勾配(gradient)の話を簡単にまとめておく。大きいところで、等エネルギー面は球面になった。一方で、固体中では電子が原子の周期ポテンシャルなどを受ける。したがって、電子はもはや自由電子として振る舞わない。surface”で画像検索)。エネルギーは波数の関数となるため、のように表す。これを分散関係と呼ぶ。したがって、1つのバンドを考えた時の状態密度を求める。して、全バンドの寄与を考えれば良い。間にどれだけの状態が存在しているかを表す。状態密度の求め方は自由電子のときに状態密度を求めた考え方と同じである。割れば良かった(なぜ?)。球であったため、2つの球面で囲まれる球殻の体積を求めれば良かった。持つ等エネルギー面を用意する。2つの面で囲まれる領域の体積を求めればよい。以下ではこの計算をしていくが、結論を先に言っておく。領域の体積は等エネルギー面の間の領域の体積となる。したがって、1つのバンドの状態密度はポイントとなる。分母は1つの状態が占める逆空間における体積である。ほとんどベクトル解析の話になる。下図のような2つの等エネルギー面を考える。実際には立体的な絵である。隣の等エネルギー面までの距離を求めたい。3次元であるが、等エネルギー面ということは山の高さなどを2次元的に表した等高線と似ている。勾配の小さい・大きい2次元的に見てみよう。高いところへ登る場合を考える。下の図には、勾配が大きい山と勾配が小さい山を描いている。平面上)のベクトルの大きさが面と面の「距離」に対応する。明らかに、勾配が大きいほうが間隔が狭いのである。このことは地図の等高線の間隔が狭いほど地形が急峻であることと全く同じである。勾配の逆数か?勾配の大きさを考える場合、曲面の接平面を考えるのと同じである。そのことは、1変数関数と2変数関数の場合を比べればわかる。2つの直線の傾きの積が-1のときに直線は直交)。したがって、法線の傾きの大きさは単に絶対値をつければ良い。勾配の大きさは接平面の傾きに対応する。すると、接平面に垂直な法線の傾きの大きさは、となるだろう。これが勾配の逆数となる理由である。描いてしまうと以下のようになる。体積は図のように微小体積を用意して、足し合わせていけば良い。すべての微小面について積分で足し合わせればよい。これで、2つの等エネルギー面の領域の体積がと求められる。バンド分足し合わせれば状態密度が求められる。まとめいろいろベクトル解析の説明しているが、状態密度の求め方は等エネルギー面の間の領域の体積を求めて1状態の占める体積で割るだけである。領域の体積を求めるために勾配(gradient)を駆使したにすぎない。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。中心にお絵描きしながら学ぶ。計算ノートも兼ねて公開する。