受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。片方の靴が脱げたときに、あなたなら少々どうしますか?また意味わからんこと言いだしたとこで、センター試験2012年度第二問の解説します[問題]a,bを定数として2次関数y=-x^2+(2a+4)x+b...1について考える。関数1のグラフGの頂点の座標は(a+[ア],a^2+[イ]a+b+[ウ])である。以下,この頂点が直線y=-4x-1上にあるとする。このとき,b=-a^2-[エ]a-[オカ]である。(1)グラフGがx軸と異なる2点で交わるようなaの値の範囲はa<[キク]/[ケ]である。Gがx軸の正の部分と負の部分の両方で交わるようなaの値の範囲は-[コ]-√[サ]<a<-[コ]+√[サ]である。(2)関数1の0≦x≦4における最小値が-22となるのはa=[シス]またはa=[セ]のときである。a=[セ]のとき,関数1の0≦x≦4における最大値は[ソタチ]である。a=[シス]のときの1のグラフをx軸方向に[ツ],y軸方向に[テトナ]だけ平行移動すると,a=[セ]のときのグラフに一致する。[解答と解説]なるほど、平方完成しろってことのようですね。y=-(x-(a+2)^2+b+(a+2)^2=-(x-(a+2))^2+b+a^2+4a+4と言うことで頂点は(a+2,a^2+4a+b+4)と言うことです。この頂点が直線y=-4x-1上にあるとすると言うことやから頂点を代入してa^2+4a+b+4=-4(a+2)-1からb=-a^2-8a-13ここまでは大丈夫やとは思います。(1)グラフGがx軸と異なる2点で交わると言うことは、判別式が0より大きい、うへ~ってやってもいいですが、センター試験の場合誘導で頂点が求めさせられていて、これが0より大きいとか小さいとかで出来たりします。今のグラフはx^2の係数が負なので頂点が0より大きければええからa^2+4a+b+4>0これで解けへんやん!って横のやつに消しゴム投げつけて退場させられるのがセンター試験です。以下、この頂点が直線y=-4x-1上にあるって書いてあるってあったのでb=-a^2-8a-13の条件を使います。これがセンター特有の難しさやな。a^2+4a-a^2-8a-13+4>0よりa<-9/4Gがx軸の正の部分と負の部分で両方交わるは、二次関数の解の配置問題でよくあるやつやな。これは上に凸やからx=0での値が正やったらええねん。これだけでオッケーな。b>0つまりは-a^2-8a-13>0⇔a^2+8a+13<0⇔-4-√3<a<-4+√3(2)関数1の0≦x≦4における最小値が-22となるのはっていきなり言われても、トイレットペーパー与えられずにトイレの中に入れられた子って感じやな。わかりやすい例えあるやろ!これは誘導なしにいきなり場合わけしろってことやな。上に凸の最小値の問題やから、軸が定義域の中点より右か左かで場合分けです。中点は(0+4)/2=2やから(i)軸≦中点、(a+2)≦2つまりはa≦0の時は、x=4で最小で-16+8a+16-a^2-8a-13=-22よりa=±3a≦0よりa=-3(i)軸≧中点、(a+2)≧2つまりはa≧0の時は、x=0で最小で-a^2-8a-13=-22よりa^2+8a-9=0(a+9)(a-1)=0a=-9,1a≧0よりa=1a=1の時の最大値は軸がa+2=3でこれは定義域の中なので頂点で最大です。よって頂点はb=-a^2-8a-13を代入しておくと(a+2,-4a-9)やからこれにa=1を入れて-4-9=-13です。平行移動はもう頂点だけ考えたらええんちゃうか。二次関数の平行移動はだいたい頂点だけ考えるもんやからな。a=-3では(-1,3)a=1では(3,-13)だからx軸方向に3-(-1)=4y軸方向に-13-3=-16平行移動したらオッケーですね。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/454-44190bcdこの記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。