2つほど解法を思いつきました。いうか、他に思いつきませんでした(笑)。n^2+14n+4=(n+7)^2-45=p^2(pは自然数)と置く(n>0なのでp>0)。(n+7)^2-p^2=(n+p+7)(n-p+7)=45=3×3×5。n,pが整数なので(n+p+7)(n-p+7)=45×1,15×3,9×5の3通り。(n+p+7)+(n-p+7)=2(n+7)=46,18,14。この方程式は、n=16,2,0を解とするが、n>0なので題意を満たす解はn=16,2の2通りで、これ以外にはない。検算:(n+p+7)-(n-p+7)=2p=44,12なので、p=22,6(2p=4→p=2の解はn=0に対応するので除外)。実際、2^2+14×2+4=4+28+4=36=6^2,16^2+14×16+4=256+224+4=484=22^2。よって、解はn=2,16。あとは、p^2=(n+7)^2-45<(n+7)^2だから、p<n+7。n>=2だから、p>n+3(n=1が解でないのは自明なので、n>=2)。よって、p=n+4,n+5,n+6。nは整数なので、解はn=2,16。ちなみに、n=21/4だとp=41/4。記事もいろんなところで書いています。