受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。2009年度の第二問の解説そしたら東京工業大学の2009年度第2問の一次変換の問題を解説してしばれかれるわ。[問題][2](60点)実数aに対し、次の1次変換f(x,y)=(ax+(a-2)y,(a-2)x+ay)を考える。以下の2条件をみたす直線Lが存在するようなaを求めよ。(1)Lは(0,1)を通る。(2)点QがL上にあれば、そのfによる像f(Q)もL上にある。[解答と解説]直線はax+by+c=0が一般的な形ですが、これは使いにくいことも多いと思います。3変数になってるしな。y=mx+bが便利ですが、y軸に平行な直線があらわせないのが難点でした。言うことで分けてやってみます。y軸に平行な直線で(0,1)を通るのはx=0やから、これで分けてみますわ。(i)L:x=0の時L上の点Q(0,t)(tは実数)とおけてf(Q)を(x,y)とすると(x,y)=f(0,t)=((a-2)t,at)で、すべての実数tでf(Q)がまたL上になるにはx=(a-2)tだからa=2の時です。この時、y=2tだから直線L上になってオッケーです。(ii)L:y=mx+1の時(mは実数)L上の点Q(t,mt+1)(tは実数)と置けます。一次変換する時はこうやって、直線を媒介変数で考えておくと便利です。f(Q)を(x,y)とすると(x,y)=f(t,mt+1)=(at+(a-2)(mt+1),(a-2)t+a(mt+1))だからx=(a+(a-2)m)t+a-2y=(a-2+am)t+aでtを消去してy=mx+1と係数を比較してもいいんですが、これをy=mx+1に代入してそれが全てのtについて成り立つようにした方が計算がすっきりします。y=mx+1に代入して(a-2+am)t+a=m(a+(a-2)m)t+a-2⇔(a-2)(m^2-1)t+(a-2)m-a+1=0これが全ての実数tに対して成り立つには(a-2)(m^2-1)=0...1かつ(a-2)m-a+1=0...2です。1よりa=2とすると2の左辺は-1になり矛盾。x=(a+(a-2)m)t+a-2y=(a-2+am)t+axの方の式でa+(a-2)mで割らないといけないから、これが0の時を調べてみます。a+(a-2)m=0とするとx=a-2となってy軸に平行な直線になって矛盾するからa+(a-2)m≠0です。これで割れてtを消去するとy=(a-2+am)/(a+(a-2m))・(x-a+2)+aって出てきた時点で、鼻血がいつもと違う感じで出てきそうですがそこはティッシュ丸めて入れておさえてください。冷静にやればすぐに鼻血止まるレベルでこれがLになるには(a-2+am)/(a+(a-2m))=mでなければなりません。これを整理すると(a-2)(m^2-1)=0ってかなり簡単な式になります。a=2の時は(a-2+am)/(a+(a-2m))はmだからLはy=m(x-2+2)+2=mx+2となって(0,1)を通らないからあかんなこれは。言うことでa≠2だからm^2-1=0⇔m=±1です。m=1の時は、Lはy=(x-a+2)+a=x+2でこれも(0,1)を通らないからあかんことになるなこれは。m=-1の時、Lはy=-(x-a+2)+a=-x+2a-2これが(0,1)を通るには2a-2=1よりa=3/2です。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/220-c30dc29eこの記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。