針ではどうでしょうか?良く2つの場合はε/2を使ったり、3つの場合はε/3を使ったりしますね。これと同じ要領でε/anでΣanが収束するようなものを考えました。ついては例があったので、なんとか理解することができました。例X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。上極限sin(n)で考えましょう。「1付近の値を何回も(無限回)とる」から1が上極限です。「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)この例では下極限はー1ですね。上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。他の回答も見るQ数学科の大学院卒の方々は就職後、数学をあきらめるのか?数学科の大学院では、研究者向けの内容を勉強していていると思います。研究者になれる人はまれで、ほとんどが挫折して、就職していくと思います。就職先では、たとえ数学を使う仕事であったとしても、大学院での内容とは完全に異なると思います。社会人になると、そのような仕事のために、時間と情熱を使い、数学を勉強し続けたくても、現実には困難と思います。基礎数学にせよ応用数学にせよ、その気になれば就職口はあります。知り合いの後輩で、今年度ソニーに就職した人がいます。必要なところなら、電子回路の設計にせよ、大規模な統計処理にせよ、プラント設計におけるモデリングにせよ、いろいろと仕事はあります。)といった仕事もあります。それらの経験を通じて、やがて大学に戻るというキャリアを積む人もいますよ。中には趣味レベルながら内容的には高水準の基礎数学の研究を続けている人だって居ます。大学等で数学の研究職に拘って生きている人は極めて稀ですが、数学に触れ続けるだけなら数学科卒でなくてさえ可能だと思います。就職する人だって、挫折して研究者の途を諦めた人ばかりではありません(再受験などを経て、別の分野で研究職を目指す人もいるくらいですし)。内の任意の区間を含む最小の完全加法族である」のは正しいと思いますが、実数直線上の完全加法族で、B(R)を真に含んでいるものの例はあるのでしょうか?(ただし、Rには通常の位相を入れるものとします。)AベストアンサーANo.2です。ANo.4で指摘されていますが、ボレル非可測なルベーグ可測集合の作り方は以下の通りです。カントール関数は連続なので2の像はボレル可測ではない(これがボレル可測なら1もボレル可測になってしまう)あと、検索したら非ボレル集合の構成方法がありました。http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88ただこの例の集合がルベーグ可測かどうかは分かりません。他の回答も見るQ集積点が、まったく分かりません!!集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な用語くらいはご存知だと仮定して説明します。距離空間はご存知でしょうね。Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。x∈XがAの集積点であるとはxの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれるような点のことです。Xが距離空間なら、これは「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」と言い替えられます。直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」と言う条件をみたすような点のことです。ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。...(S1)かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。...(S2)ような点のことです。Xが距離空間なら、これは「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」となります。注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには必要でも十分でもないということです。xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないようなAの集積点も存在します。孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。Aは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。1}すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。