†n個の資産が市場に存在し、それらの収益率の期待値をE(ri),i=1~nとし、共分散をσij,i,j=1~nとする。これらの上でポートフォリオを構築する時、期待値E(r)=ΣwiE(ri)が一定のもとで、その分散を最小化するポートフォリオを最小分散ポートフォリオと呼ぶ。この問題は、マコービッツの問題と呼ばれ、1期間投資モデルの基礎となるものである。上場企業は1部上場のみでも1700社にもなるので、個別に複数の資産を選んで、最小分散ポートフォリオを組む場合、大変な計算を要する。n個の資産を選んだ場合は、ベクトル形式での表示で最適化計算を行うことで、すっきりとした綺麗な議論が可能である。Markowitz)が1952年に発表した分散投資の数学的モデルを示した論文といわれています。複雑な計算を必要とするモデルですが、コンピューターの発達によって、広く用いられるようになりました。マルコビッツは1927年に生まれ、1990年のノーベル経済学賞を受賞しました。†ポートフォリオの分散は次式で定義される。E(ri-E(ri))(rj-E(rj))で定義されるので、分散は次のように表現される。ΣΣwiwjσijただし、σiiは、i資産の分散σi^2に一致することに注意すること。--->Min制約条件はΣwi・E(ri)=E(rp)Σwi=1目的関数を、分散の1/2とした理由は、後の計算を簡単にするためである。ついて、極値をとることである。μ(1-Σwi)まずは2変数の場合で解いてみよう。-μ(w1+w2-1)ラグランジアンをw1,w2,λ,μについて偏微分して、それをゼロとおくことで次式を得る。σ12=σ21も使ってσ1^2w1+σ12w2-λE(r1)-μ=0σ21w1+σ2^2w2-λE(r2)-μ=0Σwi・E(ri)=E(rp)Σwi=1上の4つの連立方程式を、w1,w2,λ,μの4つの未知数について解くことで最小分散ポートフォリオを求められる。線形であるので、線形連立方程式の数値解法で求めることができる。上記の計算をベクトル表示で行ってみよう。=0μp=W'μrw'1=1後の2つの式は制約条件になっている2本の式である。最初の式は、2行1列のベクトル表示であり、ベクトルWの各要素でラグランジェ関数を偏微分して導出された。この解を求めてみよう。Σ^(-1)1共分散行列の逆行列をQと定義しよう。μ・1'QこのW'を、2つの制約式に代入すれば、次の2本の式を得る。=1このλとμの2つのスカラー変数の連立方程式を解けば良いことが判る。係数{・}は内積の形となっておりスカラー係数であり、いずれの係数もσij,E(ri)(i=1~2,j=1~2)の関数となっている。2資産の場合の係数を具体的に表わしてみよう。-σ12)/(σ11σ22-σ12^2)で表わせる。このA=μr'Qμr、B=1'Qμr、C=1'Q1を使って、連立方程式から未定乗数をもとめればλ=(Cμp-B)/(AC-B^2)μ=(A-Bμp)/(AC-B^2)の式で一般のn資産の場合も求められる。(A-B・μp)Q1}/(AC-B^2)但し、Q=Σ^(-1)、A=μr'Qμr、B=1'Qμr、C=1'Q1で表わされる。これが最小分散ポートフォリオである。=(σ22-σ12)/(σ11-σ22-2σ12)そしてW2=1-W1で表わされる。第1資産の保有率w1は、第1資産のリスク(分散σ11)が小さい程、そして第2資産のリスクが大きい程、保有率を高めれば良い。第1資産と第2資産の共分散σ12が負で大なるほど、保有率を高めることになる。行列式の性質から調べてみよう。|なる2x2行列は、次の行列式の積の形で表現できる。1|行列の行列式の2乗に、detQを掛けた値になることが容易に理解できよう。1|=E(r1)-E(r2)detQ=detΣ^(-1)=1/detΣ=1/(σ11σ22-σ12^2)であるのでAC-B^2=(E(r1)-E(r2))^2/(σ11σ22-σ12^2)が成立する。w'Σwを求めてみよう。