以下のように整理できる。Q1λ=(Cμp-B)/(AC-B^2)μ=(A-Bμp)/(AC-B^2)但し、Q=Σ^(-1)、A=μr'Qμr、B=1'Qμr、C=1'Q1縦軸に収益の期待値y=rp、横軸に収益の分散x=W'ΣWをとれば、点(X,Y)の関係式は次式で表わされる。X=(λ^2)A+2(λμ)B+(μ^2)Cλ=(C・y-B)/(AC-B^2)μ=(A-By)/(AC-B^2)但し、Q=Σ^(-1)、A=μr'Qμr、B=1'Qμr、C=1'Q1μは、ある定数であり、λもμもyの一次式であるので、Xはyの2次式(放物線)で表わされることが判る。これが、リスク資産の効率的ポートフォリオである。次に、固定金利rfを表わす点を、分散が零なので、y軸上の1点(0,rf)で表わすことにする。この点と効率的ポートフォリオを表わす点(x*,y*)の2点を結ぶ直線を考える。この直線の傾きを最大とする点Mを求めてみよう。β=(y*-rf)/X*但しy*とX*は前記の効率的フロンティアの放物線上の点。†ベクトル形式で定式化しよう。R=(r1,r2,...,rm)'とおく。この平均値をμ=(μr1,...,μrm)'ベクトルで表わす。共分散行列をΣ={σij}とする。各資産をwiだけ保有するポートフォリオを重み付けベクトルW=(w1,w3,...,wm)'で表わす。この時のポートフォリオの収益率の平均値と分散は次式で表わせる。E(rp)=W'μV(rp)=W'ΣWいま、期待収益率E(rp)の目標値をμpと定めたとしよう。期待収益率μpを与えるポートフォリオ(重み付け)は、一般に多数考えられるが、リスク(分散)が少ない程好ましいと投資家は考えるでしょう。下図で示すように、3資産の場合の収益率の期待値と分散は、いろいろな値をとりうる。Markovitzの最小分散問題は、図の太線で示した左上の領域(放物線の上半分)の領域を求める問題です。この領域を効率的フロンティアと呼ぶ。定式化すれば、期待収益率が一定値μpのもとで、最小分散を与えるポートフォリオ(重み付け)を決める問題である。これは、線形制約のもとで、Wの2次関数を最小化する2次計画問題である。制約式:E(rp)=W'μ=μp(一定)。ベクトル有効フロンティアを解いてみよう。停留条件は、下記のラグランジェ関数を最小化すればよい。と1'W*=1に代入してλ1(μ'Qμ)+λ2(1'Qμ)=μp1'Q[λ1μ+λ21]=1から、ラグランジェ定数を求められる。2番目の式からλ2を求めよう。(1/1'Q1)Q・1となる。残されたラグランジェ変数はλ1のみである。1番目の式からλ2を代入消去すればλ1(μ'Qμ)+λ2(1'Qμ)=μpλ1(μ'Qμ)+[{1-λ1(1'Qμ)}/(1'Q1)](1'Qμ)=μpλ1{μ'Qμ-(1'Qμ)^2/(1'Q1)}+(1'Qμ)/(1'Q1)=μpよって、λ1は次式で与えられる。(1/1'Q1)Q1の形となる。そこでW*-(1/1'Q1)Q1を使って[Σ[W*-(1/1'Q1)1'Q]Σ[W*-(1/1'Q1)Q1]=(λ1)^2[μ'-(1'Qμ/1'Q1)1']QΣQ[μ-(1'Qμ/1'Q1)1]左辺はW*'ΣW*-2W*Σ(1/1'Q1)Q1+(1/1'Q1)^21'QΣQ1=W*'ΣW*-2(1/1'Q1)W*1+(1/1'Q1)^21'Q1ΣQ=I(単位行列)であり、W*1=1なので=W*'ΣW*-2(1/1'Q1)+1/1'Q1=V*(rp)-1/1'Q1となる。+(1'Qμ)^2/1'Q1]=(λ1)^2[μ'Qμ-(1'Qμ)^2/1'Q1]両辺を再表示すればV*(rp)-1/1'Q1=(λ1)^2[μ'Qμ-(1'Qμ)^2/1'Q1]となる。求めたλ1を代入整理すると、完成である。