受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。2009年度理系乙の第6問の解説ビール瓶で殴られる京都大学2009年度理系乙の第6問、整数問題の解説やります。[問題]aとbを互いに素、すなわち1以外の公約数を持たない正の整数とし、さらにaは奇数とする。正の整数nに対して整数a_n,b_nを(a+b√2)^n=a_n+b_n√2をみたすように定めるとき、次の(1),(2)を示せ。√2が無理数であることは証明なしに用いてよい。(1)a_2は奇数であり、a_2とb_2は互いに素である。(2)すべてのnに対して、a_nは奇数であり、a_nとb_nは互いに素である。[解答と解説](1)(a+b√2)^2=a^2+2b+2ab√2だからa_2=a^2+2b,b_2=2abです。a_2が奇数であることはa^2が奇数、2bが偶数で奇数+偶数=奇数だから奇数です。ここは部分点とっときたいとこやな。a_2とb_2が互いに素であることを証明せよって問題は整数問題になれていないと互いに素って聞いただけで目ん玉飛び出して目にウィルスが入って角膜移植せなあかんことになります。素因数とは...素数である公約数。証明の仕方は本当はa_2とb_2が共通な素因数pを持つと仮定してa_2=pi,b_2=pj(i,jは正の整数)と文字を置いて矛盾を導くのがコツなんですが、ただちょっと今回は文字を置いていては文字が多くなりすぎて大変なのでそこは避けるとします。本当は文字を置いた方がいいって思っててください。a_2とb_2が共通な素因数pを持つと仮定するとa_2は奇数よりp≧3。b_2=2abだからpは2ではないしpは素数だから分けらなれないのでaかbどっちかがpの倍数です。aがpの倍数の時、a_2=a^2+2b^2⇔2b^2=a_2-a^2これは右辺はpの倍数です。2b^2もpの倍数でpは3以上の素因数だからbはpの倍数で、aとbがpの倍数になって互いに素なことに矛盾します。同じようにしてbがpの倍数の時、a_2=a^2+2b^2⇔a^2=a_2-2b^2で右辺がpの倍数だからa^2もpの倍数でpは素因数だからaがpの倍数です。互いに素であることはこのようにして示します。これは解けるようになって置きたいところで、解けなかったらこの問題をまず覚えてください。やって互いに素であることを示すには共通な素因数を持つと仮定して矛盾を導いてやる方法でだいたい解けます。この証明の仕方は覚えていてください。(2)(2)はちょっとレベルが高すぎるかもしれませんが一応解説します。数学的帰納法を使おうとすると(a+b√2)^(k+1)=(a+b√2)(a_k+b_k√2)=aa_k+2bb_k+(ab_k+ba_k)√2だからa_(k+1)=aa_k+2bb_kb_(k+1)=ab_k+ba_kになるわけですがb_(k+1)がさっきみたいに2abみたいな形になりません。互いに素であることを示すのがかなり困難です。これはaとa_k、bとb_kが同じようになるようにすればよいから例えばkが2の倍数なら(a+b√2)^k=(a+b√2)^(k/2)(a+b√2)^(k/n)=(a_(k/2)+b_(k/2)√2)^2となってa_(k/2)が奇数で、a_(k/2)とb_(k/2)が互いに素であると仮定してたらa_kは奇数でa_kとb_kが互いに素であることが(1)と全く同じ方法で示せます。これを使うとa_(2^m)は奇数でa_(2^m),b_(2^m)は互いに素を簡単に示すことが出来ます。2^m項目はいいけど、他の項はどうなるかと言うとある整数n_0でa_(n_0)は偶数またはa_(n_0)と,b_(n_0)は2以上の公約数qを持つとするとa_(n+1)=aa_n+2bb_nb_(n+1)=ab_n+ba_nこの漸化式からa_(n_0)は偶数ならa_nはn≧n_0となる全ての整数nで偶数になってまうし、a_(n_0)と,b_(n_0)は2以上の公約数qを持つとするとこの漸化式からa_nと,b_nはn≧n_0となる全ての整数nで公約数q持つことがわかります。ところがn_0に対して2^m<n_0<2^(m+1)となる整数mが存在するから、n=2^(m+1)で矛盾することになります。数列のある部分列だけ証明すれば、数列全体を証明したことになります。それを解答にしていきます。