大学入試など受験勉強に役立つかも!?面白い良問から難問までまとめた、解いてすっきりできる問題集です。学生時代を思い出して挑戦してみよう!もし問題が解けたらコメントください。ときどき問題を追加する予定です♪あと最近はタイトルに反して高校数学だけでなく、算数や中学数学、パズルっぽい問題も増えてきました(笑)問6複素数の数列の問題<コメント>数列と複素数を合わせた新しいタイプの問題です。最近、過去問を順番に見ています。答えは、a[n]は初項2+i、公比√2×exp(-iπ/4)=1-iの公比数列で、a[n]=(2+i)(√2)^(n-1)×exp(-i(n-1)π/4)=(2+i)(1-i)^(n-1)。特別工夫の余地もない、ですかね。普通の実数の数列の一般項を求めるのと同じで、とりあえず項間の差や比を計算、などすると、すぐ等比数列だってわかりますから。数列の一般項を求める問題なので、常套手段として、項間の差や比を計算してみる。すると、a[n+1]/a[n]=1-iで一定ということがわかる([n]は添え字)。よって、a[n]は初項2+i、公比1-iの等比数列で、一般項はa[n]=(2+i)(1-i)^(n-1)。別の考え方をすると、虚数の問題で、実部・虚部の表示でピンと来なければ、大きさと位相を求めてみるのも常套手段。√2460,・・・}と、初項√5、公比√2の等比数列となっている。(arga[n])}={1/2,-1/3,-2,3,1/2,-1/3,-2,3,1/2,-1/3,・・・}であり、n→n+2で位相は-π/2進み、n→n+4で元に戻る(tanはπ周期なので、位相は-π進んでいる)。いう形式で表すと、位相の実関数f[n]はf[n+2]=f[n]-π/2かつf[n+4]=f[n]-π。初項n=1でf[n]=0として、f[n]=-(n-1)π/4となる。よって、一般項はa[n]=(2+i)(√2)^(n-1)×exp(-i(n-1)π/4)。exp(-iπ/4)=(1-i)/√2なので、結局a[n]=(2+i)(1-i)^(n-1)。この問題に関しては、こっちは複雑になりますね。利点といえば、複素数の除算が必要ない、ぐらいでしょうか(全部実数の計算ですし、大きさの最初の方の数項と、位相tan(arga[n])は暗算でできますかね)。見た目で等差数列ではなさそうとわかりますが、複素数のせいで等比数列かどうかはわからない、といった状況です。そこでとる行動としては、等比数列の確認をするため比を取るのが正攻法なんでしょうね。別の視点で見るため、あるいは視点を増やすため、にa[n]の大きさを見てみたとしても、この段階で等比数列であることが色濃く疑われるので、やっぱり比を取って等比数列であることを発見する、というのが想定される足取りかと思いますよ。たしかに等比数列だとほぼ確定していないと、使うのには無理がありそうですね。これが答えのようです。正解です☆数列を見て法則を見つける問題を作るのが好きなので、今後もまだ出題するかもしれません♪数学というよりパズル的なのですが。記事もいろんなところで書いています。