受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。センター試験2012年度数学2Bの第4問、ベクトルの問題の解説さあて、滑り台で滑ってきたとこを浣腸する会に参加しよか。センター試験2012年度数学2Bの第4問の解説です[問題]空間に異なる4点O,A,B,Cを,OA→⊥OB→,OB→⊥OC→,OC→⊥OA→となるようにとり,OA→=a→,OB→=b→,OC→=c→とおく。3点D,E,Fを,OD→=a→+b→,OE→=b→+c→,OF→=a→+c→となるようにとり,線分BDの中点をL,線分CEの中点をMとし,線分ADを3:1に内分する点をNとする。(1)OM→,ON→は,a→,b→,c→を用いてOM→=(1/[ア])b→+c→,ON→=a→+([イ]/[ウ])b→と表される。(2)2直線FL.MNが交わることを確かめよう。0<s<1とし,線分FLをs:(1-s)に内分する点をPとする。OP→は,sとa→,b→,c→を用いてOP→=([エ]-s/[オ])a→+sb→+([カ]-s)c→と表される。s=[キ]/[ク]のとき,MP→=([ケ]/[コ])MN→となるので,M,N,Pは一直線上にある。よって,2直線FL.MNは交わることがわかる。(3)2直線FL,MNの交点をGとする。OG→,GF→は,a→,b→,c→を用いてOG→=([サ]/[シ])([ス]a→+[セ]b→+c→)GF→=([サ]/[シ])(a→-[セ]b→+[ソ]c→)と表される。|a→|=√5,|b→|=4,|c→|=√3とする。このとき,|GF→|=[タ],|GM→|=2となる。次に,直線OC上に点Hをとり,実数tを用いて,OH→=tc→と表す。GF→・GH→,GM→・GH→は,tを用いてGF→・GH→=[チ]t+[ツテ]/[ト]...1GM→・GH→=2t+10/3...2と表される。,∠FGH=∠MGHとする。このときのtの値を求めよう。|GF→|=[タ],|GM→|=2と∠FGH=∠MGHであることからGF→・GH→=([ナ]/[ニ])GM→・GH→...3が成り立つ。1,2,3から,t=[ヌ]/[ネ]である。[解答と解説]これはOA→⊥OB→,OB→⊥OC→,OC→⊥OA→だから、これは全て直交しています。OA→がx軸,OB→がy軸,OC→がz軸と言うように直交座標のように扱えます。そもそも図形を扱うときに、座標が直交していたり、メモリの長さが1である必要はなく問題にあわせてa→が何個、b→が何個と基本ベクトルを上手く選んで計算した方が便利と言うのがベクトルの一つのメリットやからな。何もなかったら、直交してるベクトルを基本ベクトルにするの普通なわけやな。それが普段使ってる座標でもあるねん。ベクトルは座標を一般化させてると言う側面があるねん。図を書くとこんな感じで直方体です。問題文にはこれでいきなりs=[キ]/[ク]のとき,MP→=([ケ]/[コ])MN→と書いてるやん。普通はMN上にある点をQとするとOQ→=kOM→+(1-k)ON→ってやってP=Qとすると係数比較してk,sが求まって、だから実際に交わってる点が求まったから交わるとかやるやん。書いてるから、たぶんすぐにわかるねん。交わるとしたら、これしかないからな。必要条件を求めただけやから証明ではないけどな。相似に持っていったり、二次元で必要条件で考えてしまえばいいって言う処理を覚えてくれたらええねんけど、普通に計算しまくってももちろんオッケーです。(3)FL,MNの交点Gと言うのはさっき求めたPのことやからOP→=(1-s/2)a→+sb→+(1-s)c→にs=2/3を代入してOG→=(2/3)a→+(2/3)b→+(1/3)c→=1/3・(2a→+2b→+c→)GF→=OF→-OG→=a→+c→-1/3・(2a→+2b→+c→)=1/3・(a→-2b→+2c→)これで全部直交してるから、内積や長さの計算はほぼ三平方の定理なわけやな。全部直交してるからa→同士と、b→同士と、c→同士をかけるだけでGF→・GH→=1/9・(-2・√5^2+4・4^2+(6t-2)・√3^2)=2t+16/3もう問題文に計算してくれてるやつは気にせず使うだけです。