原論における正多角形の取り扱いについて述べる。作図法が与えられています。これらはすべて与えられた円に内接させることができます。(I-1)与えられた直線を一辺とする正三角形を作図すること。(IV-4)与えられた三角形に円を内接させること。(IV-6)与えられた円に正方形を内接させること。(IV-13)与えられた等辺で等角な五角形に円を内接させること。(IV-15)与えられた円に等辺で等角な六角形を内接させること。(IV-16)与えられた円に等辺で等角な十五角形を内接させること。命題I-9「与えられた角を二等分すること。q角形も作図できますから、正n角形の作図可能性を論ずるときにnとして素因数分解が奇素数だけから成るものだけを考えてかまいません。5という素数に対して、正p角形の作図法を与えていますが、その後、それ以外の素数pに対する正p角形の作図法が与えられるのは近代になってからです。1777-1855が正十七角形の作図法を発見したときの様子が描かれています。1849-1925が『19世紀の数学』で簡潔に説明しています。期せずしてこれを発見したとき、ガウスはまだ19歳に満たなかったが、これによって、二千年来発展のなかった正多角形の作図問題は一挙に大きく前進した、というか、最終的な決着がついた、というのも、彼はまもなく、任意の正多角形の作図可能性はnの数論的性質にのみ依存することを見抜き、その判定条件を与えることに成功したからである。1の形でなければならないというのである。──クライン『19世紀の数学』よりこの形の素数はフェルマー素数Fkと呼ばれ、現在まで知られているものは次の五つです。65537ガウスはnの奇素因数がフェルマー素数のときにだけ、定規とコンパスで作図できることを示しました。このことから正七角形や正九角形は作図できないことがわかります。作図法が発表されており、定規とコンパスによる作図法を拡張する試みとして注目されています。原論における定規とコンパスによる作図法は、あくまでも数学の理論体系を構築することを目的としており、当時においても建築や工芸の現場では原論の作図法がそのまま使われることはなかったでしょう。1471-1528は『測定法教則』で「理論を学ばなければ真の工匠にはなりえない」と原論を賛美する一方で、さまざまな数学器具を使った実践的な作図法について解説しています。現代において一般的に作図といえば、CGやCADにより数値的に図形を定義することを指していると考えてかまいません。計算機は有理数しか扱うことができませんが、必要な精度の近似を使うことでどんな図形でも描くことができます。現代の作図法は、実数論上に構築された幾何学や解析学に基づくものですが、原論の立場からは正n角形を必要なだけ近似する方法を与えていると解釈することができます。n-1は円をn等分しています。1の解、すなわち1のn乗根になっています。