等しい円の等しい弧の上に立つ中心角と円周角は等しい。βεβηκυῖαι.等しい円の等しい弧の上に立つ中心角と円周角は等しい。等しい円ABCとDEFにおいて、角BGCとEHFを中心GとHにおける中心角、角BACとEDFを等しい弧BCとEF上に立つ円周角とするとき、BGCとEHF、BACとEDFは等しいと主張する。BGCがEHFに等しくない、例えばより大きいと仮定する。BGCは大きいから、点GからBG上角EHFに等しい角BGKをとることができる[命題I-23]。等しい中心角は等しい弧の上に立つから[命題III-26]、弧BKは弧EFに等しくなる。ここで、EFはBCに等しく、BKもまたBCに等しくなるが、小さいものが大きいものに等しいことになり矛盾である。したがって、BGCがEHFに等しくないということはあり得ず、等しくなる。角AはBGCの半分で、角DはEHFの半分であるから[命題III-20]、角Aは角Dに等しい。ゆえに、等しい円の等しい弧の上に立つ中心角と円周角は等しい。これが証明すべきことであった。