大学入試など受験勉強に役立つかも!?面白い良問から難問までまとめた、解いてすっきりできる問題集です。学生時代を思い出して挑戦してみよう!もし問題が解けたらコメントください。ときどき問題を追加する予定です♪あと最近はタイトルに反して高校数学だけでなく、算数や中学数学、パズルっぽい問題も増えてきました(笑)問7整数の証明の問題<コメント>シンプルな問題ですが、解くのはかなり大変です。::編集ダメ子さん正解です!わかりやすい解説もありがとうございました。問12難しいですね問12のコメントもありがとうございます!「確率を求めよ」とは書いてないことがポイントかもしれませんね☆自分でも一つ一つ求めようとして、n=4,5ぐらいであきらめました。答えは、正の整数解a,b,cは存在しない。いつも回答の出てる問題の場合、一応解いてから皆様の解答を確認して、重複などないか確認するのですが。X=b/a,Y=c/aとすると問題の方程式は、a>0なので、X^2+Y^2=7となる。よって問題は、円C:X^2+Y^2=7上に有理数を座標とする点(有理点)(X,Y)を求めよ、なければよそれを証明せよ、と言い換えられる。円は有理点を持たないか、持つなら無数に持つかであるので、問題の解は存在しないと予想する。以下、問題は正の整数に関するので、関連する数字は正とする。円の半径rと円上(X,Y)の点はピタゴラス数から、2つの実数m,nを用いてr=m^2+n^2,X,Y=2mn,m^2-n^2で表し尽くすことができる(-√r<=m,n<=√rの範囲を左記のピタゴラス数の条件下で動かすと、円上の点が全て出尽くす)。N√q)(M,Nは有理数、qは有理数の2乗ではない有理数で√qが無理数)である。それぞれ2mn=2MNq,2MN,2MN、m^2-n^2=q(M^2-N^2),qM^2-N^2/q,M^2/q-qN^2で、2mn,m^2-n^2は有理数となる。r=m^2+n^2=√7なので、m.nともに有理数はあり得ない。それ以外の場合は、それぞれr=√7=m^2+n^2=q(M^2+N^2),qM^2+N^2/q,M^2/q-qN^2となって、右辺は全て有理数になるので、やはりあり得ない。以上から、円C:X^2+Y^2=7上には有利点は存在せず、よって7a^2=b^2+c^2には整数解は存在しない。こんばんは、これはきれいな証明方法ですね☆数字の計算ばかりの方法ではなく、文字だけでシンプルに解けるとは!m,nを使ったピタゴラス数の式は、高校で多分習わなかったと思いますが、高校生でも何の問題もなく理解できる内容ですね。大変さって、面倒さですかねぇ??(^^;一般論を導いてそれを使わなきゃいけない厄介さがありましたし。一瞬循環論法かと思ったんですがどっかで打ち止めになるかと思って一気に進みましたね。思い切りも大事なのかなって思います。リンクにミスがあったのでこちらの解答でお願いします。丁寧な証明をありがとうございました☆完璧ですね、正解です♪たしかに大変というのは言い過ぎでしたね!他の解答者の方も、それほど大変ではなかったと言っていました。高校時代に証明を習ったときの練習問題のようなシンプルな式の割に、大学入試レベルの解答となるという意味でした。問89の方で上げたフェルマーの二平方和定理(http://mathtrain.jp/twosquare)を使うと、「左辺は因数分解した時、4n+3型の素数(7)が奇数個あるので、平方数の和では表せない。::編集スモークマンさん前半で、a=4m+2のときには両辺4の倍数になりうるので、証明不十分ですね。あとb=4m+2やc=4m+2のときも考慮していないので、不正解です。両辺を7で割った余りを考えます。その平方数がどちらも7の倍数であるときのみです。よって右辺のb,cはどちらも7の倍数です。aが7の倍数であることが分かります。なり同じ方程式が出現しました。無限降下法(?っていうのかな?)が使える香りがしますね。7a'^2=b'^2+c'^2を満たします。7a''^2=b''^2+c''^2を満たします。この時点でa''はaから7が2つ取り除かれた整数です。c'''...'が存在することになります。a,b,cは自然数なのでたかだか有限個しか素因数7を持ちません。したがって、いくらでも7を取り除いて新たな整数を作ることができるという点が矛盾します。したがって、a,b,cは自然数の範囲に解を持たないことになります。プライムじゃなくて添え字にすればよかった。7a'^2=b'^2+c'^2も成り立ちます。なり、任意のnに対してa'''...'を定義できるので(b,cも同様)、無限回操作を繰り返せるという部分と矛盾はしないのです。いう部分と対応することになります。ように無限に操作を繰り返すとあるタイミングで整数でないものが現れて矛盾が生じるのです。「参考までに解がないことの、より確実な証明です☆」bとcが7の倍数まではOKとします。b=7^n×B(Bは7の倍数ではない数)、c=7^m×C(Cは7の倍数ではない数)と書けます。ここでn>mとします(逆も同じなので)。a=7^l×A(Aは7の倍数ではない数、ただしl=0もあり)。よって与式は7^(2l+1)×A^2=7^2n×B^2+7^2m×C^2。2l+1>2n>2mのとき、7^2mで割ると、7^(2l+1-2m)×A^2=7^(2n-2m)×B^2+C^2となり、左辺は7の倍数ですが、右辺は7の倍数ではないので不適。2n>2m>2l+1のとき、7^(2l+1)で割ると、A^2=7^(2n-2l-1)×B^2+7^(2m-2l-1)×C^2となり、右辺は7の倍数ですが、左辺は7の倍数ではないので不適。2n>2l+1>2mなども1同様7^2mで割ればよいので省略。1から3より、n=mのみ。7^(2l+1)×A^2=7^2n×B^2+7^2n×C^2=7^2n×(B^2+C^2)。右辺は7の偶数乗の倍数ですが、左辺は7の奇数乗の倍数なので不適。(B^2+C^2が7の倍数になるためにはBかつCが7の倍数にならなければならない。(この問題の前半で証明済み。))よって解なし♪だったような気がします。