受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。部分積分と漸化式の問題In=∫(0,π/2)sinΘ^nΘIn=∫(0,π/2)sinΘ^nΘを求める問題を今日は解説していきたいと思います。寒くなってきたから、梅雨が終わってクリスマスがやってきたと言う感じですね。この積分は四次元の球の図と体積の求め方。ついでにn次元の球の体積も。解説するとか言うてた問題です。部分積分と置換積分は大丈夫ですか?そうかあ、ごちゃごちゃになることがあるか。部分積分と置換積分は最初は確かにどっちを使えばいいのかわからないです。どっちでも出来る場合もあります。おおざっぱに解説すると部分積分は積分する関数が二つの関数の掛け算と考えます。xe^xならe^xとxの掛け算とみて、e^xの方を積分、xの方を微分したらxが消えて積分出来る形になります。他にはe^x・cosxなら2回部分積分を繰り返すと同じ形に戻って方程式が出来るのもあります。今日はこれを使います。置換積分は積分する関数を、(ある関数)の関数とその(ある関数)の微分の掛け算と考えます。cosx/(sinx)^3ならsinxの関数とsinxの微分=cosxの関数の掛け算と考えます。それでこれをt=sinxと置いてdt=cosxdxで置換積分します。慣れてきたら、置換しなくても∫(sinx)'/(sinx)^3dx=-1/4(sinx)^4+Cとやれるようになってきたら置換積分はかなり得意になってきたことになりますが、置換する場合でも結局こう見えなければ、たまたま置換したら出来たみたいな状態みたいなことになります。それも趣深いと思います。いうもんな所もあります。問題の積分に入って、何故かΘがxにかわってますが(sinx)^nはsinxの関数と見ても(sinx)'=cosxも無いしつくり出せそうにも無いので部分積分が良さそうです。(sinx)^n=(sinx)^(n-1)・sinxと考えてどっちかを微分してどっちかを積分するわけですが、さすがに(sinx)^(n-1)が積分出来たら苦労しないので、sinxの方を積分して(sinx)^(n-1)の方を微分します。すると∫(0,π/2)(n-1)(sinx)^(n-2)・(cosx)^2dxが出てきます・これはcosxが二乗なのでやっぱりsinxの関数と見て置換と言うわけにはいかなさそうです。いう場合はとりあえず(cosx)^2=1-(sinx)^2を使ってsinxだけの式にしてみます。なんでsinxだけにするんかと言われたら困りますが、三角関数の積分では(cosx)^2+(sinx)^2=1を使った変形をすると解けることがよくあります。1/cosxを積分しようと思うとcosx/(cosx)^2=cosx/(1-(sinx)^2)でsinxの関数×(sinx)'(=cosx)の形に見事になります。(cosx)^2+(sinx)^2=1をなんか知らんけど、使ってみてください。するとIn-2とInの式になります。(n-1)In-2-(n-1)Inこっからどうしたらいいのかわかりませんが、見方をかえるとこの値はInなのでIn=(n-1)In-2-(n-1)Inと言うように方程式が出来ています。このように積分していくと元の形が出てきた時は、一回落ち着いて注意してください。方程式が出来ているかもしれません。この方程式からIn=(n-1)/nIn-2とわかりました。数列の所で習う漸化式にはこんな形のはあまり出てきません。an+1=nanとかは余りでないと思いますが、こういう形のはどんどん漸化式のnのとこを変えて代入していきます。an=(n-1)an-1でこれにan-1=(n-2)an-2を代入してan=(n-1)(n-2)an-2でこれにan-2=(n-3)an-3を代入してan=(n-1)(n-2)(n-3)an-4でこれを繰り返すとan=(n-1)!a1となります。これは厳密には数学的帰納法で証明するかもしれませんが、この操作を繰り返して...って書けば問題ないことが多いです。ところがこの問題は少しややこしいのはIn=(n-1)/nIn-2はnが一つずつ減るんじゃなくて、2つずつ減るところです。実際にn=5とn=6の場合をやってみるとと言うように奇数の時はn=1で打ち止め、偶数の時はn=0で打ち止めで、奇数と偶数の時でInは変わることがわかります。奇数の時と偶数の時に分けて数列を求めることになります。それぞれの初項I0とI1も計算してください。写真を見ると、奇数の分母の3のとこにnは奇数だから1で止まるとかわけわからんこと書いてますが2以上の整数なので3で止まるでした。n=1の時は、この答えだとI1=0になってしまうのでn≧2の時を求めよって書かれていた理由もわかります。四次元空間の球の図と体積の求め方。ついでにn次元の球の体積も。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/78-507651c8この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。