なんかようわからんままにやるねん。意味とか考えたら負けやねん。こんなん、自分も計算してたら、試験終わった後にちょうちん振り回して電車の中に突っ込んでいくことになります。TRACKBACK(0)▲ページトップへセンター試験2012年度数学2Bの第3問の数列の問題の解説センター試験はライブトリガーみたいなもんやからな。センター試験2012年度数学2B第三問の解説です。[問題]{a_n}をa_2=-7/3,a_5=-25/3である等差数列とし,自然数nに対して,S_n=Σ(k=1~n)a_kとおく。a_1=[アイ]/[ウ]であり,{a_n}の公差は[エオ]である。(n=1,2,3,...)である。(n=1,2,3,...)...1を満たすとする。数列{b_n}の一般項を求めよう。1から,b_1=[ス]である。(n=1,2,3,...)と変形できる。(n=1,2,3,...)である。,[ニ]については,当てはまるものを,次の(0)~(4)のうちから一つ選べ。(4)n+2[解答と解説]公差dとするとa_2=-7/3からa_1+d=-7/3a_5=-25/3からa_1+4d=-25/3a_1消去が簡単そうやから辺々引いて3d=-18/3d=-2だからa_1-2=-7/3からa_1=-1/3よってa_n=-1/3+(n-1)(-2)=-2n+5/3ここまでどっか気持ち悪いとこはありましたか?大丈夫ですね。等差数列の和はΣよりも1/2×(初+末)×項数でぱっとやってください。これは台形の面積と同じで1/2×(上+下)×高さ(初+末)/2が平均の値で、それが何個あるかって言う意味の式です。S_n=1/2×(-1/3+(-2n+5/3))n=-n^2+2/3n次はΣ(k=1~n)b_k=4/3・b_n+S_nで{b_n}を求めます。(n≧2)で処理しますよね。誘導されてるわけですわ。b_1の値はn=1の値を入れてb_1=4/3・b_1+a_1よりb_1=-3×a_1=1それでさらに誘導でb_(n+1)=Σ(k=1~n+1)b_k-Σ(k=1~n)b_k={4/3・b_(n+1)+S_(n+1)}-{4/3・b_n+S_n}=4/3・b_(n+1)-4/3・b_n+(S_(n+1)-S_n)=4/3・b_(n+1)-4/3・b_n+a_(n+1)=4/3・b_(n+1)-4/3・b_n-2n-1/3つまりb_(n+1)=4/3・b_(n+1)-4/3・b_n-2n-1/3左辺にb_(n+1)持ってきてb_(n+1)/3=4/3・b_n+2n+1/3よりb_(n+1)=4b_n+6n+1それで誘導なしにb_(n+1)+[チ](n+1)+[ツ]=[セ](b_n+[チ]n+[ツ])の形にもっていけって書いてるねんけど、b_nを見ると係数が4やから[セ]は4のはずやしb_(n+1)+[チ](n+1)+[ツ]=4(b_n+[チ]n+[ツ])⇔b_(n+1)+[チ](n+1)+[ツ]=4b_n+4[チ]n+4[ツ]⇔b_(n+1)=4b_n+3[チ]n+3[ツ]-[チ]これがb_(n+1)=4b_n+6n+1のはずやから3[チ]=63[ツ]-[チ]=1つまり[チ]=2[ツ]=1です。本当はこれは特性方程式でやるねんけどな。a_(n+1)=2a_n+1を解け言われたら、階差数列をとる意外にもα=2α+1ってやってα=-1やからa_(n+1)-(-1)=2(a_n-(-1))って言う解法があるやんな。これはα=2α+1と言う等式が成り立つするとa_(n+1)=2a_n+1α=2α+1を辺々引いてa_(n+1)-α=2(a_n-α)って出来るけど、そういうαが本当にあるのかと言うとα=2α+1をただ単にといたらよくて、α=-1やったわけやな。a_(n+1)-(-1)=2(a_n-(-1))なわけや。今回はb_(n+1)=4b_n+6n+1と言うようにnが入ってるからα=4α+6n+1となるαはnによって変わるから困るねん。そこでb_nのことをαn+βと置き換えてα(n+1)+β=4(αn+β)+6n+1と言う式が全てのnで成立すればb_(n+1)=4b_n+6n+1と辺々差をとってb_(n+1)-α(n+1)-β=4(b_n-αn-β)って出来るわけやな。