このことから、期待収益μpと収益の最小分散V*(rp)=W*'ΣW*の関係式は、[V*(rp)-1/1'Q1]{μ'Qμ-(1'Qμ)^2/(1'Q1)}=[μp-1'Qμ/1'Q1]^2が成り立つ。''これが、有効フロンティアの式である。期待収益μpの2次関数で、最小分散V*(rp)が表わされているので、収益率と分散の平面上では、放物線上に位置する。上の導出から、リスク資産のポートフォリオについて、縦軸yに期待収益(y=μp)、横軸xに最小分散値(x=V*(rp))をとれば、次の放物線で有効フロンティアが表わされることが判った。(y-a)^2=c(x-b)但し、a=1'Qμ/1'Q1、b=1/1'Q1、c=μ'Qμ-(1'Qμ)^2/(1'Q1)このように、係数(a,b,c)は、共分散行列の逆行列Qを使って、事前に1'Q1と1'Qμを計算しておけば求められる。それでは、安全資産rfと有効フロンティアを結ぶ直線が有効フロンティアの放物線と接するM点を求めてみよう。これは、分離定理におけるリスク最適化の解である。直線の式はy=βx+rfで表わされるので、これを前記の(y-a)^2=c(x-b)に代入して、根が1つ(重根)となる条件を計算すればよい。M点(xM,yM)はxM=(1/β){c/(2β)+a-rf}yM=c/(2β)+aβ=(yM-rf)/xMで表わされる。練習問題:2つのリスク資産のポートフォリオ問題1:r1,r2の平均ベクトルμと共分散行列Σが所与の時、rp=w1r1+w2r2の平均と分散を求め。問題2:ポートフォリオの期待値が所与(E(rp)=rp*で一定)のもとで、分散を最小にする最小分散ポートフォリオのw1とw2および最小分散値V(rp*)を求めよ。問題3:横軸xに、上記のポートフォリオの最小分散値、縦軸yにポートフォリオの期待値をとる時、xとyの関係式を表わす曲線の式を計算せよ。これが放物線であることを示せ。これを効率的フロンティアと呼ぶ。期待値と分散を求めよ。これが平均-分散平面上で直線で表わされることを示せ。問題5:安全資産rfと先の有効フロンティアを結ぶ直線が有効フロンティアの放物線と接するM点を求めよ。横軸にポートフォリオの分散、縦軸に期待値をとるダイアグラムを考える。効率的フロンティアとは、最小分散点よりも上半分の期待利回りを得ることができるポートフォリオの集合である。一般に、リスク回避的な投資家は、この効率的フロンティアの上が最善の投資と考えるためである。無リスク資産の重みをwとし、リスク資産の重みは1-wとしよう。w=1-σp/σを代入して、wを消去してみよう。(1-σp/σ)rf+(σp/σ)E(r)W=1の時、σp=0でありE(rp)=rfとなる。これは、平均-分散平面上では、点(0,rf)と点(σ^2,E(r))を結ぶ直線になる。上の図でわかるように、最適点Mは、ユニークに決められる。これは、無リスク資産と危険資産の効率的フロンティアを結ぶ直線の内で傾きを最大化するような点で与えられるので、効用関数とは無関係に計算可能である。安全資産と危険資産の組み合わせを行った場合の最適点は、効用関数によって異なり、よりリスクを回避したい場合は、安全資産をより多く保有する点を選ぶことになる。このことは、危険資産の中から最適な点Mを選ぶ危険資産内での最適化を行うことと、点Mと安全資産の重み付け最適化は、別々に行っても差し支えないことを示している。危険資産内での最適化ポートフォリオrpを選ぶ行為と安全資産rfと危険資産ポートフォリオrpの重み付けを分離できるという定理はトービンの分離定理と呼ばれる。†3つの互いに無相関な資産がある。どの資産も分散は1であり、その平均値はそれぞれ1,2,3であるとする。この時次の問題を解け。1.ポートフォリオの最小分散点を求め。2.効率的フロンティアを表す式をσとE(r)の関係式で示せ。3.効率的フロンティアを図示せよ。