「すべての自然数mに対してa_(2^m)は奇数でa_(2^m)とb_(2^m)は互いに素である」...(*)(*)を数学的帰納法で示します。(i)m=1の時(1)より(*)成立(ii)m=kで(*)成立を仮定すると(a+b√2)^(2^(k+1))=(a_(2^k)+b_(2^k)√2)^2=a_(2^k)^2+2b_(2^k)+2a_(2^k)b_(2^k)√2だからa_(2^(k+1))=a_(2^k)^2+b_(2^k)^2b_(2^(k+1))=2a_(2^k)b_(2^k)でなんか添え字とかややこしいですが、(1)と全く同じ形なので(1)より(*)は成立します。(i)(ii)よりすべての自然数mに対して(*)成立。ある自然数n_0に対してa_(n_0)は偶数またはa_(n_0)とb_(n_0)は1より大きい公約数qを持つと仮定し矛盾を導くことを示します。(a+b√2)^n=(a+b√2)(a_n+b_n√2)=aa_n+2bb_n+(ab_n+ba_n)√2からa_(n+1)=aa_n+2bb_n...1b_(n+1)=ab_n+ba_n...2でした。(*)よりn_0は2の累乗ではいのでn_0に対して2^(m_0)<n_0<2^(m_0+1)となる自然数m_0が存在します。a_(n_0)が偶数とすると1より右辺が偶数になるから帰納的にn≧n_0となるすべての自然数nでa_nが偶数になりますがn=2^(m_0+1)では(*)より奇数になるので矛盾。a_(n_0)とb_(n_0)が公約数qを持つとすると、1と2から右辺がqの倍数になるから帰納的にn≧n_0となるすべての自然数nでa_nとb_nは公約数qを持つことになるがn=2^(m_0+1)は(*)よりa_nとb_nは互いに素になるので矛盾します。よってすべての自然数nでa_nが奇数で、a_nとb_nが互いに素であることが示せました。関係の証明の仕方どこかで役に立つかもしれません。言ってもこの問題は、激ムズらしいから別にあんま気にしなくてええかもしれんな。一つ、のやり方として普通にごちゃごちゃ示す方法があります。a_nが奇数であることは簡単なのでa_nとb_nが互いに素であると仮定するとa_(n+1)とb_(n+1)が互いに素になることを示せば数学的帰納法からオッケーです。a_nとb_nが互いに素であると仮定して、a_(n+1)とb_(n+1)が素因数q(≧3)を持つと仮定して矛盾を証明します。なんか数学的帰納法の仮定と背理法の仮定が混ざってますが、いいですか?ついてきてますか?よし、大丈夫やな。a_(n+1)=aa_n+2bb_n...1b_(n+1)=ab_n+ba_n...2で1×b-2×a:ba_(n+1)-ab_(n+1)=b_n(2b^2-a^2)...31×a-2×2b:aa_(n+1)-2bb_(n+1)=a_n(a^2-2b^2)...4a_nとb_nが互いに素で、左辺は両方qの倍数になってます。1,2⇔3,4より(2b^2-a^2)がqの倍数でないとすると、b_nとa_nが両方qの倍数でないといけなくなるから矛盾します。よって2b^2-a^2がqの倍数です。これからどうやって矛盾を導くのかが難しいですが、他にやれることはこれは連立漸化式だからa_nだけの三項間漸化式とb_nだけの三項間漸化式に変形できるはずです。それは2からa_n=(b_(n+1)-ab_n)/bでこれを1に代入してnにn-1を代入して2ab_n=b_(n+1)+(a^2-2b^2)b_(n-1)って関係式が出てきます。同様にして2aa_n=a_(n+1)+(a^2-2b^2)a_(n-1)の式が出ます。ここにa^2-2b^2の形が出てます。これから二式とも右辺がqの倍数になってます。二式とも左辺もqの倍数にならなければなりませんが、q≧3でaがqの倍数とするとa^2-2b^2もqの倍数だからbもqの倍数となってa,bが互いに素なことに矛盾します。よってaはqの倍数ではないとするとb_nとa_nがqの倍数になりますがこれもa_nとb_nが互いに素なことに矛盾します。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/228-a2d6f412この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。