これを内積が誘導するノルムまたは内積が定めるノルムと呼ぶ。}}}とおくことで、二つのベクトルのなす角が定められる。^{2})}を満たすという意味でこの等式は幾何学的な性質を示すものと捉えられる。内積の性質を満たし、所期の通り与えられたノルムはこの内積から誘導される。この関係式を分極公式、または偏極公式(英語版)という。このように、内積はベクトル空間の代数的な性質と幾何的な性質の橋渡しをするものである。詳細については計量ベクトル空間の項を参照されたい。一般化[編集]内積の公理を適当に弱めることにより、内積を一般化する概念を考えることができる。退化内積(半内積)[編集]内積と最も関連性の高い一般化は、双線型性や共軛対称性はそのままに、正定値性に関する要請を弱めるものである。導かないこと以外はノルムの性質をすべて満足する(このような汎函数は半ノルムと呼ばれる)。このような内積空間の構成法は様々な場面で用いられ、特に重要な例はゲルファント=ナイマルク=シーガル構成法である。別な方向での一般化は、(正定値性を落として)対付ける写像が単に非退化双線型形式であるようにするものである。単射ということである。この一般化は微分幾何学で重要である。持つ場合を考えたものは擬リーマン多様体である。ベクトルの集合上の非零荷重を持つ点乗積に相似になり、またこのとき正および負の荷重の個数はそれぞれ正および負の指数と呼ばれる。ミンコフスキー空間におけるベクトルの積は「不定値内積」の例だが、技術的な言い方をすれば、これは上で述べた標準的な定義に従う「内積」ではない。(3,1)})である。依存して決まり、ゆえにより一般の状況においても成立する。反対という意味での名称だが、外積は(きっちり反対というよりは)もう少し広い状況で考えることができる。ここで注意すべきは、内積は同じ次元のベクトルと余ベクトルとの積でないといけないが、外積は相異なる次元の余ベクトルとベクトルを掛けることができる点である。次元が同じである場合、内積は外積のトレースに一致する(トレースがとれるのは正方行列だけなので、次元が異なる場合は考察できない)。持つ)ベクトル空間上では、ベクトルを余ベクトルにすることができる(座標をとって考えるならば、転置をとることに相当する)から、内積および外積は単純にベクトルと余ベクトルとの積ではなくて、ベクトル同士の積として捉えることができる。ここで、各写像の定義域において直積をとる順番は、余ベクトルとベクトルとの区別を反映していることに注意。いうのが、ベクトル場や微分形式に対する、あるいはより一般に外積代数における演算として定義される。この文脈においてグラスマン積はふつうは「外積」(outer)(あるいはウェッジ積)と呼ばれ、またこの文脈での内積は(考える二次形式が必ずしも正定値であることを要求されないという意味では「内積」でないので)スカラー積と呼ぶのが形式上はより適切である。エルミート対称性のもと、第二変数に関する線型性は第一変数に関する共軛線型性から出る。同様に、第一変数に関する共軛線型性は第二変数に函数線型性から出る。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスの下で利用可能です。追加の条件が適用される場合があります。詳細は利用規約を参照してください。Cookieに関する声明モバイルビュ。