いうα,βがあるのかと言うとα(n+1)+β=4(αn+β)+6n+1がnの恒等式として成立すればええわけやから係数比較してnの係数は左辺が4,右辺が4α+6やからα=4α+6定数部分は同じようにα+β=4β+1これを解いてα=-2β=-1やからb_(n+1)+2(n+1)+1=4(b_n+2n+1)となるわけですね。これいは誘導に乗ればええけど、定石としても覚えておいて欲しいとこやな。言うても、根本的な数学力があるからこそセンター形式に慣れることが出来るからな。誘われてから、行くレストランが本物やと言うことでセンター試験2012年度数学2Bの第2問の解説します[問題]座標平面上で曲線y=x^3をCとし,放物線y=x^2+px+qをDとする。(1)曲線C上の点P(a,a^3)におけるCの接線の方程式はy=3a^[ア]x-[イ]a^[ウ]である。放物線Dは点Pを通り,DのPにおける接線と,CのPにおける接線が一致するとする。以下,p,qは1を満たすとする。(2)放物線Dがy軸上の与えられた点Q(0,b)を通るときb=[ケコ]a^3+a^[サ]...2が成り立つ。与えられたbに対して,2を満たすaの値の個数を調べよう。そのために,関数f(x)=[ケコ]x^3+x^[サ]の増減を調べる。関数f(x)は,x=[シ]で極小値[ス]をとり,x=[セ]/[ソ]で極大値[タ]/[チツ]をとる。関数y=f(x)のグラフをかくことにより,[ス]<b<[タ]/[チツ]のとき,2を満たすaの値の個数は[テ]であることがわかる。(3)放物線Dの頂点がx軸上にあるのは,a=[ト],[ナ]/[ニ]の二つの場合である。a=[ト]のときの放物線をD_1,a=[ナ]/[ニ]のときの放物線をD_2とする。D_1,D_2とx軸で囲まれた図形の面積は2^[ヌ]/3^[ネノ]である。[解答と解説](1)まず微分ですね。y=x^3を微分してy'=3x^2よってx=aにおける傾きは3a^2で(a,a^3)を通るわけやから接線はy=3a^2(x-a)+a^3=3a^2x-2a^3次はCとDが点Pにおいて共通接線を持つか。これは直線は傾きと一つとの通る点を決めれば、決まるから点Pにおける接線の傾きが等しいと言うことから(x^2+px+q)'=2x+pより3a^2=2a+pまた点Pを通るからa^3=a^2+pa+qこの二つでええねん。これをまとめてp=3a^2-2aq=a^3-a^2-pa=a^3-a^2-3a^3+2a^2=-2a^3+a^2以下これを満たすらしいな。いうのが忘れそうで、センター特有の難しさやな。(2)Dが(0,b)を通るからy=x^2+px+qに代入してb=q=-2a^3+a^2それでとりあえずf(x)=-2x^3+x^2を考えるらしい。わからんままにやっていくのがコツやねん。微分してf'(x)=-6x^2+2x=-6x(x-1/3)だからx=0で極小値0をとりx=1/3で極大値1/27こんなん増減とか考えずに解答欄の形からこれしか入らんから、入れるねん。なんでも入れられるときに入れとかな、後から後悔するわけや。いやいや、そういう意味じゃないよ。それでy=f(x)のグラフをかくことで、あれやろな。定数分離のことやろな。y=f(a)のグラフを書いて、y=bと交わる個数でaの値の個数がわかるからちょうど極大と極小の間やな。(3)放物線Dの頂点がx軸上にあるってことはx^2+px+q=0の判別式が0ってことやな。a=4/9でp=-8/27よりx=-4/27でD_2はx軸に接するやからy=x^2とy=(x-4/27)^2で交点は、中点の2/27対称性から左側の2倍すればええから2∫(0,2/27)x^2dx=[2x^3/3](0,2/27)=2・2^3/(3^9・3)=2^4/3^10こうやって、早く正確に解けるにしていくわけやな。解けるけど、時間が足りないと言ってるとq=-2a^3+a^2にもaの値を代入してp,qを求めてからy=x^2+px+qに入れてまともに積分やってたら、それは解けるのレベルがやっぱ低いねん。解けるつもりでも、繰り返したり、解答例を覚えて吸収していかなあかん。次のページ>>プロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。