加法保存性アフィン変換fに誘導された写像φは加法を保存します。φ([OQ])が導かれるからです。φ(a):φ(b)が成り立ちます。)が成り立つからです。順序関係の保存は包含関係の保存からわかりますから、写像φは直線上のベクトル比を保存します。これで写像φがベクトル空間V2上の線形変換であることがわかりましたが、アフィン変換fが全単射であることから、0でないベクトルが0に写されることはなく、φは正則です。次の命題が証明されました。命題3.2.1.10平面(E,V2)上のアフィン変換はベクトル空間V2上の正則な線形変換を誘導する。この証明の途中で次の補題が成り立つこともわかりました。補題3.2.1.12平面(E,V2)においてベクトル空間V2上の変換が加法を保存すれば、直線上のベクトル比を保存し、線形変換となる。groupと呼び、Affine(E)と書くことにします。groupと呼ばれます。原点Oを固定するアフィン変換全体のなす固定部分群をGOで表します。fは原点Oを固定し、しかもアフィン変換の合成ですから固定部分群GOに含まれます。gと平行移動と原点を固定するアフィン変換に分解されます。この分解は一意的です。g2が成り立つからです。これを補題としてまとめておきます。アフィン変換群の分解アフィン変換群Affine(E)は平行移動群Trans(E)と原点の固定部分群GOにより、次のように分解される。これにより、任意の正則な線形変換から原点を固定するアフィン変換が誘導されることもわかりました。アフィン変換の行列表現アフィン変換を座標を使って表現してみましょう。平面(E,V2)において正規直交座標系(O;e1,e2)を固定して考えます。V2とし、座標原点と基底の像を座標表現します。e2任意の点Pを与え、その点Pと像f(P)を座標表現します。e2f(P)の座標表現を計算します。e2係数を比較すると変換前後の座標の関係がわかります。a22これを行列表現します。(1)p1'p2'=t1t2+a11a12a21a22p1p2これは次のようにまとめて(3,3)行列で表現することができます。(2)p1'p2'1=a11a12t1a21a22t2001p1p21アフィン変換群Affine(E)は正規直交座標系を定めたときに次のように行列表現できることがわかりました。RここでGL(2,R)は実数上の(2,2)正則行列全体のなす群です。Affine(E)はGL(3,R)の部分群でもあります。このアフィン変換によって、正規直交座標系(O;e1,e2)を座標変換してみます。e1'=φ(e1)e2'=φ(e2)O'=f(O)とおくと、(O';e1',e2')は一般には正規直交性を満たしませんが、平面の座標系となります。p2')とすると、次が成り立ちます。(4)p1p21=a11a12t1a21a22t2001p1'p2'1これによりアフィン変換を与えたときに、それによる図形変換と座標変換は互いに逆変換になっていることがわかります。