数学コラムサイトマップ(全体)レストの数学ブログ数学に関することを書いていきます。意味がわかると思うのでここまでちゃんと定義していませんでしたが、改めて述べると、元の個数が有限個の集合を有限集合、無限個の集合を無限集合と言います。以前少しだけ例で述べましたが、元の個数のことを濃度と言うのでした。無限集合のときは個数はこれと言うことはできませんが、濃度を定義することができます。定義するためには、写像についていくつか性質を定義しておく必要があります。単射が全射かつ単射であるとき、全単射であるという。写像によって移ってきたものであるということです。一つしか存在しないということです。(一つも存在しない場合もあります)この高々一つという意味合いを単という字で表しています。一つしか存在しないということなので、ただ一つ存在するということになります。よって、次が成り立ちます。対応することになるので一対一対応であるとも言います。ともに有限集合としましょう。元の個数(濃度)は等しいです。全単射があれば一対一対応が付くわけなので、有限集合の場合と同様に濃度は等しいと考えることができるでしょう。この直観を逆手にとって、濃度が等しいことを全単射(一対一対応)が存在することとして定義するわけです。表すことにしましょう。次に、基準になる集合の濃度を定義します。有限集合の濃度を有限の濃度と言い、無限集合の濃度を無限の濃度と言う。持つ集合を可算無限集合と言う。大きな濃度を持つ集合を非可算集合という。※:この定義は厳密なものではありません。実際は公理的集合論という分野の概念によって厳密な定義がなされるのですが、ここではより具体的な集合の濃度を始めに規定することで定義としています。上二つの式は直感的にも明らかだと思います。自然数全体の集合の濃度ですが、可算というのは数えられるという意味です。順番に数えていくことですべての元を列挙することができます。実は無限集合の濃度にもレベルがあって、数えられない無限集合(非可算集合)というものがあります。すべての元を書き並べることはできません。次に、濃度が等しいことを定義しましょう。