受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。東京大学2012年度理系第4問、連続n整数の問題の解説さて、ここらへんで話をどてらしていこか。東京大学2010年度理系第4問の解説[問題]nを2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)のn乗になる数をn乗数と呼ぶことにする。(1)連続する2個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。(2)連続するn個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。○互いに素って言うところが有名な性質です。互いに素は中学受験の勉強すれば小学生でも知ってるかもしれません。知らなければ、これで覚えたらいいだけです。この問題では2の倍数は使いどころないし、何乗みたいな話は互いに素を使うことが多いと言うことからも互いに素と言う性質を使います、と言うことで互いに素なことを一応証明します。平方の問題をきっとこれを使うはずです。(参考→a+b=1の時、a,bは互いに素)この証明の論法は有名なのでそのまんま覚えてください背理法により証明します。mとm+1の最大公約数をd(≧2)と仮定するとm=dm',m+1=dm''とおけて(m+1)-m=d(m'-m'')⇔1=d(m'-m'')よってd=1となり矛盾です。整数×整数=1ならばこの整数は1か-1しかないってことは整数問題でよく使います。これでmとm+1は互いに素と言えました。互いに素と言えると、m(m+1)がn乗数ならば、m=p^nm+1=q^2(p,qは互いに素な自然数)とおけます。互いに素なので、片方がn乗の形崩れてたら、もう片方は影響与えられなくてカバーできないわけやな。それでこう置くとどうすればいいのかと言うと、n乗の数列って言うのは当然荒いねん。3乗やったら1,8,27,16,25,...とかやからな。7大きくなって、19大きくなって...と言うように1ずつ大きくなるわけがないやろ。連続するわけがないねん。言うことでp>q≧1やから差を考えてq^n-p^nを計算するねん。そこでこの手の式が出ると、整数問題でよく使う式変形があります。q^n-p^n=(q-p)(q^(n-1)+pq^(n-2)+...+p^(n-1))これやがな。ここでq-p≧1,pもqも1以上よりq^n-p^n=(q-p)(q^(n-1)+pq^(n-2)+...+p^(n-1))≧1(1+1+...+1)=n≧2で差が1なことに矛盾します、(2)連続n整数やからこれはn!の倍数とかnを含むとかが有名やな。したらa_1,a_2,...,a_k,...,a_nって連続n整数があればnの倍数となるa_kがあって他はnの倍数でないはず。a_k=An^2やろ。隣同士は互いに素やからa_(k+1)=A'(n+1)^nかあ。言うことは更に隣はa_(k+2)=A''(n+2)^nいや、でもa_kとa_(k+2)は互いに素じゃないから...どうやるんや...う、うへ~!!ってやってるとヴィーナスが近づいてくることになります。こんなん恐いですよね。いう感じでいけるかもしれんけど、でもさっきは連続2整数で2の倍数とか使わなかったし、アプローチの仕方が違うわけですね。したら、どうすれば自然にたどり着けるかと言うと、やっぱりよくある処理はn=3とかで具体的にやってみるです。4・5・6ならこの値は120やけど5^3=125で120越えてまうし、一つ小さくして4^3=64で小さくなりすぎです。5・6・7=210も6^3=216でこえるし、一つ小さくしても5^3=125で小さくなりすぎです。言うことは、3乗の数列はさっきと同じで荒すぎて4・5・65・6・7とか入らないわけですね。付近だけを考えれば良さそうやな。13・14・15・16・17・18・19が16^7だとすれば、16^7は17で割り切れるはずないけど、17の倍数やったから矛盾します。これはやれそうな気がします。連続するn個の自然数m,m+1,m+2,...,m+n-1(mは自然数)においてA=m(m+1)(m+2)...(m+n-1)を考えます。(k=1,2,...,n-2)しかないことになります、これもm+kとm+k+1は連続2整数より互いに素なのでA=(m+k)^nはm+k+1を約数に持たないけどA=m(m+1)(m+2)...(m+k+1)...(m+n-1)よりAはm+k+1を約数にもって矛盾します。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/464-651871c9この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。